2023年中考数学一轮复习满分突破专题11 一元二次方程【题型方法解密】

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专题11 一元二次方程
【考查题型】

【知识要点】
知识点一 一元二次方程有关概念
一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
考查题型一 一元二次方程的解
题型1．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　）
A．4 B． C．3 D．
题型1-1．（2022年四川省资阳市中考数学真题）若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
题型1-2．（2022年广东省中考数学真题试卷）若是方程的根，则____________．
题型1-3．（2022年江苏省连云港市中考数学真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
易错点总结：

知识点二：解一元二次方程（重点）
方法一：直接开平方法
概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】1) 若b>0，方程有两个不相等的实数根；
2）若b=0，方程有两个相等的实数根；
3)若b<0，方程无解。
方法二 配方法
概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q≥0）的形式；
【注意】：1）当q <0时，方程无解
2）如q≥0时，方程的根是x=-p±
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
方法三：公式法
概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。
一元二次方程 根的判别式：
1） 方程有两个不相等的实根:（）
2）方程有两个相等的实根：
3）方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
4）最后求出x1，x2
方法四：因式分解法
概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。）
用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）：
1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解。
考查题型二 解一元二次方程
题型2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ）
A． B． C．2 D．
题型2-1．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
题型2-2．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ）
A． B．
C． D．
题型2-3．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ）
A． B． C． D．
题型2-4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
题型2-5．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．
题型2-6．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
题型2-7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：


题型2-8．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．

易错点总结：

考查题型三 一元二次方程根的判别式
题型3．（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
题型3-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
题型3-2．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根C．没有实数根 D．有一个实数根
题型3-3．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B．且 C．且 D．
题型3-4．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ）
A． B．
C． D．
题型3-5．（2022·西藏·中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
题型3-6．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ）
A． B． C．且 D．且
题型3-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
题型3-8．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
题型3-9．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．

易错点总结：

知识点三 一元二次方程根与系数关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
1）； 2）；
3）； 4）；
考查题型四 一元二次方程根与系数的关系
题型4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
题型3-1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ）
A．7 B． C．6 D．
题型4-2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
题型4-3．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ）
A． B． C．或3 D．或3
题型4-4．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
题型4-5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（    ）
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
题型4-6．（2022·四川乐山·中考真题）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（    ）
A． B． C．1 D．
题型4-7．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
题型4-8．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
题型4-9．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．



题型4-10．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．


题型4-11．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．



题型4-12．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．




易错点总结：


知识点四 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题
销售类问题思路：
1）增长率等量关系：
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；
【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。
2）利润等量关系：
①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格；
②标价：商家出售时标注的价格；
③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90℅出售。
④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。
⑤利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
几何图形类问题：如几何图形面积模型、勾股定理等；
考查题型五 利用一元二次方程解决传播问题
题型5．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ）
A．8 B．10 C．7 D．9
题型5-1．（2021·黑龙江·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）
A．14 B．11 C．10 D．9
考查题型六 利用一元二次方程解决增长率问题
题型6．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
题型6-1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
题型6-2．（2022·江苏南通·中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（    ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
题型6-3．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
题型6-4．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
考查题型七 利用一元二次方程解决与图形有关的问题
题型7．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．

题型7-1．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
题型7-2．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．

题型7-3．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．

题型7-4．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

题型7-5．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
题型7-6．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
考查题型八 利用一元二次方程解决营销问题
题型8．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（    ）
A． B．
C． D．
题型8-1．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
考查题型九 利用一元二次方程解决其它问题
题型9．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．

考查题型一 一元二次方程的解
题型1．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【提示】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
题型1-1．（2022年四川省资阳市中考数学真题）若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
【答案】6
【提示】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
题型1-2．（2022年广东省中考数学真题试卷）若是方程的根，则____________．
【答案】1
【提示】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【名师点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
题型1-3．（2022年江苏省连云港市中考数学真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【提示】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
知识点二：解一元二次方程（重点）
方法一：直接开平方法
概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】1) 若b>0，方程有两个不相等的实数根；
2）若b=0，方程有两个相等的实数根；
3)若b<0，方程无解。
方法二 配方法
概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
3） 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q≥0）的形式；
【注意】：1）当q <0时，方程无解
2）如q≥0时，方程的根是x=-p±
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
方法三：公式法
概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。
一元二次方程 根的判别式：
2） 方程有两个不相等的实根:（）
2）方程有两个相等的实根：
3）方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
4）最后求出x1，x2
方法四：因式分解法
概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。）
用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）：
1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解。
考查题型二 解一元二次方程
题型2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【提示】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故选：B．
【名师点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
题型2-1．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【提示】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案．
【详解】解：x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故选C
【名师点拨】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．
题型2-2．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【名师点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
题型2-3．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】将进行因式分解，，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【名师点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
题型2-4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【提示】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【名师点拨】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
题型2-5．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．
【答案】，
【提示】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
【名师点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
题型2-6．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【提示】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：

∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【名师点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
题型2-7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】，
【提示】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴或
解得，．
【名师点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
题型2-8．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【提示】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【名师点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
考查题型三 一元二次方程根的判别式
题型3．（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【提示】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【名师点拨】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
题型3-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【提示】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2−4ac＝0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．
【详解】∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝4−4×（−k）＝0，且k≠0；
解得．
故选：B．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
题型3-2．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【提示】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程，
∵，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【名师点拨】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
题型3-3．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【提示】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【名师点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
题型3-4．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．，方程没有实数根，符合题意；
D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
题型3-5．（2022·西藏·中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【提示】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可．
【详解】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1．
故选D．
【名师点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件．
题型3-6．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【提示】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【名师点拨】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
题型3-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【提示】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
题型3-8．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【提示】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
题型3-9．（2022·广东广州·中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)；
(2)T=
【提示】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．
（1）
解：T=
=；
（2）
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴∆=2a2−4−ab+1=0，
∴，
则T=．
【名师点拨】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
知识点三 一元二次方程根与系数关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：
+＝； ＝
【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：
1）； 2）；
3）； 4）；
考查题型四 一元二次方程根与系数的关系
题型4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【提示】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，

故选A
【名师点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题型3-1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】B
【提示】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
故选B．
【名师点拨】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．
题型4-2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【提示】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【名师点拨】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
题型4-3．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ）
A． B． C．或3 D．或3
【答案】A
【提示】利用根与系数的关系以及求解即可．
【详解】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故选：A
【名师点拨】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
题型4-4．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【提示】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
【名师点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
题型4-5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（    ）
A．3或 B．或9 C．3或 D．或6
【答案】A
【提示】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【名师点拨】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
题型4-6．（2022·四川乐山·中考真题）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，
设另一根为，则，
，
，
故选：D
【名师点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题型4-7．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】##-0.125
【提示】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
题型4-8．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【提示】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题型4-9．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【提示】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【详解】（1），
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
【名师点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
题型4-10．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)k；
(2)k=3
【提示】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【名师点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
题型4-11．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)或

【提示】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴



（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵



∴或，
当时，，
当时，，
综上提示可知，的值为或．
【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
题型4-12．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)或
(3)15
【提示】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
（1）
解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）
解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）
解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【名师点拨】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
知识点四 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题
销售类问题思路：
1）增长率等量关系：
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；
【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。
2）利润等量关系：
①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格；
②标价：商家出售时标注的价格；
③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90℅出售。
④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。
⑤利润率=利润成本×100%=售价−成本成本×100%。
几何图形类问题：如几何图形面积模型、勾股定理等；
考查题型五 利用一元二次方程解决传播问题
题型5．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【提示】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，
解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），
故选B．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
题型5-1．（2021·黑龙江·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【提示】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故选B．
【名师点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
考查题型六 利用一元二次方程解决增长率问题
题型6．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【名师点拨】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
题型6-1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】结合题意提示：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
题型6-2．（2022·江苏南通·中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（    ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
【答案】B
【提示】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意，得：3000（1＋x）2＝3630，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意，舍去）．
故选：B．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型6-3．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【提示】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，
故答案为：30%．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型6-4．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20%
(2)18个
【提示】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【名师点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
考查题型七 利用一元二次方程解决与图形有关的问题
题型7．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．

【答案】
【提示】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【名师点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
题型7-1．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【提示】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
题型7-2．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．

【答案】3
【提示】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，
根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，
在Rt∆AED中，
，
即，
解得：x=4（负值已经舍去），
∴x-1=3，
故答案为：3．
【名师点拨】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
题型7-3．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．

【答案】
【提示】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
【详解】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【名师点拨】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键．
题型7-4．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

【答案】16
【提示】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【名师点拨】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
题型7-5．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【提示】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型7-6．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)150
【提示】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．
（1）
解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）
解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵，且，
∴当时，S有最大值，即为；
故答案为：150．
【名师点拨】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
考查题型八 利用一元二次方程解决营销问题
题型8．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【提示】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
题型8-1．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣2x+160
(2)销售单价应定为50元
(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元
【提示】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【名师点拨】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
考查题型九 利用一元二次方程解决其它问题
题型9．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【提示】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1），
故答案为：2022；
（2）根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【名师点拨】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．