专题19 378与578模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（解析版）

专题19 378与578模型

模型的概述：边长为3、7、8或5、7、8的三角形。

问题一：如图所示，当两个三角形的边长为3、7、8和5、7、8时，求这两个三角形面积。

思路：

1）过点C作CM⊥AB于点M

设BM=x 则AM=3+x

在Rt∆ACM中AM2+CM2=AC2    即CM2 =AC2 - AM2

在Rt∆BCM中BM2+CM2=BC2    即CM2 =BC2 - BM2

∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2  即82 - （3+x）2 = 72 - x2    解得x=1 

∴CM = 4  ∴S∆ABC=AB•CM = •3•4=6

2）过点F作FN⊥DE于点N

设DN=x 则NE=5-x

在Rt∆DNF中DN2+NF2=DF2    即NF2 =DF2 - DN2

在Rt∆ENF中NE2+NF2=EF2    即NF2 =EF2 - NE2

∴DF2 - DN2 = EF2 - NE2  即72 - x2 = 82 - （5-x）2    解得x=1 

∴NF = 4  ∴S∆DEF=DE•NF = •5•4=10

问题二：如图所示,已知∆ABC为等边三角形，AC=8，AD=3,BD=5,CH为高

        求∆ACD、∆BCD面积

思路：根据勾股定理/锐角三角函数可求得CH=4

      所以S∆ACDAD•CH = •3•4=6

          S∆BCD=BD•CH = •5•4=10

总结：1）边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形可以构成一个边长为8的等边三角形，且该等边三角形的高(CH)即为两个三角形的高。

2）边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形中边长为7所对的角为60°。

【培优过关练】

1．（2023春·八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）．

A．45° B．37° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．

【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：

设CD＝x，

则BD＝BC−CD＝5−x，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，

∴AB2−BD2＝AC2−CD2，

即：72−（5−x）2＝82−x2，

解得：x＝4，

∴CD＝4，

∴CD＝AC，

∴∠CAD＝30°，

∴∠C＝90°−30°＝60°，

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．

2．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）．

A．90° B．150° C．135° D．120°

【答案】D

【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．

【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图

设BD=x，则CD=8-x

在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：

则得方程：

解得：

即

∵，AD⊥BC

∴∠BAD=30゜

∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜

∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜

∵BC>AC>AB

∴∠BAC>∠ABD>∠C

故最大角与最小角的和为120゜

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件．

3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）．

A．45° B．37° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．

【详解】解：如图，过点A作 交BC延长线于点D，

∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，

可设CD=x，则BC=3+x，

在 中，

，

在中，

 ，

∴，

解得： ，

∴BC=3+x=4，

∴在中， ，

∴ ，

∴ ．

故选 C．

【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键．

4．（2021·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（    ）

A．24 B．56 C．48 D．112

【答案】A

【分析】如图，过作于，设，则，根据中，利用勾股定理建立方程，求得，继而用勾股定理求得，从而求得面积．

【详解】如图，过作于，设，则，

在中

解得

故选A

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

5．（2017·湖北武汉·中考真题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8

过A作AD⊥BC于D，

设BD=x，则CD＝5-x

由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2

解得：x=1

∴AD=4

设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：

（5r+7r+8r）= ×5×4

解得：r=

故选C.

6．（2019春·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　）

A．20 B．10 C．10 D．28

【答案】C

【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】如图，

∵AB=5，AC=7，BC=8，

过A作AD⊥BC于D，

∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，

∴52-BD2=72-（8-BD）2，

解得：BD=，

∴AD=，

∴△ABC的面积=10，

故选C．

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

二、填空题

7．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．

【答案】

【分析】先过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面积求出IE即可．

【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，

∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，

∴设AD＝x，则CD＝8−x，

在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2−AD2＝BC2−CD2，

∴32−x2＝72−（8−x）2，

解得：x＝，

∴AD＝，

∴BD＝

过点I作IE垂直BC于E，

∵I为△ABC的内心，

∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，

∵S△ABC＝AC•BD＝ (AC＋BC＋AB)•IE，

∴，

∴IE＝，

∴△ABC的内切圆I的半径为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、勾股定理、等面积法，过点B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD是本题的关键．

8．（2019秋·河北·八年级校考阶段练习）若△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边长分别为5，2x，3x－5，若这两个三角形全等，则△DEF的周长为______________，x的值为_______________．

【答案】     20     4

【分析】有两三角形全等可得出关于x的一元一次方程组，解方程即可得出结论．

【详解】∵两个三角形全等，

∴ 或 ，

解得：无解或x=4.

△DEF的周长=5+8+7=20.

故答案为20，4.

【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于根据题意列出方程.

9．（2018·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，若两个三角形全等，则x=__．

【答案】4

【详解】∵两个三角形全等，

∴或，

解得：无解或x=4.

故答案为4.

10．（2019秋·上海·九年级校考阶段练习）已知与是相似形，如果三边分别长为5，7，8，的最长边与最短边的差为6，那么的周长是_________．

【答案】40

【分析】根据相似三角形的对应边成比例，可设设△中最长边为，最短边为，第三边为，再根据“的最长边与最短边的差为6，”列关于的一元一次方程求解，即可求得三角形DEF的周长．

【详解】解：因为两个三角形相似，则设△中最长边为，最短边为，第三边为，

则，

解得：

则周长为

故答案为：40．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段成比例，周长比等于相似比．

11．（2018秋·上海黄浦·九年级格致中学校考阶段练习）已知与相似，若的三边分别为，的最长边与最短边之差为则_________________．

【答案】40

【分析】根据相似三角形的对应线段成比例可得出△DEF的最长边与最短边的比例关系，进而可求出这两边的长，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出△DEF的周长．

【详解】设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：

，

解得：；

∴△ABC和△DEF的相似比为5:10=1:2，则周长比也是1:2；

∵5+7+8=20，

∴240．

故答案为：40．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段成比例，周长比等于相似比．

12．（2021·山西·九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则

（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）；

（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则．

【答案】（1）；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析．

【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可；

求出，把①中根号内的式子可化为：

，即可得出结论；

连接，，由三角形面积公式即可得出结论．

【详解】解：由得：，

由得：，

；

公式和等价；推导过程如下：

，

，

中根号内的式子可化为：

，

；

连接，如图所示：

．

【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键．

13．（2019春·山东淄博·八年级淄博市临淄区第一中学校考期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： ①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积．）而古希腊也有求三角形面积的海伦公式：，②  (其中．) 若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.

【答案】；.

【分析】直接利用已知公式将相关数据代入得出答案；

【详解】 ．

又．

所以

【点睛】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．