2021-2022学年广东省佛山市南海区文翰中学八年级（下）第三次月考数学试卷(解析版)

2021-2022学年广东省佛山市南海区文翰中学八年级（下）第三次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 使分式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. ，为实数，且，则下列不等式的变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知，，，以，两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某种商品的进价为元，出售时标价为元，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可以打几折(    )

A. 折 B. 折 C. 折 D. 折

10. 如图，点的坐标为，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 分解因式：______．
12. 化简：           ．
13. 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位得到点，则点的坐标是______．
14. 分式方程：的解是______．
15. 如图，一次函数和交于点，则的解集为______．

16. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为，若，则的长为______．

17. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    解不式组，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．

19. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
    把向右平移个单位后得到对应的，请画出平移后的；
    把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
    观察图形可知，与关于点______ ，______ 成中心对称．

21. 本小题分
    暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游．
    分别写出甲、乙旅行社的收费元、元关于的函数关系式．
    他们应该选择哪家旅行社更合算？
22. 本小题分
    为方便市民出行，某市去年购买了相同数量的，两种型号共享电动车，购买型电动车共花费元，购买型电动车共花费元，每辆型号电动车的价格比每辆型号电动车的价格多元．
    ，型号的电动车单价分别是多少元？
    为积极响应政府提出的“绿色发展低碳出行”号召，该市决定今年再买、两种型号的电动车共辆，如果今年购买、两种型号电动车的总费用不超过元，那么该市今年最多购买多少辆型号电动车？
23. 本小题分
    已知：如图，锐角的两条高、相交于点，且．
    求证：是等腰三角形；
    判断点是否在的角平分线上，并说明理由．
     
24. 本小题分
    如图，两个全等的等边三角形与，拼成的四边形中，，点、分别为、边上的动点，满足，连接交于点，连接与、、分别交于点、、，且．
    求证：≌；
    求证：是等边三角形；
    当点，点运动到什么地方时，的周长最小？请求出的周长最小值．

25. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
    求直线的函数解析式；
    如图，点在直线位于第二象限的图象上，使得，求点的坐标．
    如图，在线段存在点，使得是以为腰的等腰三角形，求点坐标．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
．
故选：．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式解答即可．
本题了考查了分式有意义的条件，正确列出不等式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式两边先同乘以，再加上，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；
故选：．
根据不等式的性质，可判断，根据不等式的性质、可判断，根据不等式的性质，可判断、．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、，是因式分解，符合题意．
D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
故选：．
直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握分解因式的定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，




，
故选：．
根据，得出，再利用完全平方公式即可得出结论．
本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作法得垂直平分，
，
的周长．
故选：．
利用基本作图得到垂直平分，利用线段垂直平分线的定义得到，然后利用等线段代换得到的周长．
本题考查了作图基本作图，解决问题的解是掌握线段垂直平分线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
由绕点顺时针旋转得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：．
先根据三角形内角和计算出，由于由绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，，，则为等腰直角三角形，得到，然后利用计算即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：设该商品打折销售，
依题意，得：，
解得：．
故选：．
设该商品打折销售，根据利润售价进价结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：已知点的坐标为，则的边，这条边可能是底边也可能是腰．
当是底边时，点是的垂直平分线与坐标轴的交点，这两个点的坐标是和；
当是腰时，当是顶角顶点时，以为圆心，以为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是，，，；
当是顶角顶点时，以为圆心，以为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是，．
故满足条件的点共有个．
故选：．
等腰三角形要判断腰长的情况，本题可根据是底边、腰几种情况着手进行讨论即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质；分情况进行讨论，能够把各种情况能够讨论全是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：．  

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位得到点，
点的坐标是，即．
故答案为：．
直接利用平移规律，进而得出对应点坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化，正确掌握平移规律是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
方程两边同乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
所以分式方程的解为．
故答案为：．
解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
本题考查了分式方程的解法，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解．将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：的解集为：．
故答案为：．
直接利用一次函数图象结合交点坐标得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

平分，，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，再在中，利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
过点作于点，如图，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
由作法得平分，过点作于点，如图，则根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式有，然后利用为等腰直角三角形得到，所以．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
 

18.【答案】解：，
由得，，
由得，，
故不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求作．

如图，即为所求作．

与关于点，
故答案为：，．

分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
对应点连线的交点即为对称中心．
本题考查作图旋转变换，平移变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：由题意，有
，即，
，即；

由，得，
解得，
所以．
由，得，
解得；
由，得，
解得．
所以当时，选择乙旅行社费用较少；
当时，甲、乙两家旅行社的收费相同；
当时，选择甲旅行社费用较少． 

【解析】根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与的函数关系式；
首先分三种情况讨论：，，，针对每一种情况，分别求出对应的的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社．
本题考查了一次函数的应用：根据题意列出一次函数关系式，然后比较函数值的大小得到对应的的取值范围，从而确定省钱的方案．
 

22.【答案】解：设型号电动车的单价是元，则型号电动车的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型号电动车的单价是元，型号电动车的单价是元．
设该市今年购买辆型号电动车，则购买辆型号电动车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：该市今年最多购买辆型号电动车． 

【解析】设型号电动车的单价是元，则型号电动车的单价是元，利用数量总价单价，结合购买的，两种型号共享电动车数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出型号电动车的单价，再将其代入中，可求出型号电动车的单价；
设该市今年购买辆型号电动车，则购买辆型号电动车，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：，
，
锐角的两条高、相交于点，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；

解：点在的角平分线上．
理由：连接并延长交于，

在和中，
≌．
，
点在的角平分线上． 

【解析】由，即可求得，又由，锐角的两条高、相交于点，根据三角形的内角和等于，即可证得是等腰三角形；
首先连接并延长交于，通过证≌，得到，即点在的角平分线上．
此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．
 

24.【答案】证明：等边三角形绕点顺时针旋转得到，
，是全等的等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌；

证明：≌，
，，
，
，
是等边三角形；

解：的周长，
的值最小时，的周长最小，
是等边三角形，
，
当时，的值最小，此时，，
的周长的最小值为，
即的值最小时，的周长最小，其值为． 

【解析】先判断出，，即可得出结论；
由≌，得出，，即可得出结论；
的周长，推出的值最小时，的周长最小，因为是等边三角形，推出，推出当时，的值最小．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：将代入得，，
，
设直线的函数解析式为：，
，
，
直线的函数解析式为：；
点在直线位于第二象限的图象上，
设，
，
，
解得，
；
是以为腰的等腰三角形，
当时，设，
，，
，
解得， 舍，
，
当时，，
，
解得，
，
综上：或 

【解析】将代入得，，用待定系数法求直线的函数解析式；
设，表示出和，根据条件列方程即可；
由是以为腰的等腰三角形，分和，设，表示出，，，分别列方程求解，即可得出答案．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形面积的表示等知识，用方程思想是解决问题的关键．