2023年高考数学二轮复习试题专题01 指对幂比较大小（Word版附解析）

这是一份2023年高考数学二轮复习试题专题01 指对幂比较大小（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了核心先导，考点再现，解法解密，考点解密，分层训练等内容，欢迎下载使用。

专题01 指对幂比较大小
一、核心先导


二、考点再现

【考点1】指数函数
1.定义：函数叫做指数函数，定义域为.
2.性质：




图
象



性
质
（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）增函数
（4）减函数
（5）;
（5）;
【考点2】对数函数
1.定义：函数叫做对数函数，定义域是.
2.性质：




图
象



性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
（5）；；
（5）；
【考点3】幂函数
1、幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
2、五种常见幂函数
函数





图象





性质
定义域





值域





奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点

3、幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
三、解法解密

方法一：放缩法
1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数
2、指数和幂函数结合来放缩。
3、利用均值不等式等不等关系放缩
4、“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.
方法二：作差法、作商法
1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小
2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解
方法三：构造函数，运用函数的单调性比较
学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.
构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.
1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；
2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.
四、考点解密

题型一:简单放缩比较大小
例1．（1）、（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
（2）、（2022•天津模拟）设，b＝0.50.8，c＝0.8﹣0.5，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【分析】利用对数函数的单调性可判断＜0.5，再利用指数函数的单调性判断b、c即可．
【解答】解：∵＜ln＝0.5，
0.5＝0.51＜0.50.8＜0.50＝1，
即0.5＜b＜1，
c＝0.8﹣0.5＞0.80＝1，
∴a＜b＜c，
故选：C．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用
【变式训练1-1】、（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
【变式训练1-2】、（2022•东湖区校级三模）已知a＝log29，b＝e0.6，c＝20.55，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】通过临界值即与函数的单调性即可比较大小．
【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，b＝e0.6＜e1≈2.7，所以a＞b．
又因为e＞e0.55＞20.55，所以b＞c，所以选项C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数对数运算，属于简单题．
题型二:作差法或作商法比较大小
例2．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先用作差法及基本不等式判断、，再由幂函数的性质得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、.
【详解】解：
因为，即，
所以，即，
又，
令，则，所以当时，当时，所以，
即，当且仅当时取等号，所以，
令，则，所以当时，
所以在上单调递增，显然，又，所以，
即，
所以，即；
故选：C
（2）、（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用作差法，结合基本不等式判断大小，再构造函数判断与的大小关系即可.
【详解】对，
因为，即，
所以，即；
对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，
所以，令，则，
所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，

，
因此，.
故选：D.
【变式训练2-2】、（2018•新课标Ⅲ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【分析】法二、利用作商法，结合对数的运算性质分析得答案．
法一、直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：法一、∵＝log0.32+log0.30.2
＝log0.3（2×0.2）＝log0.30.4∈（0，1），
且a＝log0.20.3∈（0，1），b＝log20.3＜0，
∴ab＜0，可得a+b＜0，结合，
可得ab＜a+b＜0．
故选：B．
法二、∵a＝log0.20.3＝，b＝log20.3＝，
∴＝，
，
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
题型三:利用函数的单调性比较大小
例3．（1）、（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据式子的结构两边取对数后构造函数及，再利用单调性可求解
【详解】由，，可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
由，,可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
综上可得.
故选：C
（2）、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（    ）
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】由对数函数的性质可比较出的大小，再构造函数，利用导数求出其单调区间，从而可比较出的大小和的大小，从而可得结果
【详解】，，由于，所以，
设，则，当时，，当时，，
所以f（x）在单调递增，在上单调递减，所以，
即，即，所以，
得：，即，
又，所以，得：，即，
综上：，
故选：D
【变式训练3-1】、（2022·江西师大附中三模（理））设．则a，b，c大小关系是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据自然常数的定义和指数幂的运算性质可知、，构造函数，利用导数研究函数的单调性可得，进而可得，即可得出结果.
【详解】由，故；
，故；
假设，有，
令，则，所以在上单调递增，
而，则，所以成立，；
故．
故选：A．
【变式训练3-2】、（2022·河南·三模（理））已知，，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，研究其单调性，进行比较大小.
【详解】，，由于，所以，
设，则 ，当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，两边同乘以3得：，即，
又，
所以，两边同乘以2得：，即，
综上：.
故选：A
题型四:高考压轴题目
例4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）
A．a 【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
【变式训练4-1】、（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用作商法比较的大小，通过比较b与0.8,c与0.8的大小比较b,c的大小，从而得a,b,c的大小.
【详解】解：，
；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．






五、分层训练

A组 基础巩固
1．（2022·辽宁·高三期中）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别判断出的范围即可.
【详解】因为，，，所以．
故选：D
2．（2022·吉林·扶余市第一中学高一期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性以及指数幂的性质即可求解.
【详解】由于对数函数单调递增，且，故，∴，∵，，∴．
故选：D
3．（2022·江苏淮安·高三期中）已知，，则（    ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】将转化为指数式，然后代入目标式，利用指数的运算性质计算即可.
【详解】由得，即，

故选：D.
4．（2022·山东青岛·高一期中）设，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用指数函数､幂函数的单调性，得出结论．
【详解】解：∵，
函数是增函数，，∴，∴，且
又，即，
综上可得，，
故选：C.
5．（2022·山东·青岛二中分校高一期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，
所以，
又，
∴．
故选：C．
6．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由三个实数的初值比较大小排除一些答案，在进一步比较，从而得出结果.
【详解】因为，，
所以的值最小，C,D错误，
又
所以
所以
故选：A.
7．（2022·安徽·高二开学考试）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过指数函数和对数函数的单调性，得到，，，即得到答案.
【详解】根据对数函数单调性知，，即，根据指数函数单调性知，
即，．
故选：C．
8．（2022·贵州·模拟预测（文））已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．
【详解】∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选：D.
9．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）已知，则下列关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】，
由于在上递增，所以，即，
，
所以，即.
故选：A
10．（2022·浙江·高一期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算，幂函数及对数函数的性质即得.
【详解】，，，
，
，又，

故选：C.

B组 能力提升
11．（2022·河南河南·一模（文））已知，则这三个数的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解
【详解】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，
所以，即，
所以，所以，
又递增，
所以，即；
，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：

由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，
故选：A
12．（2022·四川雅安·模拟预测（理））设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性判断b，c大小，构造函数，利用导数探讨单调性判断c，a大小作答.
【详解】令，求导得，显然，而，
则有，即函数在上单调递增，，即当时，，
取，于是得，因此，
令，求导得，
显然在上单调递减，，
即，函数在上单调递增，，即当时，，
取，于是得，即，
所以a，b，c的大小关系是.
故选：C
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
13．（2022·湖南·模拟预测）若，（）试比较的大小关系（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先估算出，进而求出的范围，再由求出的范围，最后构造函数估算出即可求解.
【详解】由得，故，又，故，
由常用数据得，下面说明，令，，
当时，，单增，当时，，单减，则，
则，则，，
令，则，，
，则，综上，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出的范围，放缩得到，再由和结合即可求解.
14．（2022·河南·三模（理））已知，，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，研究其单调性，进行比较大小.
【详解】，，由于，所以，
设，则 ，当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，两边同乘以3得：，即，
又，
所以，两边同乘以2得：，即，
综上：.
故选：A
15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数的性质可知，，又，，所以构造函数，再利用函数的单调性比较，的大小即可．
【详解】，，，
，，
，，
构造函数，
显然函数在上单调递增，
又，
，即，
，
故选：．
16．（2021·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用比较法，结合基本不等式、对数换底公式比较出的大小关系，再通过构造函数，利用导数的性质比较出的大小关系即可.
【详解】，
因为 ，所以有：
，
所以，
，设，，
当时，，所以在上单凋递减，
因此，即，，，，，所以，综上可知.
故选：C.
【点睛】关键点睛：通过构造函数的方法确定的大小是解题的关键.

C组 真题实战练
17．（2021·广西师范大学附属外国语学校模拟预测（理））已知，，，，则、、、的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.
【详解】，，，
，，则，
，，则，
因此，.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
18．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
19．（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
20．（2018·天津·高考真题（文））已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
21．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）
A．a 【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
22．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b 综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减

令
，即函数在（1，3)上单调递增

综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.