吉林省长春市榆树市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2022-2023学年吉林省长春市榆树市九年级第一学期期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）

A.  B.  C.   D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．

【详解】解：A．是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是分式方程，故本选项不符合题意；

D．是二元一次方程，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】化简后看哪个被开方是是相同的即可．

【详解】A、，它的被开方数是3，与是同类二次根式，故本选项符合题意；

B、，与不同类二次根式，故本选项不符合题意；

C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

D、3与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题主要考查同类二次根是的定义，能够熟练化简二次根式是解题关键．

3. 若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件得出，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案．

【详解】解：∵

∴

∴=+1==

故选：C．

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

4. 下列计算正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则求解判断即可．

【详解】A、与不能合并，所以A选项不符合题意；

B、，所以B选项不符合题意；

C、，所以C选项符合题意；

D、，所以D选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．

5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可得．

【详解】解：，

，

则，即，

故选：D．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

6. 如图，，与相交于点G．若则的长为（　　）

A.  B.  C. 12 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】利用平行线分线段成比例解题即可．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例知识点，能够熟练运用比例关系是解题关键．

7. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（    ）

A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9

【答案】D

【解析】

【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．

【详解】解：设，

∵，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，

∵点F是BC的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选D．

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．

8. 某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先确定墙的长不是AD，根据题意求出矩形的长BC即可，注意加上门的长度.

【详解】解：已知设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，BC=49-2x+1 ，

所以 S矩形ABCD=AB×BC ，

所以方程为： x(49+1-2x)=200 ，

故选 C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共18分）

9. _____．

【答案】10

【解析】

【分析】根据算数平方根的性质即可进行解答．

【详解】解：原式=，

故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握．

10. 若，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的性质可得：，再结合绝对值的性质，即可求解．

【详解】解：∵，根据题意得：

，

∴ ，

解得： ．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，理解并掌握 是解题的关键．

11. 一元二次方程根的判别式的值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】直接根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可．

【详解】解：由题意得：

；

故答案为．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

12. 若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______．

【答案】-2

【解析】

【详解】把x=1代入+3mx+n=0得：1+3m+n=0，

∴3m+n=﹣1，

∴6m+2n=2（3m+n）=2×（-1）=﹣2，

故答案为：-2

【点睛】考点：整体思想求代数式的值.

13. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米．

【答案】3
 

【解析】

【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．

【详解】解：（米），

∴AB∥DC．

（米）．

故答案为：3

【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．

14. 如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为_____．

【答案】##0.6

【解析】

【分析】设，则，证明，用k表示即可解决问题．

【详解】解：∵，

∴可以假设，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可．

【详解】解：

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式加减混合运算法则．

16. 解方程：．

【答案】，

【解析】

【分析】根据公式法解一元二次方程．

【详解】解：，，，

∴，

∴

∴，．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．

17. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②中，各画一个，使得与相似，且点P在格点上．

【答案】见解析

【解析】

【分析】如图①，由，作即可得到与相似；如图②，作，即可得到与相似．

【详解】解：如图①、图②，为所作．

【点睛】本题考查了作相似三角形，根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．

18. 已知关于x的一元二次方程．

（1）若方程的一个根为2，求m的值．

（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）将代入一元二次方程，即可求解．

（2）求判别式即可证明；

【小问1详解】

解：∵方程的一个根为2，

将代入一元二次方程，

得，

解得．

小问2详解】

证明：，

，

∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

【点睛】本题考查一元二次方程的根和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法．

19. 实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简．

【答案】

【解析】

【分析】首先判断出a＜0，b＞0，a-b＜0，再化简即可；

【详解】解：由数轴知，，且．

∴．

．

【点睛】本题主要考查绝对值的定义，算术平方根的性质，正确掌握相关定义是解题关键．

20. 如图，，且，点D在内部，连接．

（1）求证：．

（2）若，且，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

分析】（1）根据可得，则，即可证明；

（2）根据，先求出的长度，在根据相似三角形对应角相等，得出，即可求解．

【小问1详解】

证明：∵，

∴ ，

∴，

∴；

【小问2详解】

∵，

∴ ，，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了三角形相似的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例；以及两边成比例且夹角相等的三角形相似．

21. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．

（1）求BC的长．

（2）求灯泡到地面的高度AG．

【答案】（1）3m；（2）1.2m

【解析】

【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；

（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．

【详解】解：（1）由题意可得：FC∥DE，

则△BFC∽△BED，

故，

即，

解得：BC＝3，

经检验，BC＝3是上述分式方程的解，

∴BC的长为3m；

（2）∵AC＝5.4m，

∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），

∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，

∴∠FBC＝∠GBA，

又∵∠FCB＝∠GAB，

∴△BGA∽△BFC，

∴，

∴，

解得：AG＝1.2（m），

∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．

【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．

22. 探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．

（1）求证：△ACD∽△CBE．

（2）应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是　   　．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件得到∠ADC=∠CEB=90°，于是得到∠ACD+∠DAC=90°，由于∠ACB=90°，于是得到∠ACD+∠ECB=90°，根据余角的性质得到∠DAC=∠ECB，即可得到结论；
（2）通过△ACD≌△BCE，得到AD=CE=1，CD=BE=2，根据勾股定理得到AC=BC=，AB=，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．

【详解】（1）∵l1∥l3，CD⊥l1，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；
（2）在△ACD与△CBE中，

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE=1，CD=BE=2，
∵∠ADC=CEB=90°，
∴AC=BC=，
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
∴AF=．
故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各定理是解题的关键．

23. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．

（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是_____元．

（2）若每个水杯售价上涨元，每月能售出______个水杯（用含的代数式表示）．

（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．

【答案】（1）550，8250；（2）（600-10x）；（3）水杯的售价为50元

【解析】

【分析】（1）根据题意，当每个水杯的售价为45元时月销量就减少个，进而求得平均每月售出的水杯个数，根据销售量乘以利润即可求得月销售利润；

（2）根据题意，列出代数式即可；

（3）设每个水杯售价上涨x元，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可．

【详解】解：（1）依题意，（个）；（元）；

故答案为：，；

（2）依题意：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯，

故答案：；

（3）设每个水杯售价上涨x元，根据题意，得

整理得，

即

解得，

∵要尽可能使顾客得到优惠

，

，

答：每个水杯的售价为元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．

24. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点C从点B出发，以每秒1个单位的速度沿方向匀速运动，同时动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿方向向点O匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（）．

（1）求的面积；

（2）用含有t的代数式表示C点的坐标；

（3）直接写出t为何值时，面积为；

（4）直接写出与相似时t的值．

【答案】（1）的面积为24   

（2）C点坐标为   

（3）t的值为3时，的面积为   

（4）与相似时t的值为

【解析】

【分析】（1）求出A，B的坐标计算即可．

（2）过点C作轴，轴，利用勾股定理及相似解题即可．

（3）利用（2）的结论及面积计算公式解题即可．

（4）分当时，，或当时，，两种讨论，利用相似的性质解题即可．

【小问1详解】

解：在中，

当时，，

当时，，

解得：，

∴，

即，

∴，

即的面积为24；

【小问2详解】

解：如图：

过点C作轴，轴，

∴轴，轴，

在中，，

由题意可得，，则，

∴，即，

解得：，

，即，

解得：，

∴C点坐标为；

【小问3详解】

解：由题意可得：，

∵，

∴，

又∵当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，

∴点C在线段AB上，

∴，

解得：或（不合题意，舍去）．

∴t的值为3时，的面积为；

【小问4详解】

解：①当时，，

又∵，

∴∽，

∴，即，

解得：，

②当时，，

又∵，

∴∽，

∴，即，

解得：（不符合题意，舍去），

综上，与相似时．

【点睛】本题主要考查相似的判定及性质的运用，能够熟练通过相似的性质写出边长之间的比值是解题关键．