广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2023-2024学年+九年级上学期开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2023-2024学年+九年级上学期开学考数学试卷，共13页。试卷主要包含了下列图标中，是中心对称图形的是，若分式有意义，则x的取值范围是，正十边形的一个外角的度数为，下列运算正确的是，下列命题中，为假命题的是等内容，欢迎下载使用。

龙城初级中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．ma＞mb
3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠6 B．x≠0 C．x≠﹣ D．x≠﹣6
4．正十边形的一个外角的度数为（　　）
A．144° B．120° C．60° D．36°
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a6＝a8 B．（﹣2a）3＝6a3
C．2（a+b）＝2a+b D．2a+3b＝5ab
6．下列命题中，为假命题的是（　　）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，B的对应点分别为C，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（　　）

A．（1，4） B．（1，3） C．（2，4） D．（2，3）
8．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为（　　）

A． B． C． D．
9．胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，每天修建的公路比原计划增加了40%，结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　）

A． B． C．17 D．5
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：a2﹣1＝　 　．
12．若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝　 　．
13．已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
14．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，则图中四边形ACED的面积为　 　．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，则MN的最小值是 　 　．

三．解答题（共55分）
16．（5分）先化简，再求值：，其中x＝4．
17．（8分）解一元二次方程：
（1）4x2＝12x； （2）x2+4x+3＝0；
（3）x2﹣4x﹣6＝0； （4）3x2﹣4x﹣2＝0．
18．（7分）如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

19．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°得到的△A1B1C，直接写出A1的坐标为 　 　；
（2）若△A2B2C2和△ABC，关于原点O成中心对称，请画出△A2B2C2；
（3）在（1）的旋转过程中，求CA扫过图形的面积．

20．（8分）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
21．（9分）如图，在▱ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝3，求四边形AECF的面积．

22．（10分）已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不属于中心对称图形；
B、属于中心对称图形；
C、不属于中心对称图形；
D、不属于中心对称图形；
故选：B．
2．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．ma＞mb
【解答】解：A选项，不等式两边都减1，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
B选项，不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+1，故该选项不符合题意；
D选项，当m≤0时，不等式不成立，故该选项符合题意；
故选：D．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠6 B．x≠0 C．x≠﹣ D．x≠﹣6
【解答】解：要使分式有意义，必须x+6≠0，
解得，x≠﹣6，
故选：D．
4．正十边形的一个外角的度数为（　　）
A．144° B．120° C．60° D．36°
【解答】解：由于正十边形的每一个内角都相等，
因此正十边形的每一个外角也相等，
由于外角和是360°，
所以每一个外角为＝36°，
故选：D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a6＝a8 B．（﹣2a）3＝6a3
C．2（a+b）＝2a+b D．2a+3b＝5ab
【解答】解：A．a2•a6＝a8，故本选项符合题意；
B．（﹣2a）3＝﹣8a3，故本选项不合题意；
C．2（a+b）＝2a+2b，故本选项不合题意；
D．2a和3b不是同类项，不能合并，故本选项不合题意．
故选：A．
6．下列命题中，为假命题的是（　　）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB＝AD，CB＝CD，但AB≠CB的四边形，故选项A中的命题是假命题，故选项A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，B的对应点分别为C，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（　　）

A．（1，4） B．（1，3） C．（2，4） D．（2，3）
【解答】解：∵A（﹣1，0）的对应点C的坐标为（2，1），
∴平移规律为横坐标加3，纵坐标加1，
∵点B（﹣2，3）的对应点为D，
∴D的坐标为（1，4）．
故选：A．
8．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝120，AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD＝DH×AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝，
故选：C．
9．胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，每天修建的公路比原计划增加了40%，结果提前5天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：若设原计划每天修建x米，则实际每天修建（1+40%）x米，
依题意得：﹣5＝．
故选：C．
10．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（　　）

A． B． C．17 D．5
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
12．若方程x2﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m2﹣m+5＝　6　．
【解答】解：把x＝m代入x2﹣x﹣1＝0，得
m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴代数式m2﹣m+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
13．已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　9　．
【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4m＝0，
∴m＝9．
故答案为：9．
14．如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，则图中四边形ACED的面积为　20　．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝8，
∴BC＝AB＝4，
∴AC＝＝4，
∵将△ABC沿BC方向平移7个单位长度得到△DEF，
∴AD＝BE＝7，AD∥BE，
∴CE＝3，
∴图中四边形ACED的面积＝×（7+3）×4＝20，
故答案为：20．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，则MN的最小值是 　　．

【解答】解：如下图，连接PC，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
∴当PC⊥AB时，PC的值最小，即MN的值最小，
∴PC＝＝＝，
∴MN最小值是，
故答案为：．
三．解答题（共55分）
16．先化简，再求值：，其中x＝4．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝•
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
17．解方程：（1）4x2＝12x；
（2）x2+4x+3＝0；
（3）x2﹣4x﹣6＝0；
（4）3x2﹣4x﹣2＝0．
【解答】解：（1）4x2＝12x，
4x2﹣12x＝0，
4x（x﹣3）＝0，
4x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3；
（2）x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣1．
（3）x2﹣4x﹣6＝0，
x2﹣4x+4＝10，
（x﹣2）2＝10，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）3x2﹣4x﹣2＝0，
a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
x＝＝，
x1＝，x2＝；
18．如图，在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

【解答】解：设水渠的宽度为xm，由题意得：
（92﹣2x）（60﹣x）＝885×6．
解得x1＝105（不含题意，舍去），x2＝1．
∴x＝1．
答：水渠的宽度为1m．
19．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°得到的△A1B1C，直接写出A1的坐标为 　（2，0）　；
（2）若△A2B2C2和△ABC，关于原点O成中心对称，请画出△A2B2C2；
（3）在（1）的旋转过程中，求CA扫过图形的面积．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（2，0）；

故答案为：（2，0）；
（2）略；
（3）因为CA＝＝3，
所以CA扫过图形的面积＝＝π．
20．应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，+5＝，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
21．如图，在▱ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝3，求四边形AECF的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝3，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝3，EF＝2OE＝3，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×3×3＝．
22．已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．

【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，∴y＝x+6；
（2）∵D点与C点关于BC对称，∴CO＝CD，BO＝BD，
∵BO＝6，∴BD＝6，
∵OA＝8，BO＝6，∴AB＝10，∴AD＝4，
在Rt△ACD中，CD2+16＝（8﹣CD）2，解得CD＝3，∴CO＝3，∴AC＝5；
（3）由（2）可得C（﹣3，0），设P（x，y），
①当AB为平行四边形的对角线时，，解得，∴P（﹣5，6）；
②当AC为平行四边形的对角线时，，解得，∴P（﹣11，﹣6）；
③当AP为平行四边形的对角线时，，解得，∴P（5，6）；
综上所述：P点坐标为（﹣5，6）或（﹣11，﹣6）或（5，6）．