吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案）

这是一份吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 （含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市榆树市九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．3
3．若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
4．下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．×＝
C．÷＝ D．×＝﹣3
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8
6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为（　　）

A． B． C．12 D．20
7．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
8．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（　　）

A．x（49+1﹣x）＝200 B．x（49﹣2x）＝200
C．x（49+1﹣2x）＝200 D．x（49﹣1﹣2x）＝200
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．＝　 　．
10．若＝3﹣x，则x的取值范围是 　 　．
11．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是　 　．
12．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝　 　．
13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 　 　米．

14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：x2+5x+3＝0．
17．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个△ABP，使得△ABP与△ABC相似，且点P在格点上．


18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）若方程的一个根为2，求m的值．
（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
19．实数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简．

20．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连接BD、CD、CE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．

21．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．

22．探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连接AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．
求证：△ACD∽△CBE．
应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是　 　．

23．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 　 　个水杯，月销售利润是 　 　元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 　 　个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
24．如图，已知直线y＝x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求△AOB的面积；
（2）用含有t的代数式表示C点的坐标；
（3）直接写出t为何值时，△ACD面积为；
（4）直接写出△ACD与△AOB相似时t的值．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣a＝1 D．y＝2x
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x﹣1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．x﹣a＝1是分式方程，故本选项不符合题意；
D．y＝2x是二元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．3
【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．
解：A、＝2，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
B、＝3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【分析】根据已知条件得出＝，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝，
∴＝+1＝+1＝；
故选：C．
4．下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．×＝
C．÷＝ D．×＝﹣3
【分析】根据二次根式的减法对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ×＝＝，所以B选项不符合题意；
C． ÷＝＝，所以C选项符合题意；
D．原式＝6×3＝18，所以D选项不符合题意；
故选：C．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝6 D．（x﹣2）2＝8
【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．
解：∵x2﹣4x﹣4＝0，
∴x2﹣4x＝4，
则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，
故选：D．
6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，则BE的长为（　　）

A． B． C．12 D．20
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
∵AD＝AG+GD，AG＝2，GD＝1，DF＝5，BC＝4，
∴＝，
∴CE＝，
∴BE＝BC+CE＝4+＝；
故选：B．
7．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）

A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
8．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则下列所列方程正确的是（　　）

A．x（49+1﹣x）＝200 B．x（49﹣2x）＝200
C．x（49+1﹣2x）＝200 D．x（49﹣1﹣2x）＝200
【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程并解答；
解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．＝　10　．
【分析】利用＝|a|进行化简即可．
解：原式＝|﹣10|＝10，
故答案为：10．
10．若＝3﹣x，则x的取值范围是 　x≤3　．
【分析】根据二次根式的性质列出关于x的不等式，求出x的值即可．
解：∵＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故答案为：x≤3．
11．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是　13　．
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+12＝13．
所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
12．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝　﹣2　．
【分析】先把x＝1代入x2+3mx+n＝0，得到3m+n＝﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．
解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：
1+3m+n＝0，
3m+n＝﹣1，
则6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；
故答案为：﹣2．
13．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 　3　米．

【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
解：由题意知：AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝3米，
故答案为：3．
14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，D为边BC上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若＝，则的值为　　．

【分析】设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，想办法用k表示AD，BE即可解决问题．
解：∵＝，
∴可以假设CD＝k，BD＝2k，则CB＝CA＝3k，
∵∠C＝90°，
∴AD＝＝＝k，
∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠CDA＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝k，
∴＝＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：．
【分析】先进行化简，再进行加减运算即可．
解：
＝
＝﹣．
16．解方程：x2+5x+3＝0．
【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
解：a＝1，b＝5，c＝3
∴b2﹣4ac＝13
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
17．图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个△ABP，使得△ABP与△ABC相似，且点P在格点上．


【分析】作∠ABP＝90°，△ABP与△ABC的相似比为，如图①；作∠BAP＝90°，△ABP与△ABC的相似比为，如图②．
解：如图①、②，△ABP为所作．

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）若方程的一个根为2，求m的值．
（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）把x＝2代入原方程，得到关于m的方程，解之即可，
（2）根据判别式公式，得到Δ＞0，即可得到答案．
解：（1）根据题意得：22﹣2m﹣2＝0，
解得：m＝1，
（2）Δ＝b2﹣4ac＝m2+8，
∵无论m取何实数，m2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
19．实数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简．

【分析】应用二次根式的定义化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．
解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴＝|a|﹣|b|+|a﹣b|
＝（﹣a）﹣b+（b﹣a）
＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a．
20．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连接BD、CD、CE．
（1）求证：△ABD∽△ACE．
（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．

【分析】（1）由相似三角形的性质可得，∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，由两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABD∽△ACE；
（2）由相似三角形的性质可得，可求CE＝2，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴，∠ABD＝∠ACE，
又∵BD＝3，
∴CE＝2，
∴CD＝CE＝2，
∵∠ABD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝CD＝2．
21．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．

【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
22．探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连接AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．
求证：△ACD∽△CBE．
应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是　　．

【分析】探究：根据已知条件得到∠ADC＝∠CEB＝90°，于是得到∠ACD+∠DAC＝90°，由于∠ACB＝90°，于是得到∠ACD+∠ECB＝90°，根据余角的性质得到∠DAC＝∠ECB，即可得到结论；
应用：通过△ACD≌△BCE，得到AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，根据勾股定理得到AC＝BC＝＝，AB＝，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．
【解答】探究：证明：∵l1∥l3，CD⊥l1，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；

应用：在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，
∵∠ADC＝CEB＝90°，
∴AC＝BC＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴AF＝．
故答案为：．
23．直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元，当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．
（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出 　550　个水杯，月销售利润是 　8250　元．
（2）若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出 　（600﹣10x）　个水杯（用含x的代数式表示）．
（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价．
【分析】（1）利用平均每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可求出当每个水杯的售价为45元时平均每月可售出550个水杯，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×平均每月的销售量，即可求出当每个水杯的售价为45元时月销售利润为8250元；
（2）利用每月的销售量＝600﹣10×每个水杯上涨的价格，即可用含x的代数式表示出每个水杯售价上涨x元时的月销售量；
（3）利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可确定x的值，再将其代入（40+x）中即可求出每个水杯的售价为50元．
解：（1）600﹣10×（45﹣40）＝600﹣10×5＝600﹣50＝550（个），
（45﹣30）×550＝15×550＝8250（元）．
故答案为：550；8250．
（2）依题意得：若每个水杯售价上涨x元（x＞0），每月能售出（600﹣10x）个水杯．
故答案为：（600﹣10x）．
（3）依题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40．
当x＝10时，600﹣10x＝600﹣10×10＝500；
当x＝40时，600﹣10x＝600﹣10×40＝200．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：每个水杯的售价为50元．
24．如图，已知直线y＝x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求△AOB的面积；
（2）用含有t的代数式表示C点的坐标；
（3）直接写出t为何值时，△ACD面积为；
（4）直接写出△ACD与△AOB相似时t的值．

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征结合一次函数图象上点的坐标特征求得点A和点B的坐标，然后利用三角形面积公式计算即可；
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，然后利用平行线分线段成比例定理，列比例式求解；
（3）根据三角形的面积公式列方程计算即可；
（4）分∠ADC＝90°和∠ACD＝90°两种情况，根据相似三角形的判定和性质定理列出比例式，计算即可．
解：如图：

（1）在y＝﹣x+8中，
当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得：x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
即OA＝6，OB＝8，
∴S△AOB＝OA•OB＝×6×8＝24，
即△AOB的面积为24；
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，
∴CN∥x轴，CM∥y轴，
在Rt△AOB中，AB＝＝10，
由题意可得，BC＝t，则AC＝10﹣t，
∴＝，即＝，
解得：CN＝t，
＝，即＝，
解得：CM＝，
∴C点坐标为（t，）；
（3）由题意可得：AD＝2t，
∵OA＝6，
∴0＜t≤3，
又∵当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，
∴点C在线段AB上，
∴S△ACD＝AD•CM，即×2t×＝，
解得：t＝3或t＝7（不合题意，舍去）．
∴t的值为3时，△ACD的面积为；
（4）①当∠ADC＝90°时，∠ADC＝∠AOB，
又∵∠BAO＝∠CAD，
∴△ACD∽△ABO，
∴，即，
解得：t＝，
②当∠ACD＝90°时，∠ACD＝∠AOB，
又∵∠BAO＝∠CAD，
∴△ACD∽△AOB，
∴＝，即，
解得：t＝＞3（不符合题意，舍去），
综上，△ACD与△AOB相似时t的值为．