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山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷
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这是一份山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
2．（3分）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3．（3分）下列说法中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行
④带根号的数一定是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（ ）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边长之比为3：4：5
B．三内角之比为3：4：5
C．三内角之比为1：2：3
D．三边长的平方之比为1：2：3
6．（3分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是9.5 B．中位数是9.5
C．众数是9 D．方差是1
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图①是某公共汽车线路收支差额y（则价总收入减去运营或本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏，根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见
C．图②中当乘客量为1.5万人时，公交公司收支平衡
D．图③能反映乘客意见
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．（3分）若点P（m，m﹣3）在x轴上，则点P的坐标为 ．
10．（3分）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分．
11．（3分）某种樱桃经过加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%，现有未加工的该种樱桃50千克，将这些樱桃加工后出售比不加工直接出售可多卖32元，设加工前每千克售价x元，加工后每千克售价y元，根据题意可列方程组为 ．
12．（3分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 ．
14．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点F是AB上一点，AF＝1，点E是BC上一动点，连接EF，将△BEF沿EF折叠，使点B落在B′，连接DB′，则FB+DB′的最小值是 ．
15．（3分）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线x＝2上一点，若△ABP是以AB为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是 ．
三、解答题（本题满分72分，共有9道小题）
17．（6分）已知△ABC的顶点坐标分别是A（a，﹣3），B（﹣2，2），C（1，﹣2），且点A关于x轴的对称点P的坐标为（﹣3，b）．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求得△ABC的面积为 ．
18．（8分）（1）化简：；
（2）解方程组：．
19．（6分）一个正方体的棱长减小1cm，得到的新正方体的体积是64cm3，求原正方体的表面积．
20．（8分）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．x≤60；B.60＜x≤70；C.70＜x≤80；D.80＜x≤90，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88．
八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
（4）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？
21．（6分）如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
22．（8分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值．
23．（8分）2022年2月第24届冬奥会在北京举行．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元；
（2）若该专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），则专卖店共有哪几种采购方案？
24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出如表几组数据：
变量a（cm）
0
2
3.6
4
6
7
8.2
9.4
10
变量h（cm）
0
1.5
2.7
3
4.5
4
2.4
0.8
0
在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线．
（2）根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝3时，h＝ ；当h＝4时，a＝ ．
②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由；
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量a是以h为自变量的函数
B．变量h是以a为自变量的函数
（3）如图4，若DE在△ABC内扫过的图形面积等于9cm2，则a是多少cm？（结果精确到0.1cm）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，OB＝OC＝4，点P是线段AC上任意一点，设点P的横坐标为n，请解答下列问题：
（1）直接写出直线AC的函数关系式；
（2）连接BP，设△BPC的面积为S，求S与n的函数关系式；
（3）当△BPC面积是△ABC面积的时，求点P的坐标；
（4）连接OP，当线段OP最短时，求n的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：16的平方根是±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
2．（3分）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据对的估算进行求解．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
故选：D．
【点评】此题考查了对实数的估算及在数轴上的表示能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．（3分）下列说法中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行
④带根号的数一定是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形外角的性质，平行线的判定，无理数的概念逐项判断．
【解答】解：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故①是真命题；
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③是假命题；
带根号的数不一定是无理数，故④是假命题；
∴真命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
4．（3分）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（ ）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
【分析】根据点的坐标定义、各象限内点的坐标特征即可解答．
【解答】解：∵第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，
∴a+3＝5，
∴a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边长之比为3：4：5
B．三内角之比为3：4：5
C．三内角之比为1：2：3
D．三边长的平方之比为1：2：3
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【解答】解：A、三边长之比为3：4：5时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、三边长的平方之比为1：2：3时，
设三边的平方为k2，2k2，3k2，因为k2+2k2＝3k2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故C不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
6．（3分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是9.5 B．中位数是9.5
C．众数是9 D．方差是1
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、＝×（7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是＝9，故本选项不符合题意；
C、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；
D、该组成绩数据的方差S2＝[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b的图象判断出k，b的符号，进而可得出结论．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
8．（3分）如图①是某公共汽车线路收支差额y（则价总收入减去运营或本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏，根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见
C．图②中当乘客量为1.5万人时，公交公司收支平衡
D．图③能反映乘客意见
【分析】根据图②中提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡判断D选项错误即可．
【解答】解：图②中实线表示提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，
∴C选项表达不合理，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，熟练根据函数图象获取正确信息是解题的关键．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．（3分）若点P（m，m﹣3）在x轴上，则点P的坐标为 （3，0） ．
【分析】依据x轴上的点的纵坐标等于0，即可得到m的值，进而得出点P的坐标．
【解答】解：∵点P（m，m﹣3）在x轴上，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3，
∴点P的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握x轴上的点的纵坐标等于0．
10．（3分）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 8.3 分．
【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．
【解答】解：根据题意得：
＝8.3（分）．
故小明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
11．（3分）某种樱桃经过加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%，现有未加工的该种樱桃50千克，将这些樱桃加工后出售比不加工直接出售可多卖32元，设加工前每千克售价x元，加工后每千克售价y元，根据题意可列方程组为 ．
【分析】根据题意可得等量关系：加工后的单价＝加工前的单价×（1+20%）；樱桃50千克加工后所卖总价钱﹣加工前所卖总价钱＝32元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设加工前每千克卖x元，加工后每千克卖y元，根据题意得：
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．（3分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ．
【分析】关于x、y的方程组的解即为直线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点（2，2）的坐标．
【解答】解：∵直线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为2×2﹣2＝2，
即线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点为（2，2），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 125° ．
【分析】由三角形的外角的性质，得到∠1＝∠F+∠A+∠B，即可得到答案．
【解答】解：∵∠1＝∠F+∠ECF，∠ECF＝∠A+∠B，
∴∠1＝∠F+∠A+∠B，
∵∠A＝54°，∠B＝46°，∠F＝25°，
∴∠1＝54°+46°+25°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的外角的性质．
14．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点F是AB上一点，AF＝1，点E是BC上一动点，连接EF，将△BEF沿EF折叠，使点B落在B′，连接DB′，则FB+DB′的最小值是 ．
【分析】连接DF．利用勾股定理求出DF，根据DB′+FB'≥DF，由此可得结论．
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AF＝1，AD＝3，
∴DF＝＝＝，
∵FB'+DB′≥DF，
∴FB'+DB′≥，
∴FB'+DB′的最小值为，
∵将△BEF沿EF折叠，使点B落在B′，
∴FB'＝FB，
∴FB+DB′的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（3分）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 6000 元．
【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（800﹣m）箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
【解答】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（800﹣m）箱，依题意得：0＜m≤300，
设该公司获得利润为y元，依题意得：
y＝10m+6（800﹣m），
即y＝4m+4800，
∵4＞0，y随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，y取最大值，此时y＝4×300+4800＝6000（元），
答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．
故答案为：6000．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线x＝2上一点，若△ABP是以AB为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是 （2，2） ．
【分析】过P作PN⊥y轴于N，过A作AM⊥PN于M，由△BPN≌△PAM（AAS），可得AM＝PN＝2，PM＝BN，即得P（2，2）．
【解答】解：∵直线AB：交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠NPB＝90°﹣∠APM＝∠PAM，
∵∠BNP＝∠AMP＝90°，
∴△BPN≌△PAM（AAS），
∴AM＝PN＝2，PM＝BN，
∵∠NOA＝∠ONM＝∠OAM＝90°，
∴四边形OAMN是矩形，
∴MN＝OA＝3，AM＝ON＝BN+1＝PN＝2，
∴BN＝1，
∴ON＝BN+1＝2，
∴P（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题．
三、解答题（本题满分72分，共有9道小题）
17．（6分）已知△ABC的顶点坐标分别是A（a，﹣3），B（﹣2，2），C（1，﹣2），且点A关于x轴的对称点P的坐标为（﹣3，b）．
（1）a＝ ﹣3 ，b＝ 3 ；
（2）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求得△ABC的面积为 9.5 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出A，P两点，可得结论；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）观察图形可知A（﹣3，﹣3），P（﹣3，3），
∴a＝﹣3，b＝3，
故答案为：﹣3，3；
（2）△ABC的面积＝4×5﹣×1×5﹣×3×4﹣×1×4＝9.5．
故答案为：9.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型
18．（8分）（1）化简：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法解方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣（2+3）
＝3﹣5
＝﹣2；
（2）原方程化简为，
②﹣①×2得，7y＝7，
解得y＝1，
把y＝1代入①得，x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式混合运算，二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
19．（6分）一个正方体的棱长减小1cm，得到的新正方体的体积是64cm3，求原正方体的表面积．
【分析】根据正方体体积的计算方法求出原来正方体的棱长，再根据表面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设原来的正方体的棱长为acm，由题意得，
（a﹣1）3＝64，
∴a﹣1＝4，
解得a＝5，
即原来正方体的棱长为5cm，
∴原正方体的表面积为5×5×6＝150（cm2），
答：原正方体的表面积为150cm2．
【点评】本题考查立方根，几何体的表面积，理解立方根的定义，掌握正方体表面积的计算方法是正确解答的前提．
20．（8分）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．x≤60；B.60＜x≤70；C.70＜x≤80；D.80＜x≤90，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88．
八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 75 ，b＝ 78 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
（4）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）按给出数据计算出B时段的数据然后补全即可；
（3）从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
（4）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可．
【解答】解：（1）将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10，11个数均在C时段，
而C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75，
按从小到大排列为：72，74，75，75，75，75，76，78，
则第10，11个数均为75，所以中位数a＝＝75．
将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是78分，即b＝78，
故答案为：75，78，
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）七年级落实的好，理由：七年级学生完成作业的平均时间为72分，比八年级的少；
（4）七年级作业管理为优秀所占的比例为，八年级作业管理为优秀所占的比例为，
所以七、八年级作业管理为优秀的人数为400×+300×＝545（人），
答：七，八年级时间管理优秀的大约有545人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
21．（6分）如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
【分析】（1）由∠1＝48°，∠2＝132°，得出∠1+∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AC∥DF，进而可证出∠A＝∠F．
【解答】证明：（1）∵∠1＝48°，∠2＝132°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算，找出∠1+∠2＝180°；（2）利用平行线的判定，得出AC∥DF．
22．（8分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值．
【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可；
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝kx，
∵点（120，2400）在该函数图象上，
∴2400＝120k，
解得k＝20，
即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝20x；
（2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n，
∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300，
由可得，
即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；
（3）由图象可得，
甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元），
当x≤30时，乙苹果的销售单价为：750÷30＝25（元），当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元），
由题意可得：（20﹣8）a+（25﹣12）×30+（15﹣12）（a﹣30）＝1695，
解得a＝93，
即a的值为93．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（8分）2022年2月第24届冬奥会在北京举行．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元；
（2）若该专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），则专卖店共有哪几种采购方案？
【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，根据4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元及5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，利用总价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，
根据题意得：150m+80n＝3000，
∴m＝20﹣n，
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴专卖店共有2种采购方案，
方案1：购进12只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；
方案2：购进4只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出如表几组数据：
变量a（cm）
0
2
3.6
4
6
7
8.2
9.4
10
变量h（cm）
0
1.5
2.7
3
4.5
4
2.4
0.8
0
在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线．
（2）根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝3时，h＝ ；当h＝4时，a＝ 7 ．
②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由；
③下列说法正确的是 B ．（填“A”或“B”）
A．变量a是以h为自变量的函数
B．变量h是以a为自变量的函数
（3）如图4，若DE在△ABC内扫过的图形面积等于9cm2，则a是多少cm？（结果精确到0.1cm）
【分析】（2）①根据三角函数的定义求解；
②根据面积法求解；
③根据函数的意义判断求解；
（3）分类讨论，列方程求解．
【解答】解：（2）①由表格得：AB＝10，tanA＝＝＝，
∴＝，
解得：h＝，
故答案为：，7；
②设BC＝3x，则AC＝4x，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得：x＝2，
∴BC＝6，AC＝8，
∵6×8＝10h，
解得：h＝4.8，
所以h的最大值为4.8；
③∵对于a的每一个值，h都有唯一值与其对应，
∴h是a的函数，
∵当h＝0时，a＝0或a＝10，
∴a不是h的函数，
故答案为：B；
（3）当E在AC上时，即a≤6.4时，
由（2）得h＝a，
由题意得：×a•a＝9，
解得：a＝2≈4.9．
【点评】本题考查了函数值，分类讨论思想是解题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，OB＝OC＝4，点P是线段AC上任意一点，设点P的横坐标为n，请解答下列问题：
（1）直接写出直线AC的函数关系式；
（2）连接BP，设△BPC的面积为S，求S与n的函数关系式；
（3）当△BPC面积是△ABC面积的时，求点P的坐标；
（4）连接OP，当线段OP最短时，求n的值．
【分析】（1）由待定系数法即可得直线AC的函数关系式；
（2）由直线AC的函数关系式得出P（n，﹣n+3），再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）求出△ABC的面积，由（2）的函数关系式即可得点P的坐标；
（4）根据垂线段最短得当OP⊥AC时，线段OP最短，根据三角形的面积公式求出OP，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝OC＝4，
∴A（0，3），C（4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+3；
（2）∵OB＝OC＝4，
∴BC＝8，
设点P的横坐标为n，
∴P（n，﹣n+3），
∴△BPC的面积S＝×8（﹣n+3）＝﹣3n+12（0≤n≤4）；
（3）∵S△ABC＝BC•OA＝×8×3＝12，
∴S△BPC＝﹣3n+12＝×12，
∴n＝，
∴点P的坐标为（，2）；
（4）当OP⊥AC时，线段OP最短，如图，
当OP⊥AC时，S△AOC＝OC•OA＝AC•OP，
∵A（0，3），C（4，0），
∴AC＝＝5，
∴×4×3＝×5OP，
∴OP＝，
∴CP＝＝，
过点P作PD⊥OC于D，
∴S△POC＝OC•PD＝PC•OP，
∴×4×PD＝××，
∴PD＝，
∵P（n，﹣n+3），
∴﹣n+3＝，
∴n＝．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，垂线段最短的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键．
山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
2．（3分）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3．（3分）下列说法中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行
④带根号的数一定是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（ ）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边长之比为3：4：5
B．三内角之比为3：4：5
C．三内角之比为1：2：3
D．三边长的平方之比为1：2：3
6．（3分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是9.5 B．中位数是9.5
C．众数是9 D．方差是1
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图①是某公共汽车线路收支差额y（则价总收入减去运营或本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏，根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见
C．图②中当乘客量为1.5万人时，公交公司收支平衡
D．图③能反映乘客意见
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．（3分）若点P（m，m﹣3）在x轴上，则点P的坐标为 ．
10．（3分）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分．
11．（3分）某种樱桃经过加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%，现有未加工的该种樱桃50千克，将这些樱桃加工后出售比不加工直接出售可多卖32元，设加工前每千克售价x元，加工后每千克售价y元，根据题意可列方程组为 ．
12．（3分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 ．
14．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点F是AB上一点，AF＝1，点E是BC上一动点，连接EF，将△BEF沿EF折叠，使点B落在B′，连接DB′，则FB+DB′的最小值是 ．
15．（3分）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线x＝2上一点，若△ABP是以AB为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是 ．
三、解答题（本题满分72分，共有9道小题）
17．（6分）已知△ABC的顶点坐标分别是A（a，﹣3），B（﹣2，2），C（1，﹣2），且点A关于x轴的对称点P的坐标为（﹣3，b）．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求得△ABC的面积为 ．
18．（8分）（1）化简：；
（2）解方程组：．
19．（6分）一个正方体的棱长减小1cm，得到的新正方体的体积是64cm3，求原正方体的表面积．
20．（8分）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．x≤60；B.60＜x≤70；C.70＜x≤80；D.80＜x≤90，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88．
八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
（4）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？
21．（6分）如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
22．（8分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值．
23．（8分）2022年2月第24届冬奥会在北京举行．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元；
（2）若该专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），则专卖店共有哪几种采购方案？
24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出如表几组数据：
变量a（cm）
0
2
3.6
4
6
7
8.2
9.4
10
变量h（cm）
0
1.5
2.7
3
4.5
4
2.4
0.8
0
在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线．
（2）根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝3时，h＝ ；当h＝4时，a＝ ．
②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由；
③下列说法正确的是 ．（填“A”或“B”）
A．变量a是以h为自变量的函数
B．变量h是以a为自变量的函数
（3）如图4，若DE在△ABC内扫过的图形面积等于9cm2，则a是多少cm？（结果精确到0.1cm）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，OB＝OC＝4，点P是线段AC上任意一点，设点P的横坐标为n，请解答下列问题：
（1）直接写出直线AC的函数关系式；
（2）连接BP，设△BPC的面积为S，求S与n的函数关系式；
（3）当△BPC面积是△ABC面积的时，求点P的坐标；
（4）连接OP，当线段OP最短时，求n的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：16的平方根是±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
2．（3分）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据对的估算进行求解．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
故选：D．
【点评】此题考查了对实数的估算及在数轴上的表示能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．（3分）下列说法中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与这条直线平行
④带根号的数一定是无理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形外角的性质，平行线的判定，无理数的概念逐项判断．
【解答】解：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故①是真命题；
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③是假命题；
带根号的数不一定是无理数，故④是假命题；
∴真命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
4．（3分）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（ ）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
【分析】根据点的坐标定义、各象限内点的坐标特征即可解答．
【解答】解：∵第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，
∴a+3＝5，
∴a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三边长之比为3：4：5
B．三内角之比为3：4：5
C．三内角之比为1：2：3
D．三边长的平方之比为1：2：3
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【解答】解：A、三边长之比为3：4：5时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、三边长的平方之比为1：2：3时，
设三边的平方为k2，2k2，3k2，因为k2+2k2＝3k2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故C不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
6．（3分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是9.5 B．中位数是9.5
C．众数是9 D．方差是1
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、＝×（7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是＝9，故本选项不符合题意；
C、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；
D、该组成绩数据的方差S2＝[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b的图象判断出k，b的符号，进而可得出结论．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
8．（3分）如图①是某公共汽车线路收支差额y（则价总收入减去运营或本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，提高票价才能扭亏，根据这两种意见，把图①分别改画成图②和图③，则下列判断不合理的是（ ）
A．图①中点A的实际意义是公交公司运营前期投入成本为1万元
B．图②能反映公交公司意见
C．图②中当乘客量为1.5万人时，公交公司收支平衡
D．图③能反映乘客意见
【分析】根据图②中提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡判断D选项错误即可．
【解答】解：图②中实线表示提高票价之后乘客少于1.5万人就可以达到收支平衡，
∴C选项表达不合理，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，熟练根据函数图象获取正确信息是解题的关键．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．（3分）若点P（m，m﹣3）在x轴上，则点P的坐标为 （3，0） ．
【分析】依据x轴上的点的纵坐标等于0，即可得到m的值，进而得出点P的坐标．
【解答】解：∵点P（m，m﹣3）在x轴上，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3，
∴点P的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握x轴上的点的纵坐标等于0．
10．（3分）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 8.3 分．
【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．
【解答】解：根据题意得：
＝8.3（分）．
故小明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
11．（3分）某种樱桃经过加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%，现有未加工的该种樱桃50千克，将这些樱桃加工后出售比不加工直接出售可多卖32元，设加工前每千克售价x元，加工后每千克售价y元，根据题意可列方程组为 ．
【分析】根据题意可得等量关系：加工后的单价＝加工前的单价×（1+20%）；樱桃50千克加工后所卖总价钱﹣加工前所卖总价钱＝32元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设加工前每千克卖x元，加工后每千克卖y元，根据题意得：
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．（3分）如图，直线l1：y＝2x﹣2与直线l2：y＝ax+b的交点的横坐标是2，则方程组的解是 ．
【分析】关于x、y的方程组的解即为直线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点（2，2）的坐标．
【解答】解：∵直线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为2×2﹣2＝2，
即线y＝2x﹣2与y＝ax+b的交点为（2，2），
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．（3分）如图，△ABC中，∠A＝54°，∠B＝46°，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于F，若∠F＝25°，则∠1的度数为 125° ．
【分析】由三角形的外角的性质，得到∠1＝∠F+∠A+∠B，即可得到答案．
【解答】解：∵∠1＝∠F+∠ECF，∠ECF＝∠A+∠B，
∴∠1＝∠F+∠A+∠B，
∵∠A＝54°，∠B＝46°，∠F＝25°，
∴∠1＝54°+46°+25°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的外角的性质．
14．（3分）如图，长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，点F是AB上一点，AF＝1，点E是BC上一动点，连接EF，将△BEF沿EF折叠，使点B落在B′，连接DB′，则FB+DB′的最小值是 ．
【分析】连接DF．利用勾股定理求出DF，根据DB′+FB'≥DF，由此可得结论．
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AF＝1，AD＝3，
∴DF＝＝＝，
∵FB'+DB′≥DF，
∴FB'+DB′≥，
∴FB'+DB′的最小值为，
∵将△BEF沿EF折叠，使点B落在B′，
∴FB'＝FB，
∴FB+DB′的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（3分）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 6000 元．
【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（800﹣m）箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．
【解答】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（800﹣m）箱，依题意得：0＜m≤300，
设该公司获得利润为y元，依题意得：
y＝10m+6（800﹣m），
即y＝4m+4800，
∵4＞0，y随着m的增大而增大，
∴当m＝300时，y取最大值，此时y＝4×300+4800＝6000（元），
答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．
故答案为：6000．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线x＝2上一点，若△ABP是以AB为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是 （2，2） ．
【分析】过P作PN⊥y轴于N，过A作AM⊥PN于M，由△BPN≌△PAM（AAS），可得AM＝PN＝2，PM＝BN，即得P（2，2）．
【解答】解：∵直线AB：交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠NPB＝90°﹣∠APM＝∠PAM，
∵∠BNP＝∠AMP＝90°，
∴△BPN≌△PAM（AAS），
∴AM＝PN＝2，PM＝BN，
∵∠NOA＝∠ONM＝∠OAM＝90°，
∴四边形OAMN是矩形，
∴MN＝OA＝3，AM＝ON＝BN+1＝PN＝2，
∴BN＝1，
∴ON＝BN+1＝2，
∴P（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题．
三、解答题（本题满分72分，共有9道小题）
17．（6分）已知△ABC的顶点坐标分别是A（a，﹣3），B（﹣2，2），C（1，﹣2），且点A关于x轴的对称点P的坐标为（﹣3，b）．
（1）a＝ ﹣3 ，b＝ 3 ；
（2）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求得△ABC的面积为 9.5 ．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出A，P两点，可得结论；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）观察图形可知A（﹣3，﹣3），P（﹣3，3），
∴a＝﹣3，b＝3，
故答案为：﹣3，3；
（2）△ABC的面积＝4×5﹣×1×5﹣×3×4﹣×1×4＝9.5．
故答案为：9.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型
18．（8分）（1）化简：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（2）根据解二元一次方程组的方法解方程组即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣（2+3）
＝3﹣5
＝﹣2；
（2）原方程化简为，
②﹣①×2得，7y＝7，
解得y＝1，
把y＝1代入①得，x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式混合运算，二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
19．（6分）一个正方体的棱长减小1cm，得到的新正方体的体积是64cm3，求原正方体的表面积．
【分析】根据正方体体积的计算方法求出原来正方体的棱长，再根据表面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设原来的正方体的棱长为acm，由题意得，
（a﹣1）3＝64，
∴a﹣1＝4，
解得a＝5，
即原来正方体的棱长为5cm，
∴原正方体的表面积为5×5×6＝150（cm2），
答：原正方体的表面积为150cm2．
【点评】本题考查立方根，几何体的表面积，理解立方根的定义，掌握正方体表面积的计算方法是正确解答的前提．
20．（8分）为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A．x≤60；B.60＜x≤70；C.70＜x≤80；D.80＜x≤90，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88．
八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75．
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 75 ，b＝ 78 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据以上数据分析，双减政策背景下作业时间管理，哪个年级落实得更好？请说明理由；（写出一条即可）
（4）该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）按给出数据计算出B时段的数据然后补全即可；
（3）从平均数、中位数、众数方面比较得出答案；
（4）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可．
【解答】解：（1）将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10，11个数均在C时段，
而C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75，
按从小到大排列为：72，74，75，75，75，75，76，78，
则第10，11个数均为75，所以中位数a＝＝75．
将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是78分，即b＝78，
故答案为：75，78，
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）七年级落实的好，理由：七年级学生完成作业的平均时间为72分，比八年级的少；
（4）七年级作业管理为优秀所占的比例为，八年级作业管理为优秀所占的比例为，
所以七、八年级作业管理为优秀的人数为400×+300×＝545（人），
答：七，八年级时间管理优秀的大约有545人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
21．（6分）如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
【分析】（1）由∠1＝48°，∠2＝132°，得出∠1+∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AC∥DF，进而可证出∠A＝∠F．
【解答】证明：（1）∵∠1＝48°，∠2＝132°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算，找出∠1+∠2＝180°；（2）利用平行线的判定，得出AC∥DF．
22．（8分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．
（1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值．
【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；
（2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可；
（3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝kx，
∵点（120，2400）在该函数图象上，
∴2400＝120k，
解得k＝20，
即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝20x；
（2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n，
∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300，
由可得，
即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；
（3）由图象可得，
甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元），
当x≤30时，乙苹果的销售单价为：750÷30＝25（元），当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元），
由题意可得：（20﹣8）a+（25﹣12）×30+（15﹣12）（a﹣30）＝1695，
解得a＝93，
即a的值为93．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（8分）2022年2月第24届冬奥会在北京举行．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元；5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元；
（2）若该专卖店计划恰好用3000元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），则专卖店共有哪几种采购方案？
【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，根据4只“冰墩墩”和5只“雪容融”的进价共计1000元及5只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1550元，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，利用总价＝单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是80元；
（2）设该专卖店购进m只“冰墩墩”毛绒玩具，n只“雪容融”毛绒玩具，
根据题意得：150m+80n＝3000，
∴m＝20﹣n，
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴专卖店共有2种采购方案，
方案1：购进12只“冰墩墩”毛绒玩具，15只“雪容融”毛绒玩具；
方案2：购进4只“冰墩墩”毛绒玩具，30只“雪容融”毛绒玩具．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出如表几组数据：
变量a（cm）
0
2
3.6
4
6
7
8.2
9.4
10
变量h（cm）
0
1.5
2.7
3
4.5
4
2.4
0.8
0
在图2中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点并连线；在图3中，以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点并连线．
（2）根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝3时，h＝ ；当h＝4时，a＝ 7 ．
②h是否有最大值？若有，请直接写出它的最大值；若没有，请说明理由；
③下列说法正确的是 B ．（填“A”或“B”）
A．变量a是以h为自变量的函数
B．变量h是以a为自变量的函数
（3）如图4，若DE在△ABC内扫过的图形面积等于9cm2，则a是多少cm？（结果精确到0.1cm）
【分析】（2）①根据三角函数的定义求解；
②根据面积法求解；
③根据函数的意义判断求解；
（3）分类讨论，列方程求解．
【解答】解：（2）①由表格得：AB＝10，tanA＝＝＝，
∴＝，
解得：h＝，
故答案为：，7；
②设BC＝3x，则AC＝4x，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得：x＝2，
∴BC＝6，AC＝8，
∵6×8＝10h，
解得：h＝4.8，
所以h的最大值为4.8；
③∵对于a的每一个值，h都有唯一值与其对应，
∴h是a的函数，
∵当h＝0时，a＝0或a＝10，
∴a不是h的函数，
故答案为：B；
（3）当E在AC上时，即a≤6.4时，
由（2）得h＝a，
由题意得：×a•a＝9，
解得：a＝2≈4.9．
【点评】本题考查了函数值，分类讨论思想是解题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，OA＝3，OB＝OC＝4，点P是线段AC上任意一点，设点P的横坐标为n，请解答下列问题：
（1）直接写出直线AC的函数关系式；
（2）连接BP，设△BPC的面积为S，求S与n的函数关系式；
（3）当△BPC面积是△ABC面积的时，求点P的坐标；
（4）连接OP，当线段OP最短时，求n的值．
【分析】（1）由待定系数法即可得直线AC的函数关系式；
（2）由直线AC的函数关系式得出P（n，﹣n+3），再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）求出△ABC的面积，由（2）的函数关系式即可得点P的坐标；
（4）根据垂线段最短得当OP⊥AC时，线段OP最短，根据三角形的面积公式求出OP，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝OC＝4，
∴A（0，3），C（4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+3；
（2）∵OB＝OC＝4，
∴BC＝8，
设点P的横坐标为n，
∴P（n，﹣n+3），
∴△BPC的面积S＝×8（﹣n+3）＝﹣3n+12（0≤n≤4）；
（3）∵S△ABC＝BC•OA＝×8×3＝12，
∴S△BPC＝﹣3n+12＝×12，
∴n＝，
∴点P的坐标为（，2）；
（4）当OP⊥AC时，线段OP最短，如图，
当OP⊥AC时，S△AOC＝OC•OA＝AC•OP，
∵A（0，3），C（4，0），
∴AC＝＝5，
∴×4×3＝×5OP，
∴OP＝，
∴CP＝＝，
过点P作PD⊥OC于D，
∴S△POC＝OC•PD＝PC•OP，
∴×4×PD＝××，
∴PD＝，
∵P（n，﹣n+3），
∴﹣n+3＝，
∴n＝．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，垂线段最短的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键．
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山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题： 这是一份山东省青岛市市南区2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题，共8页。
