江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷（解析版）

江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年

高三年级高考数学第四次综合训练试卷

【参考答案】

一、单项选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+2i，则|z|＝（　　）

A．1 B． C．2 D．2

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．

【解答】解：∵（1﹣i）z＝2+2i，

∴|1﹣i||z|＝|2+2i|，

则，

∴|z|＝2，

故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．已知M，N均为R的子集，且M⊆∁RN，则∁RM∩N＝（　　）

A．∅ B．M C．N D．R

【分析】根据M⊆∁RN可画出Venn图，根据Venn图即可得出∁RM∩N＝N．

【解答】解：用Venn图表示M，N如下：

由Venn图看出，M⊆∁RN，∁RM∩N＝N．

故选：C．

【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn图解决集合问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．

3．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（　　）

A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立 

C． D．

【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．

【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有＝36个基本事件，它们等可能，

事件A含有的基本事件数为＝12，则P（A）＝＝，

同理P（B）＝P（C）＝，

事件AB含有的基本事件个数为＝2，则P（AB）＝，

事件AC含有的基本事件数为＝5，则P（AC）＝，

对于A，P（A）P（B）＝≠P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；

对于B，P（A）P（C）＝≠P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；

对于C，P（B|A）＝＝，故C不正确；

对于D，P（C|A）＝＝，故D正确．

故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．已知向量，满足＝（，1），•＝4，则||的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2

【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可．

【解答】解：由＝（，1），

则，

则，

即，

则||的最小值为2，

故选：D．

【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．

5．已知直线l：x+（a﹣1）y+2＝0，，且l1⊥l2，则a2+b2的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据l1⊥l2得出b与a的关系式，代入a2+b2中利用二次函数的性质即可求出a2+b2的最小值．

【解答】解：因为l1⊥l2，所以b+（a﹣1）＝0，

所以a＝1﹣b，

所以a2+b2＝+b2＝4b2﹣2b+1＝4+，

所以当时，a2+b2取最小值为．

故选：A．

【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，也考查了利用函数求最值的应用问题，是基础题．

6．为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（　　）cm．

A． B． C． D．

【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，求解△ABC外接圆圆心O的半径r，转化求解O1到平面DEF距离，推出结果．

【解答】解：由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，

设：A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，

∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，

设△ABC外接圆圆心O，半径r，则，

∴，，

∴O1到平面DEF距离：9，

∴冠军奖杯的高度为：．

故选：C．

【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且∠F1NF2＝90°，则双曲线E的离心率为（　　）

A． B．4 C． D．6

【分析】设N（x1，y1）则，利用，M在，求得N，则，，由，即可求双曲线离心率．

【解答】 解：设N（x1，y1），，

∵N在，M在，

∴

∴，即N，

则，，

∴，

∴，∴，

故选：B．

【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．

8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣a，若f（x）＝m|x﹣1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（　　）

A．（，）∪[﹣，﹣] B．（，）∪[﹣，] 

C．（，）∪{﹣} D．（，）∪{﹣}

【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性，推出函数的周期，结合函数的图象，函数零点个数，列出不等式求解即可．

【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）关于x＝1对称，

f（0）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣a，所以a＝1，

y＝m|x﹣1|关于x＝1对称，f（x）＝m|x﹣1|有6个根，

∴f（x）＝m（x﹣1）在x∈（1，+∞）有三个根，

f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），函数的周期T＝4，作出f（x）图象如图：

当m＞0时，kAC＜m＜kAB，则；

点m＜0时，，

∴m的取值范围，

故选：D．

【点评】本题考查函数与方程的应用，零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，是中档题．

二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布N1（108，25）、N2（97，64），人数保留整数，则（　　）

参考数：若Z～N（μ，σ2），则P（|Z﹣μ|＜σ）≈0.6827，P（|Z﹣μ|＜2σ）≈0.9545，P（|Z﹣μ|＜3σ）≈0.9973

A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865 

B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人 

C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散 

D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．

【解答】解：由题意可设，X～N1（108，25），则μ＝108，σ＝5，

Y～N2（97，64），μ1＝97，σ1＝8，

对于A，∵甲服从正态分布N1（108，25），

∴μ＝108，σ＝5，

∴，故A正确，

对于B，P（X＜103）＝P（X＜μ﹣σ）＝0.15865，

则甲校数学成绩不超过103的人数为900×0.15865＝142＞140，故B错误，

对于C，∵甲校的σ＝5，乙校的σ1＝8，

∴乙更分散，故C正确，

对于D，X～N1（108，25），P（X＜113）＝1﹣0.15865＝0.84135，

Y～N2（97，64），P（Y＜113）＝P（Y＜μ1+2σ1）＝0.97725＞0.84135，故D错误．

故选：AC．

【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．

10．设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的有（　　）

A．准线l的方程是y＝﹣2 

B．以线段MF为直径的圆与y轴相切 

C．|ME|+|MF|的最小值为5 

D．|ME|﹣|MF|的最大值为2

【分析】求得抛物线的准线方程可判断A；由抛物线的定义和直线与圆相切的性质可判断B；由抛物线的定义和三点共线取得最值的性质可判断C；由三点共线取得最值的性质可判断D．

【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线为l：x＝﹣2，故A错误；

设M（m，n），MF的中点为N，可得|MF|＝m+2＝2•，即N到y轴的距离是|MF|的一半，

则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；

设M在准线上的射影为H，由|ME|+|MF|＝|ME|+|MH|，

当E，M，H三点共线时，|ME|+|MH|取得最小值，且为3+2＝5，故C正确；

由|ME|﹣|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，且为＝，故D错误．

故选：BC．

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

11．已知函数在区间（0，1）上可能（　　）

A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值

【分析】通过x的范围求解相位的范围，结合正弦函数的性质判断选项的正误即可．

【解答】解：0＜x＜1，则0＜ωx＜ω，，，

函数在区间（0，1）上满足f（x）∈（，1]，

∴f（x）在（0，1）不可能有零点，B错，

f（x）在（0，1）可能有极大值不可能有最小值，C错，D对

f（x）可能在（0，1）是增函数，A对．

故选：AD．

【点评】本题考查三角函数的简单性质的应用，正弦函数的图象与性质，是中档题．

12．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，φ（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数φ（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ（2）＝1，φ（3）＝2，φ（6）＝2，φ（8）＝4．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么φ（mn）＝φ（m）φ（n），例如：φ（6）＝φ（2）φ（3），则（　　）

A．φ（5）＝φ（8） 

B．数列{φ（2n）}是等比数列 

C．数列{φ（6n）}不是递增数列 

D．数列的前n项和小于

【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果．

【解答】解：φ（5）＝4，φ（8）＝4，∴φ（5）＝φ（8），A对；

∵2为质数，∴在不超过2n的正整数中，所有偶数的个数为2n﹣1，

∴φ（2n）＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1为等比数列，B对；

∵与3n互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，⋯，3n﹣2，3n﹣1，

共有（3﹣1）⋅3n﹣1＝2⋅3n﹣1个，∴φ（3n）＝2⋅3n﹣1，

又∵φ（6n）＝φ（2n）φ（3n）＝2⋅6n﹣1，

∴φ（6n）一定是单调增数列，C错；

的前n项和为对．

故选：ABD．

【点评】本题考查了欧拉函数定义及运算性质，等比数列的求和计算，属于中档题．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．命题“∀x∈R，x2﹣1＜0”的否定是“　∃x∈R，x2﹣1≥0　”．

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x2﹣1≥0，

故答案为：∃x∈R，x2﹣1≥0．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

14．在（x+1）4（y+z）6的展开式中，所有项系数之和为 　1024　；展开式中系数最大项的系数为 　120　．

【分析】利用赋值法求展开式的系数和即可；利用二项展开式系数为正数求解即可．

【解答】解：令x＝1，则所有项系数和（1+1）4（1+1）6＝210＝1024，

∵（x+1）4展开式各项系数都为正数，

∴系数最大的项为二项式系数最大的项，

同理，（y+z）6展开式系数最大的项为，

∴（x+1）4（y+z）6系数最大项的系数为120．

故答案为：1024；120．

【点评】本题主要考查二项式系数的性质，考查利用赋值法求展开式的系数和，属于中档题．

15．若＝3，则sin2α＝　　．

【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，进而利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．

【解答】解：因为＝＝tanα＝3，

可得＝．

故答案为：．

【点评】本题考查了二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

16．若关于x的不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围 　[，）　．

【分析】由题意，不等式变形为a（x+1）＜，用导数法研究f（x）＝的单调性，则不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l：y＝a（x+1）与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），即可求出a的取值范围．

【解答】解：a（x+1）ex﹣x＜0⇔a（x+1）＜，

又因为直线l：y＝a（x+1）过定点A（﹣1，0），令，

故f（x）在（﹣∞，1）递增，（1，+∞）递减，

，

则，，

∴不等式a（x+1）ex﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），

故．

故答案为：[，）．

【点评】本题考查了利用导数确定函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．

四、解答题。（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1＞an，4Sn＝an2+4n．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和Tn．

【分析】（1）利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可求解；

（2）利用错位相减法求数列前n项和Tn．

【解答】解：（1）∵，①

∴n≥2时，，②

①﹣②⇒，∴，

在①式中令，即，∴a1＝2，

∵an+1＞an，∴{an}为递增数列，

∴an≥2，∴an﹣2＝an﹣1⇒an﹣an﹣1＝2，

∴{an}为等差数列且首项为2，公差为2，

∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；

（2）∵，

∴，③

，④

③﹣④⇒＝．

【点评】本题考查数列的递推关系式以及错位相减求和，属于中档题．

18．（12分）在①2sinB＝tanAcosC+sinC，②，③cos2A+cosA＝0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝1，c＝3，且_________．

（1）求A；

（2）若点D在边BC上，且BC＝3BD，求AD．

【分析】（1）若选①：可得，再运用正弦的和角公式可得cosA，进而求得答案；

若选②：由正弦的二倍角公式可得2sincos＝sin，进而可求得答案；

若选③：由余弦的二倍角公式可得2cos2A﹣1+cosA＝0，进而可求得答案；

（2）由已知和向量的线性运算可得，再运算向量的数量积运算可得，从而可求得答案．

【解答】解：（1）若选①，，

∴2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）＝sinB，

∵B∈（0，π），所以sinB≠0，

∴，．

若选②，，

∴，，．

若选③，2cos2A﹣1+cosA＝0，（2cosA﹣1）（cosA+1）＝0，

∴，

（2）∵BC＝3BD，

∴，

∴

＝，

∴．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19．（12分）手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如表：

若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．

（1）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关；

附：

χ2＝，其中n＝a+b+c+d；

（2）在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望．

【分析】（1）由表格中的数据，即可求出2×2列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．

（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．

【解答】解：（1）2×2列联表如下：

∵χ2＝＝，

∴有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．

（2）100人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人，

抽取比例为5：3，抽取男生5人，女生3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

故X的分布列如下：

．

【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．

20．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，CC1＝，D为BC的中点，E为侧棱AA1上的点．

（1）当E为AA1的中点时，求证：AD∥平面BC1E；

（2）若平面BC1E与平面ABC所成的锐二面角为60°，求AE的长度．

【分析】（1）利用线线平行可证线面平行；

（2）由已知易证DA，DB，DF两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝m，利用向量法可求m．

【解答】解：（1）证明：取BC1的中点F，连接FD，FE，

∵D为BC的中点，∴FD∥CC1，FD＝CC1，

又∵E为AA1的中点，∴AE∥CC1，AE＝CC1，

∴FD∥AE，FD＝AE，∴四边形AEFD是平行四边形，

∴EF∥AD，又AD⊄平面BC1E，EF⊂平面BC1E，

∴AD∥平面BC1E；

（2）由已知易证DA，DB，DF两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE＝m，则B（0，，0），E（，0，m），C1（0，﹣，），

则＝（，﹣，m），＝（0，﹣1，），

设平面BC1E的一个法向量为＝（x，y，z），

则，令z＝，则y＝3，x＝﹣m，

∴平面BC1E的一个法向量为＝（﹣m，3，），

由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，可知＝（0，0，1）为平面ABC的一个法向量，

∴cos60°＝＝，解得m＝．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查利用线面角求线段长度，属中档题．

21．（12分）已知椭圆Γ：）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆Γ于P，Q两点，．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆Γ相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．

【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解a，b，得到椭圆方程．

（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用判别式推出结果，结合椭圆的性质，得到，化简k1+k2的表达式，推出结果即可．

【解答】解：（1）椭圆Γ：）的左焦点为F，其离心率，

过点F垂直于x轴的直线交椭圆Γ于P，Q两点，．

得，

椭圆Γ的方程为：．

（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），B（0，﹣1），

，

∴（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，Δ＝64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＝8（1﹣2k2）＞0，

解得：

设椭圆上顶点为A，∴A（0，1），且，，

∴＝＝

∴k1+k2的取值范围为：．

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．

22．（12分）已知函数f（x）＝2lnx﹣x，g（x）＝（x﹣2）2（a≤1）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若函数h（x）＝f（x）+g（x），讨论h（x）的零点个数．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．

【解答】解：（1）f（x）＝2lnx﹣x，定义域是（0，+∞），

f′（x）＝﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝2，

x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）递增，

x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，

综上，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；

（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝2lnx﹣x+（x﹣2）2（a≤1），

h′（x）＝﹣1+a（x﹣2）＝（2﹣x）（﹣a），

①a≤0时，﹣a＞0，令h′（x）＝0，解得x＝2，

x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，

x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，

h（x）max＝h（2）＝2ln2﹣2＜0，函数h（x）无零点；

②0＜a＜时，h′（x）＝（x﹣2）（x﹣），

令h′（x）＝0，解得x＝2或x＝＞2，

x∈（0，2），（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，

x∈（2，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，

而x∈（0，）时，h（x）≤h（2）＜0，h（）＜0，h（+2）＞﹣2＞0，

∴h（x）在（，+2）上有唯一零点；

③a＝时，h′（x）＝（x﹣2）2≥0，h（x）在（0，+∞）递增，

而h（2）＜0，h（6）＞0，

∴h（x）在（2，6）上有唯一零点；

④＜a≤1时，令h′（x）＝0，解得x＝2或x＝，

x∈（0，），（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，

x∈（，2）时，h′（x）＜0，h（x）递减，

∴x∈（0，2]时，h（x）≤h（）＝2ln﹣+﹣2+2a≤2（﹣1）﹣+﹣2+2a＝+2a﹣4＜0，

x＞2时，h（2）＜0，h（6）＞0，

∴h（x）在（2，6）上有唯一零点；

综上，a≤0时，h（x）无零点，0＜a≤1时，h（x）有唯一零点．

【点评】本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．