2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．命题“空间中任意3点确定一个平面”是___________命题.（填“真”，“假”）

【答案】假

【分析】当三点共线时，可以知命题不成立，即可得正确答案.

【详解】因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，

当三点共线时可以确定无数个平面，

故答案为：假.

2．边长2和4的矩形直观图面积为______.

【答案】

【分析】根据直观图面积等于倍原图形面积解决即可.

【详解】由题知，

直观图面积为.

3．若圆锥的侧面积为2，母线长为2，则此圆锥的体积为______.

【答案】##

【分析】由侧面积公式解得，进而求出圆锥的高，即可由体积公式求得体积

【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为圆锥的母线长，其侧面积为，所以，

所以，该圆锥的体积为.

故答案为：

4．正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为______.

【答案】24

【分析】先求出底面四边形的边长，再利用柱体的侧面积公式进行求解.

【详解】因为正四棱柱的底面是正方形，且面积为4，

所以底面的边长为2，又因为棱柱的高为3，

所以侧面积为.

故答案为：24.

5．在长方体中，，则与平面所成角的大小为______.

【答案】

【分析】首先连接交于点，连接，然后证明面，根据线面角的定义得到为与平面所成角，在中求解的余弦值即可求出与平面所成角.

【详解】连接交于点，连接，

由，得为正方形，即，

由长方体的性质得面面，

所以，且，所以面，

则为与平面所成角，

在中，，

所以，

即与平面所成角为.

故答案为：

6．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为1，则二面角的大小为______.

【答案】

【分析】先判断得二面角的平面角为，再利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到，进而求得，由此得解.

【详解】取中点，连接，过作于，

因为是正三角形，所以，

所以二面角的平面角为，

又，面，

所以面，又面，所以，

因为，平面，

所以平面，则点到平面的距离为，即，

又在边长为2的中，，

所以，是锐角，

则二面角的大小为.

故答案为：.

7．如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_____

【答案】

【分析】连接取其中点，连接，则即为所求角或其补角，再利用余弦定理解三角形即可.

【详解】如图，连接取其中点，连接，

∵是中点，∴，

∴异面直线AN，CM所成的角就是（或其补角），

设正四面体的棱长为1，则，，

在中，

，

在中，.

异面直线AN，CM所成的角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，属中档题题.

8．圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图所示），则球的半径是________.

【答案】3

【分析】根据水的体积与球的体积之和为一个高为的圆柱的体积即可求解.

【详解】设球的半径为，

根据题意，水的体积与球的体积之和等于高为的圆柱的体积，

所以，

解得.

故答案为：3

9．三棱柱的各条棱长均为，则该三棱柱的侧面积为______.

【答案】##

【分析】根据题意知在平面内的射影是的角平分线.如图过点作平面，垂足为H，延长AH交BC于D，则，利用线面垂直的判定定理和性质可证四边形为矩形，结合矩形和平行四边形的面积公式计算即可.

【详解】由题意知，

在三棱柱中，，

所以在平面内的射影是的角平分线.

如图，过点作平面，垂足为H，延长AH交BC于D，

则AD是的角平分线，所以，

又平面，所以，

由平面，得平面，

又平面，所以，

因为，所以，故四边形为矩形，

所以，又，

所以三棱柱的侧面积为.

故答案为：.

10．我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______.

【答案】2:1

【分析】画出图形，在图形中分别表示出“阳马”和“鳖臑”的体积即可求解.

【详解】如图所示，图为底面为直角三角形的直三棱柱“崭堵”，，

若以作为“鳖臑”的底面，则可选点或点作为顶点，

我们选取点为例，连接，则四面体满足条件，

且棱锥也满足“阳马”的条件，

面且四边形为长方形，

设，

则“堑堵”的体积为，

“鳖臑”的体积为，

所以“阳马”的体积为，

所以“阳马”和“鳖臑”的体积比为2：1.

故答案为:2:1.

11．在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是______.

【答案】抛物线

【分析】点P到直线的距离即，根据抛物线的定义判断轨迹图形.

【详解】由题意得直线平面，则，

即就是点到直线的距离，

所以点到直线的距离等于它到点的距离，所以点的轨迹是抛物线.

故答案为：抛物线.

12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______.

【答案】

【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角再结合勾股定理即可求出余弦值的大小.

【详解】一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成，

并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为

过点作底面的垂线，垂足为分別为上下底面正方形的中心，

连接交于，连接，如图所示，

由题意得，

所以即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角；

所以，所以，

由三角形都为正三角形得，

设正方形边长为，则，所以，

所以.

故答案为：

二、单选题

13．三个平面不可能将空间分成（    ）个部分

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.

【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；

若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；

若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分

故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.

故选：A.

14．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

即“”是“”的充分条件；

如图，在长方体中，设面为面、面为面，

则，且与面不垂直，

即“”不是“”的必要条件；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（    ）

A．三角形 B．长方形 C．对角线不相等的菱形 D．六边形

【答案】A

【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可．

【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形．

故选：A．

16．如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】可知点M沿着运动，设点P为B1C的中点，分析当M从B1到P时，在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，由MA1+MD＝MA′+MD，MC1，分析排除即得解

【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着运动.

设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示

在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，

则MA1+MD＝MA′+MD，

由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的，

所以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D；

因为PC1是定值，MC1，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确；

故选：C

三、解答题

17．己知正四棱锥中，.

(1)求侧棱与底面所成角；

(2)求正四棱锥的侧面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由正四棱锥的定义得到侧棱与底面所成角为，再求得的长度，从而得到，由此得解；

（2）结合（1）中结论，求出斜高，从而即可求得正四棱锥的侧面积.

【详解】（1）连接､，设，连接，

因为棱锥为正四棱锥，

所以底面为底面正方形的中心，则侧棱与底面所成角为，

因为，所以，.

所以，即侧棱与底面所成角为.

.

（2）过作于，连接，

因为，，所以是的中点，

又是的中点，所以，

又在中，，所以，

所以四棱锥的侧面积为.

18．如图，是圆柱的一条母线，过底面圆心，是圆上一点.已知，.

(1)求二面角的大小；

(2)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知可推得，二向角的平面角为，在中，求解即可得到结果；（2）绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可.

【详解】（1）由题意得，所以，

平面，平面，

所以，

又，平面，平面，

所以平面,

又平面,所以，

即二向角的平面角为，

在中，，所以，

所以二面角的大小为.

（2）由线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，体积，

线段AD绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以AB为高的圆锥，体积，

所以以绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积为：

.

19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是，圆柱筒长．

(1)这种“浮球”的体积是多少（结果精确到？

(2)要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？

【答案】(1)169.6（cm3）

(2)（克）.

【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；

（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出10000个的面积，即可求解.

【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm,所以半球的直径也是6cm,可得半径r=3cm,所以两个半球的体积之和为（cm3）.

圆柱的体积（cm3）.

所以该“浮球”的体积是（cm3）.

（2）根据题意,上下两个半球的表面积是（cm2）.

而“浮球”的圆柱筒侧面积为（cm2）.

1个“浮球”的表面积为（cm2）

即为（m2）.

所以要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶

（克）.

20．如图，在四棱锥中，底面，，．

(1)求证：平面平面；

(2)试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；

(3)在(2)的条件下，求二面角的余弦值．

【答案】(1)见解析；(2)为的中点；(3).

【分析】(1)证明CD⊥平面PAD即可；

(2)过E作EF⊥AB于F，则EF为E－ABC的高，分别求出P－ABCD和E－ABC的体积，再求出部分体积，由体积比即可得EF与PA的关系，即可知E点的位置；

(3)连接、，与交于点，连接，二面角的平面角与∠EOF互余，故解三角形EOF即可.

【详解】(1)∵，∴．

∵平面，平面，

∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

(2)作于点，

∵在中，，∴，

∴平面．

设，

则．

．

由，得，解得，

即，故为的中点；

(3)连接、，与交于点，连接，

由(2)可知平面，∴．

易知为正方形，∴．

∵，∴平面，故．

∴是二面角的平面角．

由平面，可知平面平面．

∴二面角与平面角互余．

设二面角的平面角为，则，

在中，，

，

∴二面角的余弦值为．

21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；

(1)求圆锥的母线与底面所成的角；

(2)过底面中心且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的底面半径；

(3)过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的短轴长.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据侧面展开图的特征列方程得出底面半径和母线的关系，从而得出母线与底面所成的角；

（2）根据抛物线的一条弦为圆锥底面直径得出底面半径和的关系，从而可得圆锥的底面半径；

（3）利用三角形相似和圆锥的特点得出椭圆的长轴，短轴和底面半径的关系，从而可得长短轴的关系，得出答案.

【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥侧面展开图的半径为，弧长为，

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，所以

所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的母线与底面所成的角为.

（2）设抛物线的顶点，则为的中点

以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系（DE是圆锥底面的直径）

设抛物线方程为，设，把代入抛物线方程得，

所以，于是母线，

由（1）得，即，所以.

（3）设的中点为，则和为椭圆的长轴顶点，

取的中点，则为椭圆的中心，连接并延长，交于，

过作，交圆锥底面圆周于，

则，即，

过作交于，由得，

又，所以为靠近的三等分点，

过点作，交于

因为平面与底面垂直，，在底面中且平面与底面的交线为，

所以由面面垂直的性质可知，平面，

所以平面，所以为该椭圆的短半轴，即，

因为，所以所以，即，

所以椭圆的短轴长为.

【点睛】思路点睛：对于圆锥，我们利用不同的平面去截其表面可得不同的圆锥曲线，在计算圆锥曲线的基本量的时候，注意利用空间中的位置关系去构建基本量的关系.