专题11 截长补短模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

专题11 截长补短模型

模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。

图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法

截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等

补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等

【过关练】

1．（2022秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（    ）

A．3 B．9 C．11 D．15

3．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．

4．如图，中，平分，，，则的度数为_______．

5．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知中，，D为上一点，，则的度数是_________．

6．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．

7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．

8．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）

A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定

9．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积．

10．（2021秋·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

11．（2020秋·江苏无锡·八年级统考期中）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）

12．（2021秋·广东佛山·八年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有______．

13．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．

（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．

14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．

15．（2023·全国·九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

【解决问题】

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．

证明：延长CD到G，使，

在与中，

∴理由：（SAS）

进而证出：___________，理由：（__________）

进而得．

【变式探究】

如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．

【拓展延伸】

如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．

16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．

(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．

(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？

答：　   　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．

(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．  

17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．

18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明 ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是______________；

（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

19．如图，是等边三角形，，，，则________．

20．（2023·全国·九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；

（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

21．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．

（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．

（2）探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明

（3）拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．

22．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．

（1）求的度数；

（2）求证：．

23．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．

（1）求∠ADB的度数；

（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．

24．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．

（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；

（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．

25．（2022秋·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．

（1）如图1，若．

①直接写出的大小；

②求证：．

（2）若图2，若，求证：．

26．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图中，分别平分相交于点．

（1）求的度数；

（2）求证：

27．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．

方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．

结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．

（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；

（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．

28．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．

（1）如图1，求的度数；

图1                                  图2

（2）连接，若，求的值；

（3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________．

29．（2022·全国·八年级专题练习）如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接．

(1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______．

(2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论．

(3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数．

30．（2022春·山东德州·八年级校考阶段练习）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．

在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？　　（填“是”或“否”）；

（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．