2022-2023学年河北省邯郸市大名县九年级（下）拓展演练数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市大名县九年级（下）拓展演练数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省邯郸市大名县九年级（下）拓展演练数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是(    )
A. ∠A=∠D，∠B=∠E
B. ∠A=∠D且ABDF=BCEF
C. ∠A=∠B，∠D=∠E
D. ∠A=∠E且ABDE=ACDF
2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(    )
A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中
3. 已知方程□x2−4x+2=0，在□中添加一个合适的数字．使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 将抛物线y=3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是(    )
A. y=3(x−2)2−5 B. y=3(x−2)2+5
C. y=3(x+2)2−5 D. 3(x+2)2+5
5. 如图，二次函数y=a2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，点C(0,−m)，其中20，②2a+c<0，③2a+b>0，④方程ax2+bx+c+m=0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为个．(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是(    )
A. (60−x)x=864 B. 60−x2⋅60+x2=864
C. (60+x)x=864 D. (30+x)(30−x)=864
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为(    )
A. 35
B. 45
C. 55
D. 2 55
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y=kx经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为(    )

A. −8 3 B. −2 3 C. −8 D. −6 3
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
9. 若x=1是关于x的方程x2+mx−5=0的一个根，则m= ______ ．
10. 某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2020年全年投入的研发资金为200万元，2022年全年投入的研发资金为288万元，设平均每年增长的百分率为x，可列方程为        ．
11. 如图，AB与⊙O相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC的长为______．


12. 如图，已知△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心.若∠BIC=∠BOC，则∠BAC的度数是        ．


13. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为______cm．

14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象经过点C，E.若点A(3,0)，则k的值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
如图1的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2的平面直角坐标系．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．


16. (本小题8.0分)
新冠肺炎疫情期间，佩戴口罩是做好个人防护的重要举措.因此，小明购买了一次性医药口罩和N95口罩共60个，其中一次性医药口罩数量是N95口罩数量的2倍多6个.求小明购买一次性医药口罩和N95口罩各有多少个？
17. (本小题9.0分)
某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0 (1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

18. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=(x+a)(x−a−1)(a>0)．
(1)求二次函数对称轴；
(2)若当−1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
19. (本小题9.0分)
某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式是y=2x,0 (1)第15天的日销售量为______件；
(2)0 (3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

20. (本小题9.0分)
某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km.有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．(参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41)


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、由∠A=∠D，∠B=∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；
B、由∠A=∠D且ABDF=BCEF，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；
C、由∠A=∠B，∠D=∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；
D、由∠A=∠E且ABDE=ACDF，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；
故选：A．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．

2.【答案】B 
【解析】解：A、守株待兔，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，故本选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故本选项不符合题意；
D、百发百中，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】B 
【解析】解：∵方程□x2−4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−8×□>0，且□≠0，
解得：□<2．
故选：B．
由方程有两个不等实数根可得b2−4ac>0，代入数据即可得出关于□的一元一次不等式，解不等式即可得出□的取值，根据□的值即可得出结论．
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
首先确定抛物线y=3x2的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【解答】
解：抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0)，
∵顶点坐标(0,0)先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，
∴新的抛物线顶点坐标为(2,5)，
∴新抛物线的解析式为：y=3(x−2)2+5，
故选：B．  
5.【答案】D 
【解析】解：①∵二次函数开口向上，与y轴交点在负半轴上，∴a>0，c<0，
∵二次函数的对称轴是直线：x=−1+m2，2 ∴1<−1+m<2，
∴12<−1+m2<1，
∴12 ∴二次函数的对称轴在y轴右边，
∴b<0，
∴abc>0，
∴①正确；
②∵二次函数的图象经过点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴b=a+c，
∵−b2a>12，
∴−b>a，
∴a+b<0，
∴2a+c
=a+a+c
=a+b<0，
∴2a+c<0，
∴②正确；
③∵−b2a<1，
∴2a+b>0，
∴③正确；
④∵ax2+bx+c+m=0，
∴ax2+bx+c=−m，
∵y=−m与y=ax2+bx+c有两个交点，
∴方程ax2+bx+c+m=0有两个不相等的实数根，
∴④正确；
故选：D．
①根据二次函数开口向上，与y轴交点在负半轴上先判断a、c的取值范围，再根据对称轴及m的取值范围确定b的取值范围，最后判断①的结果；
②根据①的结论求出a+b<0，进而得出②的结论；
③根据①的结论求出2a+b>0，进而得出③的结论；
④先把方程变形，再把方程的问题转化为函数的问题，通过两函数交点情况判断方程的跟的情况．
此题考查了二次函数的图象与x轴有交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这几个知识点的综合应用，其中把方程的问题转化为函数的问题是解题关键．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据长与宽之间的关系，可得出长为60+x2步，宽为60−x2步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：∵长与宽和为60步，长比宽多x步，
∴长为60+x2步，宽为60−x2步．
依题意得：60+x2⋅60−x2=864．
故选：B．  
7.【答案】C 
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 36+64=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，
∴BC′=4，
∴B′B= C′B′2+BC′2= 16+64=4 5，
∴sin∠BB′C′=BC′BB′=44 5= 55，
故选：C．
在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，在Rt△BB′C′中，由勾股定理可求BB′的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y=kx经过A、B两点，
∴xB=k2，xA=k4，即A(k4,4)，B(k2,2)，
∴AB2=(k4−k2)2+(4−2)2=k216+4，
∴BC=AB= k216+4，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×(yA−yB)=8，
即 k216+4×(4−2)=8，
整理得 k216+4=4，
解得k=±8 3，
∵函数图象在第二象限，
∴k<0，即k=−8 3;
方法二：过点A作AE⊥BC于点E，

∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，
∴AE=4−2=2，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC⋅AE=8，
∴BC=4，
∴AB=BC=4，
∴BE= AB2−AE2= 42−22=2 3，
∴4=ka2=ka−2 3,
解得：k=−8 3a=−2 3,
故选：A．
根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积=BC×(yA−yB)=8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．

9.【答案】4 
【解析】解：依题意，得12+m−5=0，
解得m=4．
故答案是：4．
把x=1代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

10.【答案】200×(1+x)2=288． 
【解析】解：由题意得：200×(1+x)2=280，
故答案为：200×(1+x)2=288．
根据题意列方程即可．
本题考查了列一元二次方程，解题关键是根据题意列出方程．

11.【答案】 5 
【解析】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AC，
在Rt△AOC中，OC=2，OA=3，
则AC= OA2−OC2= 32−22= 5，
故答案为： 5．
连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

12.【答案】60° 
【解析】解：如图所示：

∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI=∠CBI=12∠ABC，∠BCI=12∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠BAC)=90°−12∠BAC，
∴∠BIC=180°−(∠CBI+∠BCI)=180°−(90°−12∠BAC)=90°+12∠BAC，
∵∠BOC=2∠BAC，∠BIC=∠BOC，
∴2∠BAC=90°+12∠BAC，
解得：∠BAC=60°．
故答案为：60°．
根据三角形内心定义进行角的和差计算即可．
本题考查了圆周角定理、三角形的内心、三角形外心，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

13.【答案】 13 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵AE=2cm，
∴BE=AB−AE=6−2=4(cm)，
∵G是EF的中点，
∴EG=BG=12EF，
∴∠BEG=∠ABD，
∴∠BEG=∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴EBDC=BFCB，
∴46=BF9，
∴BF=6，
∴EF= BE2+BF2= 42+62=2 13(cm)，
∴BG=12EF= 13(cm)，
故答案为： 13．
根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB//CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

14.【答案】4 
【解析】解：设C(m,km)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点E为AC的中点，
∴E(m+32,k2m)，
∵点E在反比例函数y=kx上，
∴m+32×k2m=k，
∴m=1，
作CH⊥y轴于H，

∴CH=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA=∠HCB，
∵∠AOB=∠BHC，
∴△AOB≌△BHC(AAS)，
∴BH=OA=3，OB=CH=1，
∴C(1,4)，
∴k=4，
故答案为：4．
利用中点坐标公式可得点C的横坐标为1，作CH⊥y轴于H，再利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=OA=3，OB=CH=1，从而得出点C的坐标，即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．

15.【答案】解：(1)设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y=a(x−20)2+10，
把(0,0)代入，得400a+10=0，
解得a=−140．
∴y=−140(x−20)2+10．
即y=−140x2+x．
(2)石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x=30代入y=−140x2+x，得y=−140×900+30=7.5，
∵7.5>3+3，
∴石块能飞越防御墙AB．
(3)设直线OA的解析式为y=kx(k≠0)，
把(30,3)代入，得3=30k，
∴k=110．
故直线OA的解析式为y=110x.
如图：

设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为(t,−140t2+t)，
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q(t,110t)，
∴PQ=−140t2+t−110t，
=−140t2+910t
=−140(t−18)2+8.1．
∴当t=18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 
【解析】
【分析】
(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−20)2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案．
(2)把x=30代入y=−140x2+x，求得y的值，与6作比较即可．
(3)用待定系数法求得OA的解析式为y=110x，设抛物线上一点P(t,−140t2+t)，过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q(t,110t)，用含t的式子表示出距离关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．  
16.【答案】解：小明购买一次性医药口罩和N95口罩各有x个，y个，
则x+y=60x=2y+6，
解得：x=42y=18，
即小明购买一次性医药口罩42个，N95口罩18个． 
【解析】题中有两个等量关系：购一次性医药个数+N95口罩个数=60个，购一次性医药口罩数量=2倍N95口罩+6个．据此设未知数列方程组解答即可．
本题考查二元一次方程组的应用，注重建模思想，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，提高学生分析问题，解决问题的能力．

17.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b得：2k+b=1005k+b=160，
解得：k=20b=60，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+60(0 故答案为：y=20x+60(0 (2)(60−4−40)×(20×4+60)
=16×140
=2240(元)．
答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元．
(3)根据题意得：(60−x−40)(20x+60)=2400，
整理得：x2−17x+60=0，
解得：x1=5，x2=12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x=12．
答：这种干果每千克应降价12元． 
【解析】(1)观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，即可求出结论；
(3)利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；(2)根据各数量之间的关系，列式计算；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

18.【答案】解：(1)∵y=(x+a)(x−a−1)=x2−x−a2−a，
即：y=(x−12)2−a2−a−14，
∴该二次函数的对称轴为x=12；
(2)设点(−1,y1)，(3,y2)是二次函数图象上的点，
∵二次函数y=(x+a)(x−a−1)图象的开口向上，对称轴为x=12，
∴点(−1,y1)到对称轴的距离小于(3,y2)到对称轴的距离，
∴y1 ∵当−1≤x≤3时，函数的最大值为4，
∴当x=3时，y2=4，
∴9−3−a2−a=4，
整理得：a2+a−2=0，
解得：a1=1，a2=−2，
∵a>0，
∴a=1，
当a=1时，y=(x−12)2−a2−a−14=(x−12)2−94，
∴该函数的顶点坐标为(12,−94)． 
【解析】(1)把二次函数y=(x+a)(x−a−1)转化为顶点式即可得出对称轴；
(2)设点(−1,y1)，(3,y2)是二次函数图象上的点，然后根据二次函数图象的开口向上，对称轴为x=12得点(−1,y1)到对称轴的距离小于(3,y2)到对称轴的距离，据此可得出当x=3时，y2=4，据此可求出a的值，进而可得顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是理解当二次函数的开口向上时，二次函数图象上的点距离对称轴越远函数的值越大．

19.【答案】解：(1)30；
(2)由销售单价p(元/件)与销售时间x(天)之间的函数图象得：
当0 当20 40=20k+b30=40k+b，解得：k=−12b=50
∴p=−12x+50，
∴p=40(0 ①当0 日销售额为：40×2x=80x，
∵80>0，
∴日销售额随x的增大而增大，
∴当x=20时，日销售额最大，最大值为80×20=1600(元)；
②当20 日销售额为：(50−12x)×2x=−x2+100x=−(x−50)2+2500，
∵−1<0，
∴当x<50时，日销售额随x的增大而增大，
∴当x=30时，日销售额最大，最大值为2100元，
综上，当0 (3)由题意得：
当0 解得：12≤x≤30，
当30 解得：30 ∴当12≤x≤32时，日销售量不低于48件，
∵x为整数，
∴x的整数值有21个，
∴“火热销售期”共有21天． 
【解析】解：(1)∵日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式是y=2x,0 ∴第15天的销售量为2×15=30件，
故答案为：30；
(2)(3)见答案．
(1)利用日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的关系式，将x=15代入对应的函数关系式中即可；
(2)利用分类讨论的方法，分①当0 (3)利用分类讨论的方法，分①当0 本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，配方法求函数的极值，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键．

20.【答案】解：过A点作AD⊥BC于D点，

由题意知：∠ABC=90°−60°=30°，∠ACD=45°，
∴BD= 3AD，CD=AD，
∵BC=2.4km=2400m，
∴ 3AD+AD=2400，
解得：AD=1200( 3−1)≈876>800，
故该公路不穿过纪念园． 
【解析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BD= 3AD，CD=AD，由BC=2400m可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角，构造直角三角形是解题的关键．