八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线完美版课件ppt

这是一份八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线完美版课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了你能证明这个结论吗，结论证明，做一做，三个顶点，连接OC等内容，欢迎下载使用。

在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
1.会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
画一画：（1）分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
（2）分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
做一做： 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你能写出证明过程吗？
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM、角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠ A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，∴PD=PE(____________________________________________). 同理:PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(________________________________ _____________________________)，即 ∠A的平分线经过点P.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪三边的距离相等,凉亭的位置应选在(　 　)A.三角形的三条中线的交点处B.三角形的三边的垂直平分线的交点处C.三角形的三条角平分线的交点处　　D.三角形的三条高所在直线的交点处
三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的区别
∵AD是△ABC的角平分线, DC⊥AC， DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，
(2)求证:AB=AC+CD.
由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.
解：点O到△ABC三边的距离和为12.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6,
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2, ∴OD的长为2.
1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离.2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.（1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作出这一点，并说明理由；
解：如图，作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点.作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，垂足分别为E、F、G.∵AP是∠BAC的平分线，∴PE＝PG.∵CP是∠ACB的平分线，∴PF＝PG.∴PE＝PF＝PG；
（2）求这点到各边的距离.
解：连接BP.设PE＝PF＝PG＝x. ∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC， ∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x. ∴7×24＝（7＋24＋25）x. 解得x＝3. 即这点到各边的距离为3.
（2020·怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ）
A.3 B.1.5C.2 D.6
1. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 (　 　)A.点O一定在△ABC的内部B.∠C的平分线一定经过点OC.点O到△ABC三边的距离一定相等　D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等
2. 如图,在Rt△ABC中,点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
3.如图,已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）A.P为∠A，∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
4. 如图, O是△ABC的角平分线的交点,△ABC的面积为2,周长为4,则点O到BC的距离为(　 　)A.1B.2C.3D.无法确定
1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴　CD＝DE (角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中,　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
2、如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　 　)A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.2∶3∶4D.3∶4∶5
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
应用：位置的选择问题.