上海市建平中学2024届高三上学期期中数学试题

这是一份上海市建平中学2024届高三上学期期中数学试题，共7页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合,,若,则______.
2.函数的最小正周期为______.
3.已知圆的方程为,则圆的半径为______.
4.关于的不等式的解集为______.
5.函数的定义域为______.
6.已知,其中,则______.
7.已知关于的实系数一元二次方程（）有两个虚根和,若,则______.
8.若是函数的驻点,则实数的值为______.
9.关于的不等式对任意恒成立,则实数的最大值为______.
10.已知为复数,为的共轨复数,设,则的最大值为______.
11.设双曲线：（,）的左、右焦点分别为和,以的实轴为直径的圆记为,过点作的切线,与的两支分别交于,两点,且,则的离心率的值为______.
12.已知定义在上的函数的导函数为,若函数对任意恒成立,且,则的取值范围为______.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13.设直线的倾斜角为,则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
14.下列函数中,值域不为的函数是（ ）
A.B.C.D.
15.已知函数,若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
16.已知函数为定义在上的単调连续函数,,函数,有以下两个命题：①存在函数使得为函数的极大值点:②若对任意恒成立,则:则（ ）
A.①为真命题,②为真命题B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题D.①为假命题,②为假命题
三、解答题（本大题共5题,满分78分）
17.（14分）已知角和满足.
（1）若,求的值:
（2）若,求的值.
18.（14分）已知函数,.
（1）当时,求函数的零点：
（2）若函数为偶函数,求实数的值.
19.（14分）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图,在,,,四个点分別建造了供老年人活动的器械.,,,四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走,小区建造了,,,,,六条步行道,其中,,,.设,,为四边形的面积.
（1）若,求的值:
（2）求的最大值,并求取到最大值时的值.
20.（18分）已知抛物线：,为的焦点,,,为上互异的三点.
（1）若,求的坐标:
（2）若直线过点且斜率为,的纵坐标为6,求三角形的外接圆半径:
（3）若三角形为等腰直角三角形,求三角形面积的最小值.
21.（18分）已知定义在上的函数,其导函数为,记集合为函数所有的切线所构成的集合,集合为集合中所有与函数有且仅有个公共点的切线所构成的集合,其中,.
（1）若,判断集合和的包含关系,并说明理由：
（2）若（）,求集合中的元素个数:
（3）若,证明：对任意,,为无穷集.
建平中学2023学年第一学期期中教学质量检测
高三数学试卷参考答案
一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 3 2. 3. 4. 5. 6. 1 7. 8. 9. 10. 1 11.
12.【答案】
【解析】令,,即为增函数,故,,故.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13. C 14. B 15. A
16.【答案】A
【解析】①,此时:②当时,,
故,因此.
三、解答题（本大题共5题,满分78分）
17.【答案】（1）,可得,
即,解得或.
（2）,可得,即,
故.
18.【答案】（1）.当时,,无解:当时,,解得,故函数的零点为和.
（2）若函数为偶函数,,即,可得,解得.当时,,定义域关于原点对称,,故.
19.【答案】（1）,在直角中,,设和分别为和的面积,故,,故.
（2）,在直角中,,设和分别为和的面积,
故,,可得,故,当且仅当时取到.
20.【答案】（1）设,,可得,解得,故的坐标为或.
（2）已知,,设直线的方程为,,
可得,故,,
,,故
,故,
即点在以为直径的圆上,故三角形的外接圆半径为.
（3）不妨设,,由于,且,
不妨设,,其中,此时.
易知,,故,即,
故,解得,故,
当且仅当,即,时取到等号（时,无解）.故三角形面积的最小值为16,此时三角形三个顶点的坐标（不考虑顺序）分别为,和.
21.【答案】（1）函数在点（）处的切线斜率为,切线方程为,联立和可得,即,解得,
即函数所有的切线与函数有且仅有1个公共点,故.
（2）函数在点（）处的切线斜率为,切线方程为,
联立和可得,
即有且仅有一个解,易知该解为,
由于方程的判别式,
故,此时,即集合中的元素个数为1.
（3）设,函数在点处的切线斜率为,
切线方程为.
设,函数在点处的切线斜率为,切线方程为.
令,即,解得,
令,即,
即,令,,
,当且仅当时取到等号,
故在上严格增,,,,
故存在唯一的使得.
下证当时,.
当时,,：,联立和可得,即.
令,,,当且仅当,时取到等号,
故在上严格增,,故有唯一解,即.
当,时,联立和可得,
即.
令,,,
令,解得,.
极大值,
极小值,
极大值.
当,,严格減,,
若,则,,即有个解.
当,,严格增,,
若,则,,即有个解.
当,,
则,即有个解.
当,,
则,即有个解.
故当时,共有个解.
故对任意,,：,
其中,
由于函数具有周期性,同理可以证明存在,使得对任意,,：,根据的任意性可知为无穷集.0
－
0
＋
0
极大值
极小值
极大值