吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

这是一份吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市榆树市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1
2．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
3．（3分）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．900×（1﹣x）2＝600 B．900×2（1﹣x）＝600
C．900×（1﹣2x）＝600 D．900×（1﹣x2）＝600
5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（3，﹣7），那么该二次函数有（　　）
A．最小值﹣7 B．最大值﹣7 C．最小值3 D．最大值3
6．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为（　　）

A．3km B．4km C．5km D．6km
7．（3分）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（　　）

A．6cosα B． C．6sinα D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）已知二次函数y＝3x2，则其图象的开口向 　 　．（填“上”或“下”）
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
11．（3分）下列事件：①长春市某天的最低气温为﹣200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是 　 　（只填写序号）．
12．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，则sinB的值为 　 　．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB、AC于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D．若△DAC∽△ABC，则∠B的大小为 　 　度．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）计算：（﹣）÷+．
16．（6分）解方程：3x2+6x﹣4＝0．
17．（6分）小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．

18．（7分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）
【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】

20．（8分）如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．

21．（8分）按要求作图（必须用直尺连线）：
（1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1，
（2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB．

22．（9分）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．

【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为　 　．
23．（10分）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　 　．
24．（12分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝4，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）tanA的值为 　 　．
（2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（3）当t＝6时，求△PCQ的面积．
（4）连结AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．


2022-2023学年吉林省长春市榆树市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1
【分析】根据二次函数定义可得a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：D．
2．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．a＝1，b＝3，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝4，c＝3，d＝6 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；
B.4×10≠6×5，故本选项错误；
C.4×3＝2×6，故本选项正确；
D.2×3≠1×4，故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先弄清正方体骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出掷得“6”的概率．
【解答】解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现，
因此掷得“6”的概率是．
故选：D．
4．（3分）随着生产技术的进步，生产成本逐年下降．某工厂两年前生产一台扫地机器人的成本是900元，现在生产一台扫地机器人的成本是600元．设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．900×（1﹣x）2＝600 B．900×2（1﹣x）＝600
C．900×（1﹣2x）＝600 D．900×（1﹣x2）＝600
【分析】等量关系为：两年前的生产成本×（1﹣年平均下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该种扫地机器人生产成本的年平均下降率为x，根据题意得：
900（1﹣x）2＝600，
故选：A．
5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（3，﹣7），那么该二次函数有（　　）
A．最小值﹣7 B．最大值﹣7 C．最小值3 D．最大值3
【分析】抛物线开口向下，则顶点纵坐标为函数最大值．
【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（3，﹣7），
∴二次函数最大值为y＝﹣7．
故选：B．
6．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为（　　）

A．3km B．4km C．5km D．6km
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝10km，
∴CM＝5（km），
即M，C两点间的距离为5km，
故选：C．
7．（3分）如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（　　）

A．6cosα B． C．6sinα D．
【分析】根据正切的定义计算，判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6米，∠ABC＝α，
∵cos∠ABC＝，
∴AB＝＝，
故选：B．

8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（　　）

A． B．3 C． D．5
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，因平行四边形对角线互相平分，PQ必过AC的中点，而OP最小，就是点O到BC的垂线段的长．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．

在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）已知二次函数y＝3x2，则其图象的开口向 　上　．（填“上”或“下”）
【分析】据二次项系数得出抛物线的开口方向．
【解答】解：y＝3x2，
∵a＝3＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，即9﹣4k＝0，
解得k＝．
故答案为：．
11．（3分）下列事件：①长春市某天的最低气温为﹣200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是 　②　（只填写序号）．
【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：①长春市某天的最低气温为﹣200℃，是不可能事件，故此选项不合题意；
②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意；
③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，故此选项不合题意；
故答案为：②．
12．（3分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，则sinB的值为 　　．

【分析】根据三角函数求出AD的值，进而求出BD，利用勾股定理求出BC即可求出sinB的值．
【解答】解：∵CD＝6，tanA＝，
∴tanA＝＝，
∴AD＝4，
∵AB＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8，
由勾股定理可得BC＝＝＝10，
∴sinB＝＝＝，
故答案为：．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB、AC于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D．若△DAC∽△ABC，则∠B的大小为 　30　度．

【分析】先利用基本作图得到AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC，再根据相似三角形的性质得到∠CAD＝∠B，则∠B＝∠BAC，然后根据三角形内角和求∠B的度数．
【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠B＝∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
即∠B+2∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
故答案为：30．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A．过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于C、BD⊥y轴于D，则图中阴影部分图形的面积和为 　18　．

【分析】先把原点坐标代入解析式求出k得到B点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分图形的面积和＝S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可．
【解答】解：把（0，0）代入y＝﹣（x﹣3）2+k得﹣（0﹣3）2+k＝0，解得k＝6，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6，
∴B点坐标为（3，6），
∵BC⊥x轴于C，
∴图中阴影部分图形的面积和＝S矩形OCBD＝3×6＝18．
故答案为18．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（5分）计算：（﹣）÷+．
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+
＝2﹣+
＝．
16．（6分）解方程：3x2+6x﹣4＝0．
【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac＝84，根据公式即可求出答案．
【解答】解：a＝3，b＝6，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（6分）小华有3张卡片，小明有2张卡片，卡片上的数字如图所示．小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为6的概率．

【分析】利用小华有3张卡片，小明有2张卡片，小华和小明分别从自己的卡片中随机抽取一张，根据题意画出树状图．
【解答】解：

或
小华
和
小明
2
2
3
4
6
6
7
5
7
7
8
∴P（抽取的两张卡片上的数字和为6）＝＝．
18．（7分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【分析】（Ⅰ）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（Ⅱ）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
【解答】（Ⅰ）证明：当m＝0时，此方程为一元一次方程，此时x＝1．方程有实数根，
当m不等于0时，Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
19．（7分）如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）
【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】

【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，根据锐角三角函数求出BE的长，进而可得AB．
【解答】解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝CF＝MN＝1.6（米），EF＝AC＝35（米），EN＝AM，NF＝MC，∠BEN＝∠DFN＝90°．

∴DF＝CD﹣CF＝16.6﹣1.6＝15（米）．
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15（米）．
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20（米）．
在Rt△BEN中，
∵，
∴BE＝EN⋅tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6（米）．
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6＝30.2≈30（米）．
答：居民楼AB的高度约为30 米．
20．（8分）如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．

【分析】（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）求得抛物线的顶点坐标，结合正方形的边长即可求得结论．
【解答】（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，
∴，
解得；
（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3），
∵正方形边长为2，
∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．
21．（8分）按要求作图（必须用直尺连线）：
（1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1，
（2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB．

【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出答案；
（2）直接利用锐角三角函数关系结合网格得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示，△DEC即为所求；

（2）如图②所示，△ACB即为所求．

22．（9分）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．

【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为　29°　．
【分析】【教材呈现】根据三角形中位线定理得到PM＝BC，PN＝AD，根据AD＝BC，得到PM＝PN，根据等腰三角形的性质证明结论；
【结论应用】（1）根据三角形中位线定理得到PM∥BC，根据平行线的性质得到∠PMN＝∠F，同理得到∠PNM＝∠AEN，等量代换证明结论；
（2）根据平行线的性质、三角形的外角性质求出∠MPN，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
23．（10分）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　m2+5n2　，b＝　2mn　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4＝（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝　　．
【分析】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；
（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；
（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+5n2，
∵a+b＝（m+n）2，且a、b、m、n均为整数，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∵x+4＝（m+n）2，
∴，
又∵x、m、n均为正整数，
∴或，
即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；
（3）原式＝
＝
＝，
故答案为：+．
24．（12分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，AB＝8，BD⊥AB．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动（点P不与点A、B、C重合）．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM＝4，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）tanA的值为 　　．
（2）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（3）当t＝6时，求△PCQ的面积．
（4）连结AC．当点M或点N落在AC上时，直接写出t的值．

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长，再利用正切的定义可求解．
（2）分两种情形求解即可①如图2中，当0＜t＜4时，②如图3中，当4＜t＜9时；
（3）当t＝6时，点P在线段BC上，可求出PQ的长，根据三角形的面积公式求解即可；
（4）分两种情形分别求解即可，①当点M在线段AC上．②当点N在线段AC上．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝6，
∴tanA＝＝，
故答案为：；
（2）①如图2中，当0＜t＜4时，

∵PQ∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝t．
②如图3中，当4＜t＜9时，

∵PQ∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝（18﹣2t）＝﹣t+．
综上，当0＜t＜4时，PQ＝t；当4＜t＜9时，PQ＝﹣t+．
（3）当t＝6时，，，
∴．
（4）①当点M在线段AC上，如图，
，
在Rt△APQ中，AP＝2t，PQ＝t，
则AQ＝t，
由矩形的性质可知，QM∥AB，QM＝PN＝4，
又AB∥CD，
∴QM∥CD，
∴AQ：AD＝QM：CD，即t：10＝4：8，解得t＝2；
②当点N在线段AC上，如图，

在Rt△ACQ中，CP＝18﹣2t，
由矩形的性质可知，PN∥CD，QM＝PN＝4，
又AB∥CD，
∴PN∥AB
∴CP：BC＝PN：AB，即（18﹣2t）：10＝4：8，解得t＝；
综上，t＝2或．