2023届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题含解析

2023届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（    ）

A．a，b中至少有一个为0 B．a，b中至多有一个不为0

C．a，b都不为0 D．a，b都为0

【答案】D

【分析】将结论a，b中至少有一个不为0否定即可

【详解】用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，应假设a，b都为0．

故选：D

2．如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ）

A．是奇数且

B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且

D．是奇数，且

【答案】B

【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.

【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，

当时，，则；

又图象关于轴对称，为偶函数，，

又互质，为偶数，为奇数.

故选：B.

3．甲、乙两人在6天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则在这6天中，下列结论正确的是（    ）

A．甲、乙两人加工零件数的极差相同

B．甲、乙两人加工零件数的中位数相同

C．甲加工零件数的众数小于乙加工零件数的众数

D．甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数

【答案】D

【分析】A选项，计算出甲、乙两人加工零件数的极差，比较后得到A错误；

B选项，计算出甲、乙两人加工零件数的中位数，比较后得到B错误；

C选项，观察数据得到甲、乙加工零件数的众数，得到C错误；

D选项，计算出甲、乙两人日均加工零件数，比较后得到D正确.

【详解】甲加工零件数的极差为28-18=10，乙加工零件数的极差为25-17=8，故极差不同，A错误；

甲加工零件数的中位数为，乙加上零件数的中位数为，

故中位数不同，B错误；

甲加工零件数的众数为19，乙加工零件数的众数为18，甲加工零件数的众数大于乙加工零件数的众数，C错误；

甲日均加工零件数为，乙日均加工零件数为，

故甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数，D正确.

故选：D

4．设是定义在上的三个函数，则以下命题中正确的个数是（    ）

①若均为奇函数，则均为奇函数；

②若均为上的严格增函数，则中至少有一个为上的严格增函数；

③若均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数；

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】利用奇偶性、单调性和周期性的性质求解即可.

【详解】①由奇函数的定义可得，两式作差可得，

结合可得，

同理可得，①正确；

②可举反例，，均不是严格增函数，

但，，均为严格增函数，②错误；

③由周期性的定义可得，两式作差可得，

结合 可得，

同理可得，③正确；

故选：C.

二、填空题

5．设集合，则______.

【答案】

【分析】利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】因为，

所以，

又因为，

所以.

故答案为：.

6．函数的最小正周期是______．

【答案】

【分析】根据周期公式，即可求解.

【详解】根据周期公式可知.

故答案为：

7．函数的定义域为_____.

【答案】

【分析】由解析式有意义列不等式组，解不等式求其解集可得函数的定义域.

【详解】由有意义可得自变量应满足条件，由解得，由不等式解得，所以或，所以函数的定义域为.

故答案为：.

8．函数的单调递增区间是_________．

【答案】

【详解】设 ， 或

为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.

9．已知向量、为单位向量，且，则______.

【答案】

【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

又因为向量、为单位向量，

所以，

故答案为：

10．若（虚数单位）是实系数一元二次方程的根，则________.

【答案】1

【分析】可知也是实系数一元二次方程的根，从而利用韦达定理求得．

【详解】是实系数一元二次方程的根，

是实系数一元二次方程的根，

，，

解得，，，故.

故答案为：1．

【点睛】本题考查复数的运算及实系数方程的性质应用，考查方程思想和运算求解能力．

11．函数的反函数为______.

【答案】

【分析】根据反函数的定义结合指、对数之间的转化运算求解，注意函数的定义域.

【详解】对于，则，

故函数的反函数为.

故答案为：.

12．已知函数，则_____.

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量，化简求值.

【详解】，，

所以.

故答案为：

13．已知函数在处取得极值，则实数_____.

【答案】##

【分析】由题有，可得的可能值，再代入题中验证可确定答案.

【详解】由题，有.则.

又时，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

则在处取得极值.

故答案为：

14．不等式的解集为，则不等式的解集为_________.

【答案】或

【分析】根据不等式的解集为，确定且，由此将不等式转化为一元二次不等式求解，可得答案.

【详解】由不等式不等式的解集为，可知，即 ，

故 ，

故不等式即，即 且 ，

所以或，即不等式的解集为或，

故答案为：或.

15．已知双曲线，点是双曲线的右焦点，是双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为____.

【答案】3

【分析】根据已知条件，求出各点的坐标，得出.然后在中，得到的关系，从而解出离心率.

【详解】

由已知得，，，

则直线方程为，设，，

则，，，

则，

解得或（舍去）.

在中，，即，

整理得，，解得或（舍去）.

所以，，.

故答案为：3.

16．定义几类集合的长度：（1）集合的长度为；（2）集合(其中)的长度为；（3）空集的长度为0.设，则不等式的解集的长度的最大值为____.

【答案】

【分析】分、、和四种情况讨论不等式解集的长度，即可得到最大值.

【详解】不等式的解集可以看成函数在函数下方部分的图象上点的横坐标的范围，

当时，，此时图象如下所示：

所以解集为空集，解集的长度为0；

当时，图象如下所示：

设交点横坐坐标分别为，，且，令，则，，不等式解集为，解集的长度为；

当时，图象如下所示：

此时令，则，，不等式解集为，解集的长度为；

当时，图象如下所示：

如图所示，设交点坐标分别为，，，，令，则，，令，则，，，

，

所以不等式的解集为或，长度为；

综上所述，当时，不等式解集的长度最大，为.

故答案为：.

三、解答题

17．公差不为零的等差数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)记的前项和为，求使成立的最大正整数.

【答案】(1)或

(2)当时，；当时，.

【分析】（1）根据等差数列公式，代入计算得到答案.

（2）根据等差数列求和公式，考虑两种情况，代入数据得到不等式，解得答案.

【详解】（1），即，解得或.

故或

（2）当时，，

，即，解得，故最大正整数；

当时，，

，即，解得，故最大正整数.

综上所述：

当时，；当时，.

18．正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，求：

(1)直线与所成的角的余弦值；

(2)点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角，

（2）根据空间向量即可求解点面距离.

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则,

所以,

设直线与所成的角为，则，

（2）则，

设平面的法向量为，,

由得取，则，

所以点到平面的距离为

19．已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意建立的方程组即可求解;

(2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解.

【详解】（1）由离心率又,所以，

又右顶点为，所以，所以，

故双曲线的标准方程为.

（2）设直线的方程为，设，

则由得，

因为直线与双曲线一支交于、两点，

所以 ，解得，

因此

，

因为，所以，

所以，所以，

故.

20．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；

(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，

方案1：不分类卖出，单价为21元；

方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差.

【答案】(1)

(2)应该采用第二种方案，理由见详解

(3)分布列见详解，

【分析】（1）根据题意结合二项分布运算求解；

（2）根据加权平均数求方案二的平均单价，结合题意分析判断；

（3）先根据分层抽样求各层应抽取的样本个数，再结合超几何分布求分布列和方差.

【详解】（1）记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果”为事件A，则，

从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为，则，

故恰好有2个水果是礼品果的概率.

（2）方案2：每公斤的单价为（元），

∵，故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.

（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为，即4个精品果，6个非精品果，

由题意可得：的可能取值有：，则有：

,

的分布列如下：

则，

.

21．已知函数且为常数）.

(1)当，求函数的最小值；

(2)若函数有2个极值点，求的取值范围；

(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值；

（2）首先求函数的导数，再设函数，利用导数分析函数的图像，转化为直线与的图像有2个交点，即可求得的取值范围；

（3）首先不等式转化为对任意的恒成立，再构造函数，利用二次导数，结合零点存在性定理，分析函数的单调性，求得函数的最小值，即可求的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以当时，函数取得最小值；

（2）函数的定义域为，，

设，，由，得，

列表如下：

当时，，当时，，

做出函数与的图像，如下图，

当时，直线与的图像有2个交点，设这两个交点的横坐标分别为，且，

有图可知，当或时，，当时， ，此时函数有2个极值点，

所以的取值范围是；

（3）不等式对任意的恒成立，

等价于对任意的    恒成立，

所以对任意的恒成立，

令，其中，则，

令，其中，则，对任意的恒成立，所以在上单调递增，

因为，，故存在，使得，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，

因为，则，因为，则，

因为函数在上单调递增，

由可得，故，可得，

所以，

故.