山东省青岛市市北区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷 (含答案)

这是一份山东省青岛市市北区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省青岛市市北区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．5，3，4 C．4，6，9 D．5，11，13
3．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣5） B．（5，3） C．（﹣3，5） D．（3，5）
4．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．20° C．15° D．14°
5．（3分）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．加权平均数
6．（3分）点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+4图象上的两点．若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
7．（3分）某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）设b＞a，将一次函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，使得下列四个备选答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9．（3分）9的平方根是 　 　．
10．（3分）如图，直线a∥b，则∠A的度数是　 　．

11．（3分）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点B（﹣10，7），则点A的坐标是 　 　．

12．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的是 　 　．

13．（3分）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是 　 　．

14．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是　 　．

三、作图题（本大题共1小题，共6.0分）
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算题
（1）（3+）2﹣（2﹣3）（2+3）；
（2）（﹣2+）÷（2）．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
18．（8分）某社区从不同住宅楼中随机选取了200名居民，调查社区居民双休日的学习状况，并将得到的数据制成扇形统计图（如图①）和频数分布直方图（如图②）．

（1）在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有　 　人；
（2）在这个调查中，在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数和众数分别是多少？
（3）估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．
19．（8分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．

20．（6分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．

21．（8分）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为y1（元），选择公路运输时，所需费用y2（元），请分别写出y1（元），y2（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
22．（8分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 　 　km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？

23．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图（1），∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　°
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　 　
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4），则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　 　．
24．（10分）一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC
（1）求△ABC的面积和点C的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年山东省青岛市市北区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：无理数有：，﹣，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1），共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③字母，如π等．
2．（3分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．5，3，4 C．4，6，9 D．5，11，13
【分析】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
C、42+62≠92，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
D、52+112≠132，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形．
3．（3分）点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣5） B．（5，3） C．（﹣3，5） D．（3，5）
【分析】已知点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），从而求解．
【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（3，5）．
故选：D．
【点评】能够结合平面直角坐标系和对称的性质熟记平面内两点对称的坐标关系．
4．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．30° B．20° C．15° D．14°
【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AC交平行线与点H，则∠2＝30°，

∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
5．（3分）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．加权平均数
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可
【解答】解：
由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：A．
【点评】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
6．（3分）点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+4图象上的两点．若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣3x1+4，y2＝﹣3x2+4，然后在x1＜x2的条件下比较大小即可．
【解答】解：∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣3x+4图象上的两点，
∴y1＝﹣3x1+4，y2＝﹣3x2+4，
而x1＜x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．（3分）某校有两种类型的学生宿舍30间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满30间宿舍．设大宿舍有x间，小宿舍有y间，得方程组（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（3分）设b＞a，将一次函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象画在同一平面直角坐标系中，则有组a，b的取值，使得下列四个备选答案中有一个是正确的，则这个正确的答案是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质首先假设y＝ax+b正确，进而判断得出即可．
【解答】解：A、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数图象y＝bx+a应过一、三、四象限，故本选项错误；
B、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数图象y＝bx+a应过一、二、三象限，故本选项错误；
C、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数图象y＝bx+a过一、二、三象限，故本选项错误；
D、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数图象y＝bx+a应过一、二、三象限，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9．（3分）9的平方根是 　±3　．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
10．（3分）如图，直线a∥b，则∠A的度数是　44°　．

【分析】首先根据平行线的性质可得∠ABE＝∠ACF＝75°，再根据三角形内角和外角的关系可得∠A的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠ABE＝∠ACF＝75°，
∵∠D＝31°，
∴∠A＝75°﹣31°＝44°，
故答案为：44°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
11．（3分）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点B（﹣10，7），则点A的坐标是 　（﹣3，9）　．

【分析】设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点B的坐标为（﹣10，7），即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，将其代入（2x﹣x﹣y）和（x+2y）可求出点A横纵坐标的绝对值，结合点A的位置，即可得出点A的坐标．
【解答】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴2x﹣x﹣y＝2×5﹣5﹣2＝3，x+2y＝5+2×2＝9，
∴点A的坐标为（﹣3，9）．
故答案为：（﹣3，9）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．（3分）已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2，其中结论正确的是 　①②③　．

【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出结论；
③由条件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；
④△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE；故②正确；
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2．
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2）．故④错误．
故答案为：①②③．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
13．（3分）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是 　　．

【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．
【解答】解：∵y＝x＝2经过P（m，4），
∴4＝m+2，
∴m＝2，
∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，4），
∴，
故答案为
【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
14．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1）　．

【分析】由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），由此可以求出直线为y＝x+1，Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为（2n﹣1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]．
【解答】解：∵点B1（1，1），B2（3，2），
∴A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），
∴直线y＝kx+b（k＞0）为y＝x+1，
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标
又An的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为2n﹣1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]＝（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）．
【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
三、作图题（本大题共1小题，共6.0分）
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）设P（0，m），构建方程求解即可．
【解答】解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．

△A1B1C1顶点坐标为：A1（0，﹣1），B1（2，0），C1（4，﹣4）．
（2）设P（0，m），
由题意，|1﹣m|×2＝××2，
解得m＝6或﹣4，
∴点P的坐标为（0，6）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算题
（1）（3+）2﹣（2﹣3）（2+3）；
（2）（﹣2+）÷（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后再算加减，有小括号先算小括号里面的；
（2）化简二次根式，然后先计算小括号里面的加减法，再算括号外面的除法．
【解答】解：（1）原式＝9+6+5﹣（4﹣45）
＝9+6+5﹣（﹣41）
＝9+6+5+41
＝55+6；
（2）原式＝（2﹣+4）÷（2）
＝÷2
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
17．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1），
②×2得：2x+8y＝26③，
①﹣③得：﹣5y＝﹣10，
解得y＝2，
把y＝2代入①得：2x+6＝16，
解得x＝5，
故原方程组的解是：；
（2），
②×12得：6x+4y＝36③，
①+③得：9x＝42，
解得x＝，
把x＝代入①得：14﹣4y＝6，
解得y＝2，
故原方程组的解是：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
18．（8分）某社区从不同住宅楼中随机选取了200名居民，调查社区居民双休日的学习状况，并将得到的数据制成扇形统计图（如图①）和频数分布直方图（如图②）．

（1）在这个调查中，200名居民双休日在家学习的有　120　人；
（2）在这个调查中，在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数和众数分别是多少？
（3）估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．
【分析】（1）从扇形统计图中可以看出，双休日在家学习的人占60%，即可得出答案；
（2）根据在图书馆学习的人数占30%，得出在图书馆学习的人数为：200×30%＝60人，进而求出在图书馆学习4小时的有60﹣14﹣16﹣6＝24人，即可得出平均数与众数．
（3）首先从图2中计算出双休日学习时间不少于4小时的居民占总体的百分比，然后就可以通过样本估计总体，算出该社区2 000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数．
【解答】解：（1）在家学习的所占的比例是60%，因而在家学习的人数是：200×60%＝120（人）；
故答案为：120；
（2）根据在图书馆学习的人数占30%，
∴在图书馆学习的人数为：200×30%＝60人，
∴在图书馆学习4小时的有60﹣14﹣16﹣6＝24人，
∴在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数为：（14×2+16×6+24×4+6×8）÷60＝4，
∴平均数为4小时，众数为4小时．
（3）在家学习时间不少于4小时的频率是：＝0.71，
该社区2 000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数是：2000×0.71＝1420（人），
估计该社区2000名居民双休日学习时间不少于4小时的人数为1420人．
【点评】此题主要考查了扇形统计图与条形图的综合应用，利用扇形图与条形图得出正确信息是解题关键．
19．（8分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）利用平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
【点评】此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．
20．（6分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．

【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x米，可得AC＝AD＝x米，AB＝（x﹣2）米，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【解答】解：设旗杆高度为x米，则AC＝AD＝x米，AB＝（x﹣2）米，BC＝8米，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17（米），
即旗杆的高度为17米．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
21．（8分）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为y1（元），选择公路运输时，所需费用y2（元），请分别写出y1（元），y2（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
【分析】（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，然后根据“公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元”列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）分y1＝y2、y1＞y2、y1＜y2三种情况解答即可．
【解答】解：（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，
由题意可得：，
解得：，
答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克；
（2）由题意可得：y1＝0.58x，y2＝0.28x+600；
（3）当y1＝y2时，0.58x＝0.28x+600，
解得x＝2000，
∴当运输2000千克时，两种方式均可，
当y1＜y2时，0.58x＜0.28x+600，
解得x＜2000，
∴当运输少于2000千克时，铁路划算，
当y1＞y2时，0.58x＝0.28x+600，
解得x＞2000，
∴当运输超过2000千克时，公路划算．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用、列函数关系式以及一次函数的应用等知识点，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
22．（8分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 　360　km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km？

【分析】（1）由图象中的数据，可以直接写出A市和B市之间的路程；
（2）根据题意，可知快车速度是慢车速度的2倍，然后设出慢车的速度，即可得到相应的方程，从而可以求得慢车和快车的速度，进而计算出a的值，然后即可得到点M的坐标，并写出图中点M的横坐标、纵坐标的表示的实际意义；
（3）根据题意可知，分两种情况进行讨论，一种是快车到达B地前相距20km，一种是快车从B地向A地行驶的过程中相距20km，然后分别进行计算即可解答本题．
【解答】解：（1）由图可知，
A市和B市之间的路程是360km，
故答案为：360；

（2）根据题意可知快车速度是慢车速度的2倍，
设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h，
2（x+2x）＝360，
解得，x＝60
2×60＝120，
则a＝120，
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120 km处相遇；

（3）快车速度为120 km/h，到达B市的时间为360÷120＝3（h），
方法一：
当0≤x≤3时，y1＝﹣120x+360，
当3＜x≤6时，y1＝120x﹣360，
y2＝60x，
当0≤x≤3时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（﹣120x+360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
当3＜x≤6时，
y2﹣y1＝20，即60x﹣（120x﹣360）＝20，
解得，x＝，﹣2＝，
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
方法二：
设快车与慢车迎面相遇以后，再经过t h两车相距20 km，
当0≤t≤1时，60t+120t＝20，
解得，t＝；
当1＜t≤4时，60（t+2）﹣20＝120（t+2）﹣360，
解得，t＝．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过或 h两车相距20 km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图（1），∠α＝50°，则∠1+∠2＝　140　°
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　∠1+∠2＝90°+α　
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4），则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　∠2＝90°+∠1﹣α　．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2＝∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1＝∠C+∠2+α＝90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°，
故答案为：140；

（2）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α，
故答案为：∠1+∠2＝90°+α；

（3）∠1＝90°+∠2+α，
理由：如图3，∵∠2+∠α＝∠DME，∠DME+∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C+∠2+α＝90°+∠2+α；

（4）如图4，∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°﹣∠PFD＝180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1＝∠C+180°﹣∠2，
∴∠2＝90°+∠1﹣α，
故答案为：∠2＝90°+∠1﹣α．


【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质的综合应用，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
24．（10分）一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC
（1）求△ABC的面积和点C的坐标；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先令x＝0，y＝0求出一次函数的解析式．然后根据勾股定理求出AB的长，继而可求出三角形ABC的面积．
（2）依题意可得出S四边形ABPO＝S△ABO+S△BOP．
（3）设出点M的坐标，分三种，列方程即可得出结论．
【解答】解：（1）y＝﹣x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A（，0），B（0，1）．
∵△AOB为直角三角形，
∴AB＝2．
∴S△ABC＝×2×sin60°＝．
∵A（，0），B（0，1）．
∴OA＝，OB＝1，
∴tan∠OAB＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°，
∴C（，2）；
（2）如图1，

S四边形ABPO＝S△ABO+S△BOP＝×OA×OB+×OB×h＝××1+×1×|a|＝+|a|．
∵P在第二象限，
∴a＜0
∴S四边形ABPO＝﹣＝，
（3）如图2，

设点M（m，0），
∵A（，0），B（0，1）．
∴AM2＝（m﹣）2，MB2＝m2+1，AB＝2，
∵△MAB为等腰三角形，
∴①MA＝MB，
∴MA2＝MB2，
∴（m﹣）2＝m2+1，
∴m＝，
∴M（，0）
②MA＝AB，
∴MA2＝AB2，
∴（m﹣）2＝4，
∴m＝±2，
∴M（+2，0）或（﹣2，0）
③MB＝AB，
∴MB2＝AB2，
∴m2+1＝4，
∴m＝（舍）或m＝﹣．
∴M（﹣，0）．
∴满足条件的M的坐标为（，0）、（+2，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，要充分利用函数的特点图形的特征．