2023届江苏省盐城市第一中学高三上学期12月学情调研（五）数学试题（解析版）

2023届江苏省盐城市第一中学高三上学期12月学情调研（五）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由交集的概念求解，

【详解】由题意得，，故，

故选：C

2．若复数z满足（i为虚数单位），则z=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合复数的基本运算化简即可.

【详解】由得，即.

故选：B

3．在△ABC中，点D在边AB上，，记，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由平面向量的线性运算求解，

【详解】由题意得，

解得，

故选：C

4．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮．如图所示，某摩天轮最高点距离地面128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，满足．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为（    ）

A．15 B．30 C．45 D．60

【答案】B

【分析】由余弦函数的图象与性质求解，

【详解】由题意得当时取得最小值，当即时取得最大值128，

由对称性可知当时，，

故选：B

5．函数的图像大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数定义域以及函数极限，判断即可.

【详解】因为的定义域为且，故A错误；

又当时，，故，故C错误；

当且时，，故，故B错误；

故选：D.

6．已知，且，则（      ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据倍角公式及的范围，解出的值，再用诱导公式对，，，进行化简代入即可选出选项.

【详解】解：由题知，，

解得或，

，，

，，

，.

故选：A.

7．若是数列的前n项和，已知，,且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件及与的关系，利用构造法得通项公式，结合等比数列的前n项和公式及分组求和法即可求解.

【详解】由题意得当时，，

设，得，

又因为，，

所以也满足上式，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，

所以，即，

所以

故.

故选：A.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数后由单调性比较大小，

【详解】令，则，

当时，，故在上单调递增，

，即，

令，则，

当时，，，

故在上单调递减，，

得，即，

综上，，

故选：C

二、多选题

9．已知数据的平均数为，标准差为，则（    ）

A．数据的平均数为，标准差为

B．数据的平均数为，标准差为

C．数据的平均数为，方差为

D．数据的平均数为，方差为

【答案】BC

【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.

【详解】， ，

对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；

对于B，，，所以数据的标准差为，故正确；

对于C，，，故正确；

对于D，数据的平均数为，方差为

，故错误.

故选：BC.

10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．在内有4个极值点

B．函数在仅有1个零点

C．的图象关于直线对称

D．将的图象向右平移个单位，可得的图象

【答案】AD

【分析】利用三角函数得图象与性质以及整体代换进行求解判断.

【详解】因为，由图可知：

，，又，解得，

所以，又图象过点，

所以，解得，又，

所以，所以，

对于A，由有：，

解得，当，解得，故A正确；

对于B，由有：，，

解得，故B错误；

对于C，当时，，不是对称轴，故C错误；

对于D，，向右平移个单位得：

，故D正确.

故选：AD.

11．设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（    ）

A．4是f（x）的周期 B．

C． D．

【答案】AC

【分析】首先利用轴对称、中心对称的公式，化简条件，然后利用赋值法即可求解.

【详解】关于对称，则有，令，

可得，令，得①.又的图像关于点对称，可得②，

联立①②，可得，故A正确；，令得，故C正确.

对于BD，例如，该函数符合AC，但是代入BD条件时，均不满足，故BD错误.

故选：AC

12．已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（    ）

A． B．存在，使得

C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列

【答案】ACD

【分析】又整理得，令，得到，借助反比例函数和的单调性得到和的增减性，即可判断D选项；

根据求的范围即可判断C选项；

利用数学归纳法证明，，即可得到，，即可判断A选项，

根据，，可得，即可判断B选项.

【详解】由可得，令，则，

又，则，，当时， ，

，，设，在上单调递增，∵，∴，传递下去，可得，同理可得，∴是单调递增数列，是单调递减数列，

又∵，在R上单调递增，所以是单调递增数列，是单调递减数列，故D正确；

由，得，，得，

∴，即，

∵，∴，

，显然，故C正确；

先证：，

当时，成立，

假设当时，成立，

那么当时，成立，

综上，成立，

同理可得，

∴，即，故A正确；

要使，则，而，，所以，即，故B错.

故选：ACD.

【点睛】利用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

①证明当时命题成立；

②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”，

只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从开始的所有正整数都成立.

三、填空题

13．已知向量，若与共线反向，则________．

【答案】

【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.

【详解】根据题意可得：，解得或；当时，与共线同向，故舍去；

当时，，，.

故答案为：.

14．已知数列{}满足，且，则＝________．

【答案】

【分析】由题意可证明数列是以为首项，3为公差的等差数列，即可求出数列{}的通项公式.

【详解】对两边同时取倒数，

所以，则，

所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，

所以，

所以.

故答案为：.

15．在平面四边形中，，，，，，则________．

【答案】

【分析】在中，由正弦定理得，进而得，再在中，利用余弦定理求解即可.

【详解】解：因为，，，

所以在中，由正弦定理得，

因为，

所以，

所以，在中，设，由得，即，解得

所以，.

故答案为：

16．已知函数，若不等式在（0,＋∞）上恒成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】将不等式整理为，然后构造函数，得到，再结合得到在上单调递减，然后求导，得到，即可得到的范围.

【详解】不等式，可整理为，即，

令，则，当时，，所以在上单调递减，又，则当时，，即，

令，则，

因为，在上恒成立，所以在上单调递减，则，即，所以.

故答案为：.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立⇔；

（2）恒成立⇔.

四、解答题

17．已知向量，，满足函数．

(1)求在上的单调增区间；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算、二倍角和辅助角公式可化简得到，根据可求得的范围，对应正弦函数的单调性可求得对应的单调增区间；

（2）根据同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.

【详解】（1）

；

当时，，

当，即时，单调递增，

即在上的单调增区间为.

（2）由（1）得：；

当时，，，

.

18．设为数列{}的前n项和，已知，且．

(1)证明：{}是等比数列；

(2)若成等差数列，记，证明＜．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由与的关系，等比数列的定义证明，

（2）由题意列式解得后得{}通项公式，再由裂项相消法求和证明，

【详解】（1），

当，

两式相减得．

又因为，所以数列是公比为3的等比数列．

（2）由，

得，

，，

．

，

所以．

19．已知函数.

(1)是否存在实数，使得在处取得极小值，并说明理由；

(2)证明：对任意都有成立.

【答案】(1)存在，

(2)证明见解析

【分析】（1）由求出答案，然后再验证即可；

（2）由（1）可得，然后可得，利用此不等式即可证明.

【详解】（1）假设存在实数，使得在处取得极小值，

则，，所以.

所以，

，则；，则；，则；

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以当时，的极小值为.

（2）证明：由（1）可知，当时，，即.

令，则，

，，…，，，

所以

，

故命题成立.

20．为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图､2×2列联表（将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”）.

(1)根据已知条件完成上图的2×2列联表；

(2)据此调查结果，是否有的把握认为“球迷”与性别有关？

附：（其中）.

临界值表：

【答案】(1)答案见解析.

(2)有的把握认为“球迷”与性别有关，理由见解析.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出人中，球迷和非球迷的人数，补全2×2列联表；

（2）由列联表计算的值与临界值比较即可判断.

【详解】（1）观众日均收看球类体育节目时间少于40分钟的人数为：

人，即非球迷为人，所以球迷为人，

可得列联表如图：

（2）由列联表可得：，

所以有的把握认为“球迷”与性别有关.

21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

(1)证明：；

(2)若是钝角，，求面积的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；

（2）依题意求出的取值范围，再由正弦定理得到，由面积公式及同角三角函数的基本关系得到，再根据函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，

由，

得．

所以，

，

或（舍去），

．

（2）解：由条件得，解得，

，，，

．

的面积

＝

＝，

，．

又因为函数在上单调递减，所以，

所以，所以，

，则面积的取值范围为．

22．已知函数．

(1)当时，若，证明：．

(2)当时，，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）首先不等式变形后，构造函数，利用导数证明，即可证明；

（2）首先构造函数，分，和三种情况讨论函数的单调性，讨论不等式，并得到的取值范围.

【详解】（1）当时，需证，只需证

设，

，

当时，，

所以在上单调递增，

所以．

所以

（2）因为，所以

设，

可得，

又，则，

若，，由（1）知，当时，；

当时，，

所以恒成立，符合题意；

若，，

当时，，不合题意；

若，因为时，，

所以在上单调递增，

因为，又，

所以存在，，

当时，，

在上单调递减，，不合题意；

综上，，的取值范围是．