2024届上海市敬业中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市敬业中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据集合间的包含关系即可求解.
【详解】由于，所以，
故答案为：
2．若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 .
【答案】
【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.
【详解】设扇形的半径为，则该扇形的面积为，解得，
故该扇形的半径为.
故答案为：.
3．设复数满足，则 .
【答案】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】因为，则，
因此，.
故答案为：.
4．若某圆锥高为3 ， 其侧面积与底面积之比为， 则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】由题意可列出关于圆锥底面半径和母线的方程组，解方程组即可求得底面半径和母线，从而可求圆锥的体积.
【详解】设此圆锥的底面半径为，母线长为，则，
因为圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥母线长，所以，，又侧面积与底面积之比为，
所以，所以，结合可解得，，
所以该圆锥的体积.
故答案为：

5．已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 .
【答案】
【分析】根据题意求得，得到二项式为，结合展开式的通项，即可求解.
【详解】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得，即，即二项式为，
其展开式的通项为，
令，可得，即展开式中的系数为.
故答案为：.
6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名工人某日的产量数据．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 ．
【答案】
【分析】根据中位数相等可构造方程求得，进而利用平均值相等构造方程求得，加和即可.
【详解】由茎叶图可知：甲组工人产量的中位数为，则乙组工人产量的中位数应为，解得：，
乙组工人产量的平均值为，
则甲组工人产量的平均值为，解得：，
.
故答案为：.
7．若关于的不等式组的解集是，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分别求出和的解集，由不等式组的解集是，即可得出答案.
【详解】由可得：，
又因为可得，
因为不等式组的解集是，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：.
8．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由幂函数的图象经过点，代入可得函数解析式，进而可判断函数的单调性与奇偶性，解不等式即可.
【详解】由幂函数的图象经过点，
得，解得：，
即，为偶函数，且在上单调递减，
设，即，
当时，由单调性可知，
又函数为偶函数，所以当时，，
所以，或，
解得或，即，
故答案为：.
9．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出的表达式，并利用基本不等式求出其最小值.
【详解】如下图示：

易知焦点，设，且
当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知，此时；
当直线斜率存在时，可设直线方程为，显然，
联立直线和抛物线方程，消去整理可得，
利用韦达定理可知，
又利用焦半径公式可知，
所以可得，
当且仅当，即时，等号成立；
综上可得，的最小值是.
故答案为：
10．已知函数，当时，，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.
【详解】令，解得：；令，解得：；
图象如下图所示，
由图象可知：，，.
故答案为：.
11．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】本题首先可以设向量与的夹角为，然后根据以及向量的运算法则得出，再然后建立直角坐标系，写出各点的坐标，设，则，，最后根据向量的数量积的坐标表示得出，根据二次函数性质即可求出最值.
【详解】因为，所以向量与的夹角和向量与的夹角相等，
设向量与的夹角为，
因为，所以，
即，
整理得，解得，，
如图，过点作垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，
易知，，，，
则，，，
，，，
，
因为，所以当时，取最小值，最小值为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查向量的数量积的求法，可通过建立直角坐标系的方式进行求解，考查向量的运算法则，考查向量的数量积的坐标表示，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
12．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若对于任意，都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由题给条件求得函数的单调区间对称轴对称中心，进而将转化为关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】定义在R上的奇函数满足，则，则，
又由可得，，
则函数的最小正周期为4，
由，可得函数有对称轴，
当时，，单调递增，
由奇函数图像关于原点对称可得，
当时，，单调递增，
则函数在单调递增，又函数有对称轴，
则函数在单调递减，
又在内，由，
即，可得，
又函数有对称轴，则时，，
则在内，由，可得，
令，，由任意，都有，
又，则的值域是的子集，
①当，即时，在单调递减，
则，则，不等式组无解，不符合题意；
②当，即时，在时取最小值，
在时取最大值，则
则，则，解之得；
③当，即时，在时取最小值，
在时取最大值，则
则，则，解之得；
④当，即时，在单调递增，
则，则，解之得，
综上，实数的取值范围为
故答案为：
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
二、单选题
13．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
14．已知是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直
C．平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面
D．若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线
【答案】B
【分析】举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D作答.
【详解】正方体中，直线、直线都平行于平面，而直线与相交，A不正确；
如图，直线是平面的斜线，，点P是直线l上除斜足外的任意一点，
过点P作于点A，则直线是斜线在平面内射影，直线与直线确定平面，
而平面，则平面平面，即过斜线有一个平面垂直于平面，
因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线与直线确定的平面唯一，
所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；
如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，
因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C不正确；
如图，在正方体中，平面为平面，直线为直线，
显然直线不垂直于平面，而平面内直线都垂直于直线，D不正确.
故选：B
15．已知为等比数列，的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
【答案】D
【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
对于A项，由得，即 ，
所以当，时，满足，但不是递增数列，故A项不成立；
对于B项，由得，
所以当，时， ，满足，但不是递增数列，故B项不成立；
对于C项，当，时，，，，
此时满足数列是单调递增，但，故C项不成立；
对于D项，由数列是单调递增可知，且，
所以，所以，即，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，即，故D项正确.
故选：D.
16．已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件建立方程求出，的值，然后回代，求出的范围，结合零点式求出，，的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．
【详解】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数，，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．
三、解答题
17．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；
（2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果；
方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1），，，
底面圆的半径，圆柱的侧面积为，
又圆柱的底面积为，圆柱的表面积.
（2）方法一：连接，
平面，平面，；
，即，，平面，
平面，又平面，；
即为二面角的平面角，
，，，，
即二面角的大小为.
方法二：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，是平面的一个法向量，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，
二面角的大小为，即.
18．已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦的和角公式，正弦、余弦的二倍公式，以及辅助角公式化简函数，再由正弦型函数的值域求解方法：整体代换思想，可得答案.
（2）由（1）和已知条件可求得角，再在中，由余弦定理求得边，继而由正弦定理求得， ，利用余弦的差角公式可得答案.
【详解】（1）
，
由得，，.
∴，即函数的值域为.
（2）由得，
又由，∴，∴.
在中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，
∵，∴，∴，
∴.
【点睛】本题考查运用三角函数公式进行恒等变换，利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.
19．已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16元，设该公司一年内共生产万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为万元，且已知
(1)求利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式：
(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】(1)；
(2)当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；
（2）求出分段函数的每一段的最大值，再比较最大值即得解.
【详解】（1）由题得利润等于收入减去成本.
当时，；
当时，.
（2）当时，时，；
当时，，
当且仅当，即时，，
时，的最大值为6104万元，
即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
20．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）已知不等式恒成立， 求实数的取值范围.
【答案】（1）； （2）减函数，证明见解析； （3） .
【分析】（1）根据可求的值，注意检验.
（2）利用增函数的定义可证明在上是减函数.
（3）利用函数的奇偶性和单调性可把原不等式化为，利用对数函数的性质可求的取值范围.
【详解】（1）是上的奇函数，， 得，
此时，，故为奇函数，
所以.
（2）为减函数，证明如下：
设是上任意两个实数，且，
，
，，即， ，，
，即，在上是减函数.
（3）不等式恒成立，.
是奇函数，，即不等式恒成立
又在上是减函数，不等式恒成立，
当时，得， .
当时，得 ，.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了不等式恒成立问题，考查了应用对数函数单调性解与对数有关的不等式，涉及了指数函数与对数函数的图象与性质，体现了转化思想在解题中的运用 .
21．已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据长轴长求出，再代入，求出，得到椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，先根据根的判别式求出的取值范围，
再根据点落在以线段为直径的圆的外部，则，列出不等式，求出的取值范围；
（3）先设出直线的方程，求出点S坐标，同理求出点T为，根据向量关系得到，结合的范围求出的范围.
【详解】（1）因为，所以；
又点在图像上即，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可得
设直线，设、，
由得，
解得或①
∵点在以线段为直径的圆的外部，则，
又②
解得或
由①②得
（3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知，
记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：.
令，解得，所以点S坐标为；同理点T为.
所以，，.
由，，可得：，，
所以，
由（2）得，，
所以

，
因为，所以，，
故的范围是.
【点睛】对于直线与圆锥曲线结合，求解取值范围问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，求出答案.