中考数学一轮复习常考题型突破练习专题11 一元二次方程（2份打包，原卷版+解析版）

专题11 一元二次方程

【考查题型】

【知识要点】

知识点一 一元二次方程有关概念

一元二次方程定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

【判断一元二次方程的条件】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

考查题型一 一元二次方程的解

题型1．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（　　）

A．4 B． C．3 D．

题型1-1．（2022年四川省资阳市中考数学真题）若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．

题型1-2．（2022年广东省中考数学真题试卷）若是方程的根，则____________．

题型1-3．（2022年江苏省连云港市中考数学真题）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．

易错点总结：

知识点二：解一元二次方程（重点）

方法一：直接开平方法

概念：形如的方程两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

【注意】1) 若b0，方程有两个不相等的实数根；

2）若b0，方程有两个相等的实数根；

3)若b<0，方程无解。

方法二 配方法

概念：将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

2）  二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (x+p)2=q（q≥0）的形式；

【注意】：1）当q <0时，方程无解

         2）如q≥0时，方程的根是x=-p±

4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

方法三：公式法

概念：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。

一元二次方程 根的判别式：

1）  方程有两个不相等的实根:（）

2）方程有两个相等的实根：

3）方程无实根

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);

2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;

3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：

4）最后求出x1，x2

方法四：因式分解法

概念：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。（若ab=0，则a=0或b=0。）

用因式分解一元二次方程的一般步骤（口诀：右化零，左分解，两因式，各求解）：

1）将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

4）求解。

考查题型二 解一元二次方程

题型2．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．

题型2-1．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．9

题型2-2．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C． D．

题型2-3．（2022·天津·中考真题）方程的两个根为（    ）

A． B． C． D．

题型2-4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．

题型2-5．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．

题型2-6．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．

题型2-7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：

题型2-8．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；

（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．

①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．

易错点总结：

考查题型三 一元二次方程根的判别式

题型3．（2022·贵州安顺·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ）

A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根

题型3-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

题型3-2．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ）

A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根C．没有实数根 D．有一个实数根

题型3-3．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ）

A． B．且 C．且 D．

题型3-4．（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（    ）

A． B．

C． D．

题型3-5．（2022·西藏·中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1

题型3-6．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ）

A． B． C．且 D．且

题型3-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

题型3-8．（2022·江苏扬州·中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．

题型3-9．（2022·广东广州·中考真题）已知T=

(1)化简T；

(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．

易错点总结：

知识点三 一元二次方程根与系数关系

若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠）的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

+＝； ＝

【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化：

1）；            2）；

3）；    4）；

考查题型四 一元二次方程根与系数的关系

题型4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ）

A．4045 B．4044 C．2022 D．1

题型3-1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（    ）

A．7 B． C．6 D．

题型4-2．（2022·四川宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）

A．0 B．－10 C．3 D．10

题型4-3．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ）

A． B． C．或3 D．或3

题型4-4．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

题型4-5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．3或 B．或9 C．3或 D．或6

题型4-6．（2022·四川乐山·中考真题）关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（    ）

A． B． C．1 D．

题型4-7．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．

题型4-8．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．

题型4-9．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．

题型4-10．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．

(1)求实数k的取值范围．

(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．

题型4-11．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝

材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．

解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．

(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．

(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．

题型4-12．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由书达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程的解为_______________________；

(2)间接应用：

已知实数a，b满足：，且，求的值；

(3)拓展应用：

已知实数x，y满足：，且，求的值．

易错点总结：

知识点四 一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：

“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

“解”就是求出说列方程的解；

“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

【常见类型】销售类问题、几何图形类问题、传播类问题

销售类问题思路：

1）增长率等量关系：

①增长率＝×100%；

②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；

【易错点】增长率不为负，降低率不超过1。

2）利润等量关系：

①成本价：俗称进价，是商家进货时的价格；

②标价：商家出售时标注的价格；

③打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。如：打9折，就是按标价的90℅出售。

④利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。

⑤利润率=。

几何图形类问题：如几何图形面积模型、勾股定理等；

考查题型五 利用一元二次方程解决传播问题

题型5．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ）

A．8 B．10 C．7 D．9

题型5-1．（2021·黑龙江·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）

A．14 B．11 C．10 D．9

考查题型六 利用一元二次方程解决增长率问题

题型6．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

题型6-1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（    ）

A． B． 

C． D．

题型6-2．（2022·江苏南通·中考真题）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（    ）

A．10.5% B．10% C．20% D．21%

题型6-3．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．

题型6-4．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

考查题型七 利用一元二次方程解决与图形有关的问题

题型7．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．

题型7-1．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．

题型7-2．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．

题型7-3．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．

题型7-4．（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．

题型7-5．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；

(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

题型7-6．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．

考查题型八 利用一元二次方程解决营销问题

题型8．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（    ）

A． B．

C． D．

题型8-1．（2022·辽宁丹东·中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1)直接写出y与x的函数关系式；

(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？

(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

考查题型九 利用一元二次方程解决其它问题

题型9．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．

(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；

(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．