2023届上海市建平中学高三三模数学试题含解析

2023届上海市建平中学高三三模数学试题

一、填空题

1．设集合，，若，则实数________

【答案】0，2

【分析】利用子集的定义即可求出的值.

【详解】集合，，若，则且，

所以或，

故答案为：0，2

【点睛】本题主要考查了子集的定义，涉及元素的互异性，属于基础题.

2．设复数，其中i为虚数单位，则______．

【答案】-3

【分析】先化简复数再求解.

【详解】解：因为复数，

所以-3，

故答案为：-3

3．若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为_________．

【答案】

【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.

【详解】因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，

所以直线的倾斜角大小为．

故答案为：．

4．函数的导数为__________.

【答案】

【分析】利用复合函数的求导法则以及商的导数运算法可求得结果.

【详解】因为，

则.

故答案为：.

5．若关于的方程组无解，则实数________

【答案】

【分析】把方程组无解转化为两条直线无交点，然后结合两直线平行与系数的关系列式求得值.

【详解】若关于的方程组无解，

说明两直线与无交点.

则，解得.

故答案为：

【点睛】本题考查了两直线平行系数之间的关系，需熟记两直线平行系数的关系式，属于基础题.

6．若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_______．

【答案】45

【分析】展开式的通项为，由题意得，解得n＝10，再由，得，即可求得常数项．

【详解】因为的展开式的通项为，

所以展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，

由题意有，即，

则，解得．

由，得，

所以展开式的常数项为．

故答案为：45．

7．函数且的图像恒过定点，则点的坐标为___________.

【答案】

【分析】设求出定点的横坐标，代入函数求出定点的纵坐标，即得解.

【详解】解：设.

当时，，

所以函数的图象经过定点.

故答案为：

8．抛掷3个骰子，事件为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则___________.

【答案】

【分析】根据题中条件，先分别求出事件与事件发生的概率，再由条件概率的计算公式，即可得出结果.

【详解】由题意，事件发生的概率为，

事件发生的概率为，

因此.

故答案为：.

9．一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】设为正三角形的中心，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的值，从而得到球的表面积．

【详解】如图所示：

设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上，

设球的半径为，连接，，

∵的边长为，

∴，

又∵，

∴在中，，

在中，，，，

∴，解得，

此时说明球心在点的下方，即如下图所示：

∴球的表面积为．

故答案为：．

10．设某车间的A类零件的厚度L（单位：）服从正态分布，且．若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于的个数的方差为______．

【答案】16

【分析】根据正态分布得到，再由零件厚度小于14mm的个数服从求解.

【详解】依题意，得，

若从A类零件中随机选取100个，则零件厚度小于14mm的个数服从，

所以.

故答案为：16.

11．椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为_____．

【答案】

【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，利用定义可得：，解出，利用余弦定理可得关于的等式，再由基本不等式求得当取最小值．

【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，

设，

则，

，

，

化为：，

，

，

，

则，

即，当且仅当时取等号，故答案为．

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，属于难题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

12．已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】以点为起点作向量，，，则，，，由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，然后结合正弦定理与三角函数求解即可.

【详解】如图：

以点为起点作向量，，，

则，，，

由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，

由，得，，

在中：，即

所以，所以，

由同弧所对的圆周角相等，可得，

设，则，

在中：，

所以，

，

，，

，，

，

则的取值范围是

故答案为：

二、单选题

13．下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对于A，利用正切函数的性质判断；对于B，由单调区间不能合并判断；对于C，利用函数的奇偶性定义判断；对于D，利用奇偶性定义及导数法判断.

【详解】解：对于A，为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；

对于B，，定义域为，，所以为奇函数，在和上分别单调递增，不符合题意；

对于C，定义域为R，关于原点对称，但，故函数不是奇函数，不符合题意；

对于D，定义域为R，关于原点对称，又，则是奇函数，，则单调递增，符合题意.

故选：D.

14．在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（    ）

A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变

C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大

【答案】D

【分析】由正负相关、相关系数的含义及相关性强弱依次判断即可.

【详解】由题意，去掉离群点后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A、B、C错误，D正确.

故选：D.

15．如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（    ）

A．椭圆的一段 B．抛物线的一段

C．双曲线的一段 D．一段圆弧

【答案】D

【分析】过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，再分别分析翻折前、后的变化量与不变量，在翻折后的图形中取中点，进而可得答案.

【详解】解：在四边形中，过点作的垂线，垂足为，过点点作的垂线，垂足为，连接，如图1，

所以当四边形确定时， 和三边长度均为定值，

当沿着翻折到，形成如图2的几何体，并取中点，连接，

由于在翻折过程中，，

所以由中位线定理可得为定值，

所以线段中点的轨迹是以中点为圆心的圆弧上的部分.

故选：D

16．已知非常数列满足，若，则

A．存在，，对任意，，都有为等比数列

B．存在，，对任意，，都有为等差数列

C．存在，，对任意，，都有为等差数列

D．存在，，对任意，，都有为等比数列

【答案】B

【解析】本题先将递推式进行变形，然后令，根据题意有常数，且，将递推式通过换元法简化为，两边同时减去，可得，此时逐步递推可得.根据题意有，则当，时，可得到数列是一个等差数列，由此可得正确选项.

【详解】解：由题意，得.

令，则，

为非零常数且，

均为非零常数，

∴常数，且.

故.

两边同时减去，可得

，

∵常数，且，

，且.

，

∵数列是非常数数列，

，

则当，即，即，即时，

.

此时数列很明显是一个等差数列.

∴存在，只要满足为非零，且时，对任意，都有数列为等差数列.

故选：B.

【点睛】本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力，是一道难度较大的题目.

三、解答题

17．如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．

(1)求证：；

(2)若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据线面垂直的性质证明平面即可；

（2）根据线面垂直的性质可得与平面所成角为，再根据等体积法求解点到平面的距离即可

【详解】（1）连接，因为，，故，，又，平面，故平面.又平面，故

（2）由（1）因为，且平面平面，平面平面于，故平面，故与平面所成角为，故，又点在以点为圆心为直径的半圆上，，，故，，设点到平面的距离为 ，则因为，即，解得

18．已知向量．

(1)当时，求的值；

(2)设函数，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若，求 ()的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可得，化简可得，再代值计算即可，

（2）由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得，再利用正弦定理可求得，从而可得，由，得，再利用正弦函数的性质可求得其范围

【详解】（1）因为，，

所以，所以，

所以

（2）因为，

所以，

所以

，

在△ ABC中，，

所以由正弦定理得，，得，

因为，所以角为锐角，所以，

所以

，

因为，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以 ()的取值范围为

19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，）

(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）

【答案】(1)答案见解析；

(2)至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式；

（2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果.

【详解】（1）因为（，）的增长速度越来越快，

（）和（）的增长速度越来越慢，

所以应选函数模型（，）.

由题意得，解得，

所以该函数模型为（）；

（2）由题意得，即，

所以，

又.

所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

20．已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点．

(1)直线、的斜率分别为、，求的值；

(2)若、、三点共线，，求实数的值；

(3)若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由椭圆的方程可得，的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得的横纵坐标的关系，进而求出的值；

（2）由题意设的坐标，可得的坐标，求出直线的方程，令，可得的纵坐标，即求出的坐标，同理可得的坐标，再由，可得，代入可得的值；

（3）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得的纵坐标之差的绝对值，设直线的方程，令，可得的坐标，同理可得的坐标，求出的代数式，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积的最小值．

【详解】（1）由椭圆的方程可得，，

设，则，

可得；

（2）因为、、三点共线，设，则，

所以直线的方程为，

令，可得，即，

同理可得，

又因为，

所以，即，

即，

解得；

（3）由题意可得直线的斜率不为0，

设直线的方程为，设，，

联立，整理可得，

显然，且，，

，

直线的方程，令，

可得，同理可得，

所以

，

所以，当且仅当时取等号，

所以面积的最小值为18．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．已知函数，其中，．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）在内是增函数，在，内是减函数．（2）（3）

【分析】（1）先求得导函数,代入的值,根据零点及自变量、、的变化情况即可求得单调区间．

（2）根据极值点的，即可判断出成立，进而利用判别式求得的取值范围．

（3）根据条件，可知，从而判断出在上的最大值，进而可得关于的不等式组，

根据的范围即可求得的取值范围．

【详解】（1）先求得导函数为

当时，．令，解得，

当变化时，，的变化情况如下表：

所以在内是增函数，在，内是减函数．

（2）

显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立

即有．

解不等式，得．

这时，在单减，单增，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（3）

由条件，可知

从而恒成立．

在上，当时，；当时，

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

即在上恒成立

所以，因此满足条件的的取值范围是