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山东省青岛实验初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷 (含答案)
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这是一份山东省青岛实验初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛实验初级中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．（3分）的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．（3分）下列实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
4．（3分）下列说法中正确的有（ ）
A．（﹣1，﹣x2）位于第三象限
B．点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5
C．点N（1，n）到x轴的距离为n
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（3分）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．75°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2＝（ ）
A．36 B．18 C．9 D．4
8．（3分）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9．（3分）将一根长9m的铁丝截成2m和1m两种长度的铁丝（两种都有）如果没有剩余，那么截法有 种．
10．（3分）一次函数y1＝k1x+b和y2＝k2x的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为x＝ ，y＝ ．
x
……
2
1
0
﹣1
……
y1
……
0
3
6
9
……
y2
……
6
3
0
﹣3
……
11．（3分）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把n个纸杯整齐叠放在一起时，当n为11时h的值是 ．
12．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm．
13．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 ．
14．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．
其中正确的结论有 ．（填序号）
三、作图题：（本题6分）
15．（6分）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
四、解答题：（共72分）
16．（8分）计算
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程组．
（1）．
（2）．
18．（6分）为了解八年级学生的体质健康状况，某校对八年级（10）班43名同学进行了体质检测（满分10分，最低5分），并按照男女把成绩整理如图：
八年级（10）班体质检测成绩分析表
平均数
中位数
众数
方差
男生
7.48
8
c
1.99
女生
a
b
7
1.74
（1）求八年级（10）班的女生人数；
（2）根据统计图可知，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）若该校八年级一共有430人，则估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？
19．（6分）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
20．（6分）如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件： ．
结论： ．
（2）证明你所构建的是真命题．
21．（8分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y2（km），慢车离乙地的距离为y1（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
（1）图中的a＝ ，C点坐标为 ；
（2）当x何值时两车相遇？
（3）当x何值时两车相距200千米？
22．（8分）已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表：
A型车（辆）
B型车（辆）
共运货（吨）
3
2
17
2
3
18
某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）设OD的长度为m，求m的值和直线CD的解析式；
（3）直线AB与直线CD相交于点E，求△ADE的面积．
24．（12分）【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是： ．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝ （用α、β表示）．
2022-2023学年山东省青岛实验初级中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．（3分）的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵＝4，
∴的平方根是±＝±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
2．（3分）下列实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
|﹣3|＝3，＝2，＝﹣2，是整数，属于有理数；
0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）是循环小数，属于有理数；
故在实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有﹣，，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（3分）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【分析】先根据三角形内角和定理求得∠B+∠C的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．
4．（3分）下列说法中正确的有（ ）
A．（﹣1，﹣x2）位于第三象限
B．点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5
C．点N（1，n）到x轴的距离为n
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特点逐一分析即可．
【解答】解：A、（﹣1，﹣x2）当x≠0时位于第三象限，原说法错误，不符合题意；
B、点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则b＝2，a＝3，，则a+b的值为5，符合题意；
C、点N（1，n）到x轴的距离为|n|，原说法错误，不符合题意；
D、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
5．（3分）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，进行计算即可解答．
【解答】解：把代入中可得：
，
解得：，
把代入中可得，
，
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．75°
【分析】由平行线的性质可得∠BGD＝45°，再利用外角的性质即可求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵EF∥AB，∠E＝45°，
∴∠BGD＝∠E＝45°，
∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，
∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2＝（ ）
A．36 B．18 C．9 D．4
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝36，再由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝36，
∵△AFC和△CBE是等腰直角三角形，
∴S1+S2＝AC2+BC2＝（AC2+BC2）＝×36＝18，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（3分）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．
【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；
C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；
D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9．（3分）将一根长9m的铁丝截成2m和1m两种长度的铁丝（两种都有）如果没有剩余，那么截法有 4 种．
【分析】先设出未知数，然后根据题意列出方程：2x+y＝9，然后利用y＝9﹣2x，找出方程的正整数解即可求出．
【解答】解：设截成2m的有x段，1m的有y段，且x≠0，y≠0，
根据题意可列方程得：2x+y＝9，
则y＝9﹣2x，
∵x、y均为正整数，
∴当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝3；当x＝4时，y＝1；
∴方程的正整数解有4组，即截法有4种，
故答案为：4．
【点评】本题考查的主要是二元一次方程的整数解，解题关键：列出方程并找出方程的正整数解．
10．（3分）一次函数y1＝k1x+b和y2＝k2x的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为x＝ 1 ，y＝ 3 ．
x
……
2
1
0
﹣1
……
y1
……
0
3
6
9
……
y2
……
6
3
0
﹣3
……
【分析】利用表中的对应值得到x＝1时，y1＝y2＝3，则可判断一次函数y1＝k1x+b的图象和y2＝k2x的图象的交点坐标为（1，3），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：由表中数据得到x＝1时，y1＝y2＝3，
所以一次函数y1＝k1x+b的图象和y2＝k2x的图象的交点坐标为（1，3），
所以方程组的解为x＝1，y＝3．
故答案为：1，3．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11．（3分）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把n个纸杯整齐叠放在一起时，当n为11时h的值是 17cm ．
【分析】仔细观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度＝14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm，
当n＝11时，其高度为：11+6＝17（cm）．
故答案为：17cm．
【点评】本题主要考查代数式求值，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
12．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 128 dm．
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，
∴AB＝4dm，BC＝BC′＝4dm，
∴AC2＝42+42＝32，
∴AC＝4．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝8（dm），
则这圈金属丝的周长的最小值的平方为128dm．
故答案为：128．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
13．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 32° ．
【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED＝74°，利用邻补角得到∠AED＝106°，则∠A′ED＝106°，然后利用∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠BDA'＝90°，
∴∠ADA'＝90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，
∵∠CED＝∠A+∠ADE＝29°+45°＝74°，
∴∠AED＝106°，
∴∠A′ED＝106°，
∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝106°﹣74°＝32°．
故答案为32°．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．
其中正确的结论有 ①②③⑤ ．（填序号）
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理逐项进行判断即可．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延长线于点H，DP⊥AC于P，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH＝DG，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴DG＝DP，
∴DH＝DP，
∴AD是∠CAH的平分线，
即∠CAD＝∠HAD＝∠CAH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC＝180°，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC，
因此①正确；
∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBM＝×180°＝90°，
即BD⊥BE，
因此②正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵AQ⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAQ＝∠CAQ＝∠BAC，
∵∠BAQ+∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，
因此③正确；
∵∠ADB＝∠ABC＝×（）＝45，而∠BAC
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
因此④不正确；
∵BE⊥BD，
∴∠E+∠BDC＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠E+∠BAC＝90°，
∴2∠E+∠ABC＝180°，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提．
三、作图题：（本题6分）
15．（6分）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 （﹣2，1） ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点作出坐标系，写出点B的坐标；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，写出B1点的坐标；
（3）作点B关于y轴的对称点，连接AB1，与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
B（﹣2，1）；
（2）所作图形如图所示：
B1（2，1）；
（3）所作的点如图所示，
P（0，2）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
四、解答题：（共72分）
16．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可；
（2）先算乘除，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+4+12
＝﹣3+16；
（2）原式＝﹣
＝3﹣
＝3﹣
＝．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
17．（8分）解方程组．
（1）．
（2）．
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用整体思想，再结合加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
①×2，得2x﹣2y＝8③，
③+②，得6x＝7，
解得x＝，
将x＝代入①，得y＝﹣，
∴方程组的解为；
（2），
①﹣②得，y＝3，
解得，y＝9，
将y＝9代入①，得x＝6，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．（6分）为了解八年级学生的体质健康状况，某校对八年级（10）班43名同学进行了体质检测（满分10分，最低5分），并按照男女把成绩整理如图：
八年级（10）班体质检测成绩分析表
平均数
中位数
众数
方差
男生
7.48
8
c
1.99
女生
a
b
7
1.74
（1）求八年级（10）班的女生人数；
（2）根据统计图可知，a＝ 7.6 ，b＝ 7.5 ，c＝ 7 ；
（3）若该校八年级一共有430人，则估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？
【分析】（1）先根据条形统计图得出男生人数，结合全班总人数即可得出女生人数；
（2）由条形统计图可直接得出男生体质检测成绩的众数，再根据加权平均数的概念，结合扇形统计图可得出女生体质检测成绩的平均数和中位数；
（3）用总人数乘以样本中男、女生得分在8分及8分以上的人数占全班人数的比例即可．
【解答】解：（1）∵八年级（10）班男生人数为2+4+6+5+4+2＝23（人），
∴女生人数为43﹣23＝20（人）；
（2）由条形统计图知，男生体质监测成绩的众数c＝7，
女生体质监测成绩的平均数a＝5×5%+6×15%+7×30%+8×25%+9×15%+10×10%＝7.6，
中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.6、7.5、7；
（3）430×＝210（人），
答：得分在8分及8分以上的人数共有210人．
【点评】此题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体的统计思想，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键．
19．（6分）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ CE∥BF （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝90°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
20．（6分）如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件： ①AD∥BE；②∠1＝∠2； ．
结论： ③∠A＝∠E ．
（2）证明你所构建的是真命题．
【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论；
（2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明．
【解答】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2；
结论：③∠A＝∠E，
故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠A＝∠E．
【点评】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（8分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y2（km），慢车离乙地的距离为y1（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
（1）图中的a＝ 3 ，C点坐标为 （3，180） ；
（2）当x何值时两车相遇？
（3）当x何值时两车相距200千米？
【分析】（1）由S与x之间的函数的图象可知a＝3，即得快车的速度为100km/h，由慢车5h行驶300km，知慢车的速度为60km/h，即可得快车到达乙地时，慢车行驶了180km，故C（3，180）；
（2）由300÷（100+60）＝（h），可得当x为时两车相遇；
（3）分两种情况：①当两车行驶的路程之和为100km时，x＝100÷（100+60）＝；②当两车行驶的路程和为500km时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，x＝200÷60＝．
【解答】解：（1）由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，
∴由此可以得到a＝3，
∴快车的速度为300÷3＝100（km/h），
由图可得，慢车5h行驶300km，
∴慢车的速度为300÷5＝60（km/h），
∵3×60＝180（km），
∴快车到达乙地时，慢车行驶了180km，即两车相距180km，
∴C（3，180），
故答案为：3，（3，180）；
（2）由（1）可知，快车的速度为100km/h，慢车的速度为60km/h，
∴两车相遇所需时间为300÷（100+60）＝（h），
∴当x为时两车相遇；
（3）①当两车行驶的路程之和为300﹣200＝100（km）时，两车相距200km，此时x＝100÷（100+60）＝；
②当两车行驶的路程和为300+200＝500（km）时，两车相距200km，
∵x＝3时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，
∴当慢车行驶200km时，两车相距200km，此时x＝200÷60＝，
综上所述，x为或时，两车相距200km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．
22．（8分）已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表：
A型车（辆）
B型车（辆）
共运货（吨）
3
2
17
2
3
18
某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设l辆A型车载满货物一次可运货x吨，l辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的车一次运完35吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为自然数，即可得出各租车方案；
（3）分别求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设l辆A型车载满货物一次可运货x吨，l辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：l辆A型车载满货物一次可运货3吨，l辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝35，
∴b＝，
又∵a，b均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；
方案3：租用A型车9辆，B型车2辆．
（3）选择方案1所需租车费为1×300+8×320＝2860（元）；
选择方案2所需租车费为5×300+5×320＝3100（元）；
选择方案3所需租车费为9×300+2×320＝3340（元）．
∵2860＜3100＜3340，
∴最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2860元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）设OD的长度为m，求m的值和直线CD的解析式；
（3）直线AB与直线CD相交于点E，求△ADE的面积．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+8即可得到A（6，0），B（0，8），依据折叠的性质即可得到C（16，0）；
（2）在Rt△ODC中，依据勾股定理可得m2+162＝（m+8）2，即可得到D（0，﹣12），设CD的解析式为y＝kx+b，运用待定系数法即可得到直线CD的解析式；
（3）解方程组，即可得到点E坐标为（，﹣），再根据S△ADE＝×10×12﹣×10×进行计算即可．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+8中，令x＝0，则y＝8；令y＝0，则x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AO＝6，BO＝8，
∴AB＝10＝AC，
∴OC＝6+10＝16，即C（16，0）；
（2）∵A（6，0），B（0，8），C（16，0），
∴OB＝8，OC＝16，
∵OD＝m，
∴BD＝8+m，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴DC＝BD＝8+m，
在Rt△ODC中，m2+162＝（m+8）2，
解得m＝12，
∴D（0，﹣12），
设CD的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴CD的解析式为y＝x﹣12；
（3）由方程组，解得，
∴点E坐标为（，﹣），
∴S△ADE＝×10×12﹣×10×＝36．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到图形翻折变换的性质、勾股定理及用待定系数法求一次函数的解析式，解决问题的关键是在直角三角形中依据勾股定理列方程求解．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
24．（12分）【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ 35° ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ 2∠E+∠3+∠2 ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ∠D+∠B ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 40 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是： ∠E＝（∠D+∠B） ．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝ （β﹣α） （用α、β表示）．
【分析】【解决问题】
（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）同理列两式相加可得结论；
（3）根据（1）和（2）可得结论；
【类比应用】
首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，
∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，
∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，
∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，
∴2∠E＝∠B+∠D，
∴∠E＝
∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；
故答案为：35°；
（2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝∠D+∠B，
∴∠E＝，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝40度．
故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；
（3）由（1）和（2）得：∠E＝，
故答案为：∠E＝；
【类比应用】
如图（5），延长BC交AD于F，
∵∠BFD＝∠B+∠BAD，
∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，
∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D），
∵∠D＝α°、∠B＝β°，
即∠E＝（β﹣α）°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．
2022-2023学年山东省青岛实验初级中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．（3分）的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．（3分）下列实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
4．（3分）下列说法中正确的有（ ）
A．（﹣1，﹣x2）位于第三象限
B．点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5
C．点N（1，n）到x轴的距离为n
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（3分）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．75°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2＝（ ）
A．36 B．18 C．9 D．4
8．（3分）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9．（3分）将一根长9m的铁丝截成2m和1m两种长度的铁丝（两种都有）如果没有剩余，那么截法有 种．
10．（3分）一次函数y1＝k1x+b和y2＝k2x的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为x＝ ，y＝ ．
x
……
2
1
0
﹣1
……
y1
……
0
3
6
9
……
y2
……
6
3
0
﹣3
……
11．（3分）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把n个纸杯整齐叠放在一起时，当n为11时h的值是 ．
12．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm．
13．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 ．
14．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．
其中正确的结论有 ．（填序号）
三、作图题：（本题6分）
15．（6分）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
四、解答题：（共72分）
16．（8分）计算
（1）；
（2）．
17．（8分）解方程组．
（1）．
（2）．
18．（6分）为了解八年级学生的体质健康状况，某校对八年级（10）班43名同学进行了体质检测（满分10分，最低5分），并按照男女把成绩整理如图：
八年级（10）班体质检测成绩分析表
平均数
中位数
众数
方差
男生
7.48
8
c
1.99
女生
a
b
7
1.74
（1）求八年级（10）班的女生人数；
（2）根据统计图可知，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）若该校八年级一共有430人，则估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？
19．（6分）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
20．（6分）如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件： ．
结论： ．
（2）证明你所构建的是真命题．
21．（8分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y2（km），慢车离乙地的距离为y1（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
（1）图中的a＝ ，C点坐标为 ；
（2）当x何值时两车相遇？
（3）当x何值时两车相距200千米？
22．（8分）已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表：
A型车（辆）
B型车（辆）
共运货（吨）
3
2
17
2
3
18
某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）设OD的长度为m，求m的值和直线CD的解析式；
（3）直线AB与直线CD相交于点E，求△ADE的面积．
24．（12分）【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是： ．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝ （用α、β表示）．
2022-2023学年山东省青岛实验初级中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．（3分）的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵＝4，
∴的平方根是±＝±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
2．（3分）下列实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
|﹣3|＝3，＝2，＝﹣2，是整数，属于有理数；
0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）是循环小数，属于有理数；
故在实数﹣，，|﹣3|，，，，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有﹣，，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（3分）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【分析】先根据三角形内角和定理求得∠B+∠C的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．
4．（3分）下列说法中正确的有（ ）
A．（﹣1，﹣x2）位于第三象限
B．点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值为5
C．点N（1，n）到x轴的距离为n
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特点逐一分析即可．
【解答】解：A、（﹣1，﹣x2）当x≠0时位于第三象限，原说法错误，不符合题意；
B、点A（2，a）和点B（b，﹣3）关于x轴对称，则b＝2，a＝3，，则a+b的值为5，符合题意；
C、点N（1，n）到x轴的距离为|n|，原说法错误，不符合题意；
D、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟知（1）关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
5．（3分）在解关于x，y的方程组时，小明由于将方程①的“﹣”，看成了“+”，因而得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，进行计算即可解答．
【解答】解：把代入中可得：
，
解得：，
把代入中可得，
，
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．75°
【分析】由平行线的性质可得∠BGD＝45°，再利用外角的性质即可求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵EF∥AB，∠E＝45°，
∴∠BGD＝∠E＝45°，
∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，
∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2＝（ ）
A．36 B．18 C．9 D．4
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝36，再由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝36，
∵△AFC和△CBE是等腰直角三角形，
∴S1+S2＝AC2+BC2＝（AC2+BC2）＝×36＝18，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（3分）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．
【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；
C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；
D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
9．（3分）将一根长9m的铁丝截成2m和1m两种长度的铁丝（两种都有）如果没有剩余，那么截法有 4 种．
【分析】先设出未知数，然后根据题意列出方程：2x+y＝9，然后利用y＝9﹣2x，找出方程的正整数解即可求出．
【解答】解：设截成2m的有x段，1m的有y段，且x≠0，y≠0，
根据题意可列方程得：2x+y＝9，
则y＝9﹣2x，
∵x、y均为正整数，
∴当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝3；当x＝4时，y＝1；
∴方程的正整数解有4组，即截法有4种，
故答案为：4．
【点评】本题考查的主要是二元一次方程的整数解，解题关键：列出方程并找出方程的正整数解．
10．（3分）一次函数y1＝k1x+b和y2＝k2x的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为x＝ 1 ，y＝ 3 ．
x
……
2
1
0
﹣1
……
y1
……
0
3
6
9
……
y2
……
6
3
0
﹣3
……
【分析】利用表中的对应值得到x＝1时，y1＝y2＝3，则可判断一次函数y1＝k1x+b的图象和y2＝k2x的图象的交点坐标为（1，3），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】解：由表中数据得到x＝1时，y1＝y2＝3，
所以一次函数y1＝k1x+b的图象和y2＝k2x的图象的交点坐标为（1，3），
所以方程组的解为x＝1，y＝3．
故答案为：1，3．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11．（3分）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把n个纸杯整齐叠放在一起时，当n为11时h的值是 17cm ．
【分析】仔细观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度＝9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度＝14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm，
当n＝11时，其高度为：11+6＝17（cm）．
故答案为：17cm．
【点评】本题主要考查代数式求值，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系．
12．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 128 dm．
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，
∴AB＝4dm，BC＝BC′＝4dm，
∴AC2＝42+42＝32，
∴AC＝4．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝8（dm），
则这圈金属丝的周长的最小值的平方为128dm．
故答案为：128．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
13．（3分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝29°，∠BDA'＝90°，则∠A'EC的大小为 32° ．
【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED＝74°，利用邻补角得到∠AED＝106°，则∠A′ED＝106°，然后利用∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．
【解答】解：如图，
∵∠BDA'＝90°，
∴∠ADA'＝90°，
∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，
∴∠ADE＝∠A′DE＝45°，∠AED＝∠A′ED，
∵∠CED＝∠A+∠ADE＝29°+45°＝74°，
∴∠AED＝106°，
∴∠A′ED＝106°，
∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝106°﹣74°＝32°．
故答案为32°．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（3分）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：
①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．
其中正确的结论有 ①②③⑤ ．（填序号）
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理逐项进行判断即可．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥BF于G，DH⊥AB交BA的延长线于点H，DP⊥AC于P，过点A作AQ⊥BC于Q，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH＝DG，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴DG＝DP，
∴DH＝DP，
∴AD是∠CAH的平分线，
即∠CAD＝∠HAD＝∠CAH，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠CAD+∠HAD+∠BAC＝180°，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC，
因此①正确；
∵BE平分∠CBM，BD平分∠ABC，∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBM＝×180°＝90°，
即BD⊥BE，
因此②正确；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠DCF＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵AQ⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAQ＝∠CAQ＝∠BAC，
∵∠BAQ+∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，
因此③正确；
∵∠ADB＝∠ABC＝×（）＝45，而∠BAC
∴∠ADB与∠BDC不一定相等，
因此④不正确；
∵BE⊥BD，
∴∠E+∠BDC＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠E+∠BAC＝90°，
∴2∠E+∠ABC＝180°，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提．
三、作图题：（本题6分）
15．（6分）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 （﹣2，1） ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点作出坐标系，写出点B的坐标；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，写出B1点的坐标；
（3）作点B关于y轴的对称点，连接AB1，与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
B（﹣2，1）；
（2）所作图形如图所示：
B1（2，1）；
（3）所作的点如图所示，
P（0，2）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
四、解答题：（共72分）
16．（8分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可；
（2）先算乘除，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+4+12
＝﹣3+16；
（2）原式＝﹣
＝3﹣
＝3﹣
＝．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题的关键．
17．（8分）解方程组．
（1）．
（2）．
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用整体思想，再结合加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
①×2，得2x﹣2y＝8③，
③+②，得6x＝7，
解得x＝，
将x＝代入①，得y＝﹣，
∴方程组的解为；
（2），
①﹣②得，y＝3，
解得，y＝9，
将y＝9代入①，得x＝6，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．（6分）为了解八年级学生的体质健康状况，某校对八年级（10）班43名同学进行了体质检测（满分10分，最低5分），并按照男女把成绩整理如图：
八年级（10）班体质检测成绩分析表
平均数
中位数
众数
方差
男生
7.48
8
c
1.99
女生
a
b
7
1.74
（1）求八年级（10）班的女生人数；
（2）根据统计图可知，a＝ 7.6 ，b＝ 7.5 ，c＝ 7 ；
（3）若该校八年级一共有430人，则估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？
【分析】（1）先根据条形统计图得出男生人数，结合全班总人数即可得出女生人数；
（2）由条形统计图可直接得出男生体质检测成绩的众数，再根据加权平均数的概念，结合扇形统计图可得出女生体质检测成绩的平均数和中位数；
（3）用总人数乘以样本中男、女生得分在8分及8分以上的人数占全班人数的比例即可．
【解答】解：（1）∵八年级（10）班男生人数为2+4+6+5+4+2＝23（人），
∴女生人数为43﹣23＝20（人）；
（2）由条形统计图知，男生体质监测成绩的众数c＝7，
女生体质监测成绩的平均数a＝5×5%+6×15%+7×30%+8×25%+9×15%+10×10%＝7.6，
中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.6、7.5、7；
（3）430×＝210（人），
答：得分在8分及8分以上的人数共有210人．
【点评】此题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体的统计思想，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键．
19．（6分）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又，∵∠1＝∠B（已知）
∴ CE∥BF （同位角相等，两直线平行）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又，∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）
【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝90°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
20．（6分）如图，已知：点A、B、C在一条直线上．
（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1＝∠2；③∠A＝∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件： ①AD∥BE；②∠1＝∠2； ．
结论： ③∠A＝∠E ．
（2）证明你所构建的是真命题．
【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论；
（2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明．
【解答】解：（1）条件：①AD∥BE；②∠1＝∠2；
结论：③∠A＝∠E，
故答案为：①AD∥BE，②∠1＝∠2；③∠A＝∠E；
（2）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠EBC，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠A＝∠E．
【点评】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（8分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y2（km），慢车离乙地的距离为y1（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
（1）图中的a＝ 3 ，C点坐标为 （3，180） ；
（2）当x何值时两车相遇？
（3）当x何值时两车相距200千米？
【分析】（1）由S与x之间的函数的图象可知a＝3，即得快车的速度为100km/h，由慢车5h行驶300km，知慢车的速度为60km/h，即可得快车到达乙地时，慢车行驶了180km，故C（3，180）；
（2）由300÷（100+60）＝（h），可得当x为时两车相遇；
（3）分两种情况：①当两车行驶的路程之和为100km时，x＝100÷（100+60）＝；②当两车行驶的路程和为500km时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，x＝200÷60＝．
【解答】解：（1）由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，
∴由此可以得到a＝3，
∴快车的速度为300÷3＝100（km/h），
由图可得，慢车5h行驶300km，
∴慢车的速度为300÷5＝60（km/h），
∵3×60＝180（km），
∴快车到达乙地时，慢车行驶了180km，即两车相距180km，
∴C（3，180），
故答案为：3，（3，180）；
（2）由（1）可知，快车的速度为100km/h，慢车的速度为60km/h，
∴两车相遇所需时间为300÷（100+60）＝（h），
∴当x为时两车相遇；
（3）①当两车行驶的路程之和为300﹣200＝100（km）时，两车相距200km，此时x＝100÷（100+60）＝；
②当两车行驶的路程和为300+200＝500（km）时，两车相距200km，
∵x＝3时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，
∴当慢车行驶200km时，两车相距200km，此时x＝200÷60＝，
综上所述，x为或时，两车相距200km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．
22．（8分）已知：现有A型车和B型车载满货物一次可运货情况如表：
A型车（辆）
B型车（辆）
共运货（吨）
3
2
17
2
3
18
某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金300元/次，B型车每辆需租金320元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设l辆A型车载满货物一次可运货x吨，l辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的车一次运完35吨货物且恰好每辆车都载满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为自然数，即可得出各租车方案；
（3）分别求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设l辆A型车载满货物一次可运货x吨，l辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：l辆A型车载满货物一次可运货3吨，l辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2）依题意得：3a+4b＝35，
∴b＝，
又∵a，b均为自然数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用A型车1辆，B型车8辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车5辆；
方案3：租用A型车9辆，B型车2辆．
（3）选择方案1所需租车费为1×300+8×320＝2860（元）；
选择方案2所需租车费为5×300+5×320＝3100（元）；
选择方案3所需租车费为9×300+2×320＝3340（元）．
∵2860＜3100＜3340，
∴最省钱的租车方案是方案1：租用A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2860元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）设OD的长度为m，求m的值和直线CD的解析式；
（3）直线AB与直线CD相交于点E，求△ADE的面积．
【分析】（1）根据直线y＝﹣x+8即可得到A（6，0），B（0，8），依据折叠的性质即可得到C（16，0）；
（2）在Rt△ODC中，依据勾股定理可得m2+162＝（m+8）2，即可得到D（0，﹣12），设CD的解析式为y＝kx+b，运用待定系数法即可得到直线CD的解析式；
（3）解方程组，即可得到点E坐标为（，﹣），再根据S△ADE＝×10×12﹣×10×进行计算即可．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+8中，令x＝0，则y＝8；令y＝0，则x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AO＝6，BO＝8，
∴AB＝10＝AC，
∴OC＝6+10＝16，即C（16，0）；
（2）∵A（6，0），B（0，8），C（16，0），
∴OB＝8，OC＝16，
∵OD＝m，
∴BD＝8+m，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴DC＝BD＝8+m，
在Rt△ODC中，m2+162＝（m+8）2，
解得m＝12，
∴D（0，﹣12），
设CD的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴CD的解析式为y＝x﹣12；
（3）由方程组，解得，
∴点E坐标为（，﹣），
∴S△ADE＝×10×12﹣×10×＝36．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到图形翻折变换的性质、勾股定理及用待定系数法求一次函数的解析式，解决问题的关键是在直角三角形中依据勾股定理列方程求解．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
24．（12分）【数学模型】
如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．
【提出问题】
分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】
为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．
（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝ 35° ．
（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？
易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程：
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝ 2∠E+∠3+∠2 ，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝ ∠D+∠B ，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝ 40 度．
（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是： ∠E＝（∠D+∠B） ．
【类比应用】
如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．
已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝ （β﹣α） （用α、β表示）．
【分析】【解决问题】
（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）同理列两式相加可得结论；
（3）根据（1）和（2）可得结论；
【类比应用】
首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．
【解答】解：【解决问题】
（1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，
∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，
∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，
∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，
∴2∠E＝∠B+∠D，
∴∠E＝
∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；
故答案为：35°；
（2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，
∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，
∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴2∠E＝∠D+∠B，
∴∠E＝，
又∵∠D＝30°，∠B＝50°，
∴∠E＝40度．
故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；
（3）由（1）和（2）得：∠E＝，
故答案为：∠E＝；
【类比应用】
如图（5），延长BC交AD于F，
∵∠BFD＝∠B+∠BAD，
∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，
∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D），
∵∠D＝α°、∠B＝β°，
即∠E＝（β﹣α）°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握角平分线的性质和等量代换是解决问题的关键．
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