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2023年中考数学一轮复习满分突破专题13 线段双中点模型【题型方法解密】
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这是一份2023年中考数学一轮复习满分突破专题13 线段双中点模型【题型方法解密】，共23页。试卷主要包含了基础知识回顾，线段双中点模型的概述等内容，欢迎下载使用。
专题13 线段双中点模型
一、基础知识回顾
1）线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。
2）线段中点的性质：线段的中点平分这条线段。
已知点C是线段AB的中点，则AC=BC= 12AB (单中点模型)
二、线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。
模型一：两线段无公共部分（ 作和）
已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=12AC
证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点
∴MB=12AB，BN=12BC
则MN=MB+BN= 12AB+12BC=12AB+BC=12AC
文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半
模型二：两线段有公共部分（ 作差）
1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=12AC
证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点
∴MB=12AB，BN=12BC
则MN=MB-NB=12AB-12BC=12AB−BC=12AC
2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=12AC
证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点
∴MB=12AB，BN=12BC
则MN=NB-MB=12BC-12AB=12BC−AB=12AC
文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半
图解：
速记口诀：一半一半又一半
【基础过关练】
1．（2022·四川省内江市开学考试）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，设，则MN的长度是（ ）
A．2a B．a C． D．
2． C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
4．如图所示，点P是AB的中点，点Q是BC的中点.
（1）cm，cm，则PQ=_________cm；
（2）cm，cm，则AC=_________cm；
（3）cm，cm，则AQ=_________cm.
5．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）线段AB上有点C，点C使AC：CB＝2：3，点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN＝4，则AB的长是_____．
6．如图，是线段的中点，是线段的中点．
（）如果，，求的长．
（）如果，，求线段的长．
7．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
【提高测试】
1．点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
2．(易错) （2022·四川绵阳·七年级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
3．如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
4．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长______．
5．如图，C，D为线段AB上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点．
（1）如果CD=5cm，MN=8cm，求AB的长；
（2）如果AB=a，MN=b，求CD的长．
6．课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说：“较短木棒AB长40cm，较长木棒CD长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？
7．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
8．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝6，BC＝4，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其它条件不变，请猜想出MN的长度吗？并说明理由；
（3）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改为“点C在射线AB上”，其它条件不变，求MN的长度．
9．如图，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点.
(1)求线段的长.
(2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由.
(3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为，的中点，你能猜想的长度吗？并说明理由.
10．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
11．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；
②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【基础过关练】
1．（2022·四川省内江市开学考试）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，设，则MN的长度是（ ）
A．2a B．a C． D．
【答案】C
【分析】根据点M、N分别是AC、BC的中点，可知CMAC，CNBC，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度．
【详解】∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CMAC，CNBC，
∴MN=CM+CN(AC+BC)a．
故选：C．
2． C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先画好符合题意的图形，再证明再利用线段的和可得答案.
【详解】解：如图，
分别是的中点，
故选：
【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的和差与中点的定义是解题的关键.
3．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
【答案】D
【分析】先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．
【详解】解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为2.5cm或5.5cm
故选D．
【点睛】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
4．如图所示，点P是AB的中点，点Q是BC的中点.
（1）cm，cm，则PQ=_________cm；
（2）cm，cm，则AC=_________cm；
（3）cm，cm，则AQ=_________cm.
【答案】 （1）5； （2）10； （3）8.
【分析】（1）点P是AB的中点求出PB的长，由点Q是BC的中点求出BQ的长，然后可求出PQ的长；
（2）由点Q是BC的中点求出BC的长，然后可求出AC的长；
（3）直接把AB与BQ相加即可；
【详解】（1）∵点P是AB的中点，cm，
∴PB=3cm，
∵点Q是BC的中点，cm，
∴BQ=2cm，
∴PQ=3+2=5cm；
（2）点Q是BC的中点，cm，
∴BC=4cm，
∴AC=6+4=10cm；
（3）∵cm，cm，
∴AQ=6+2=8cm.
故答案为（1）5；（2）10；（3）8.
【点睛】本题考查了线段中点的计算，如果点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，那么点C叫做线段AB的中点，这时AC=BC=，或AB=2AC=2BC.
5．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）线段AB上有点C，点C使AC：CB＝2：3，点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN＝4，则AB的长是_____．
【答案】8
【分析】因为点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，所以AC＝2MC，BC＝2CN，即可求得．
【详解】解：如图
∵点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点
∴AC＝2MC，BC＝2CN
又∵MN＝4
∴AB＝AC+BC＝2MC+2NC＝2（MC+NC）＝2MN＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段的中点，掌握线段之间的关系是解题的关键．
6．如图，是线段的中点，是线段的中点．
（）如果，，求的长．
（）如果，，求线段的长．
【答案】（1）7cm（2）14cm.
【分析】（1）根据中点的定义可求MC，NC，再相加即可求解；
（2）根据中点的定义可求AC，BC，再相加即可求解.
【详解】解：（1）如图：MC=8÷2=4（cm）
NC=6÷2=3（cm），
MN=MC+NC=4+3=7（cm）.
答：MN的长是7cm.
（2）AC=5×2=10（cm），BC=2×2=4（cm），AB=AC+BC=10+4=14（cm）.
答：线段AB的长是14cm.
【点睛】本题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，对中点定义的应用是解答本题的关键.
7．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.
【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案；
（2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；
（3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；
（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.
【详解】解：（1） ，分别是的中点，
（2） ，分别是的中点，
（3） ，分别是的中点，
（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.
【提高测试】
1．点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】C
【分析】分点C在直线AB上和直线AB的延长线上两种情况，分别利用线段中点的定义和线段的和差解答即可．
【详解】解：①当点C在直线AB上时
∵为中点，为中点
∴AM=BM=AB=3,BN=CN=BC=1,
∴MN=BM-BN=3-1=2;
②当点C在直线AB延长上时
∵为中点，为中点
∴AM=BM=AB=3,BN=CN=BC=1,
∴MN=BM+BN=3+1=4
综上，的长度为或．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义以及线段的和差运算，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
2．(易错) （2022·四川绵阳·七年级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
∵，M是AC的中点，N是BC的中点，
∴；
∵，M是AC的中点，N是BC的中点，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键．
3．如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【答案】A
【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可．
【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
丙说法不正确
故选A
【点睛】此题考查了数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解．
4．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长______．
【答案】4.5cm
【分析】根据中点的定义求出AD，根据已知可求BC=9，进一步由AC=AB+BC求得AC，再根据中点的定义求得AE，再根据DE=AE-AD即可求解．
【详解】∵AB=24cm，D是AB中点，
∴AD=AB=12cm，
∵BC=AB，
∴BC=9，AC=AB+BC=33cm，
∵E是AC中点，
∴AE=AC=cm，
∴DE=AE-AD=-12=4.5cm，
∴DE=4.5cm．
【点睛】本题考查两点间距离，线段中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，C，D为线段AB上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点．
（1）如果CD=5cm，MN=8cm，求AB的长；
（2）如果AB=a，MN=b，求CD的长．
【答案】（1）线段AB的长为11cm；（2）2b﹣a．
【分析】（1）先根据M,N分别是线段AC,BD的中点,可得MC=AC,DN=BD,
再根据MC+CD+DN=MN=8cm,可得MC+DN=8﹣5=3cm,进而可得:AC+BD=2MC+2DN=2×3=6cm,所以AB=AC+CD+BD=AC+BD+CD=6+5=11（cm）,
（2）根据M,N分别是线段AC,BD的中点,可得CM=AM=AC,BN=DN=BD,
再根据AM+BN=MC+DN=AB﹣MN,可得MC+DN=a﹣b,
进而可得:CD=MN﹣（MC+DN）=b﹣（a﹣b）=2b﹣a．
【详解】（1）M,N分别是线段AC,BD的中点,
∴MC=AC,DN=BD,
∵MC+CD+DN=MN=8cm,
∴MC+DN=8﹣5=3cm,
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6cm,
∴AB=AC+CD+BD=AC+BD+CD=6+5=11（cm）,
即线段AB的长为11cm,
（2）M,N分别是线段AC,BD的中点,
∴CM=AM=AC,BN=DN=BD,
∵AM+BN=MC+DN=AB﹣MN,
∴MC+DN=a﹣b,
∴CD=MN﹣（MC+DN）=b﹣（a﹣b）=2b﹣a．
【点睛】本题主要考查线段的中点性质和线段和差关系,解决本题的关键是要熟练掌握线段中点性质,根据线段和差关系进行求解.
6．课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说：“较短木棒AB长40cm，较长木棒CD长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？
【答案】50cm或10cm．
【分析】根据中点定义求出BE、BF的长度，然后分①AB在CD的左侧且点B和点C重合时，EF=BE+BF，②当AB在CD上且点B和点C重合时，EF=BF﹣BE，分别代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵点E 是AB的中点，∴BE=AB=×40=20（cm）．
∵点F 是CD的中点（或点F 是BD的中点）
∴CF=CD=×60=30（cm）或BF=CD=×60=30（cm）．分两种情况讨论：
①如图1，当AB在CD的左侧且点B和点C重合时．
EF=BE+CF=20+30=50（cm）或EF=BE+BF=20+30=50（cm）；
②如图2．当AB在CD上且点B和点C重合时．
EF=CF﹣BE=30﹣20=10（cm）或EF=BF﹣BE=30﹣20=10（cm）．
综上所述：此时两根木棒的中点E和F间的距离是50cm或10cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
7．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【答案】（1）8厘米；（2）a；（3）t=4或或．
【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=CM+CN=8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t=6﹣t，解得t=4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），
综上所述：t=4或或．
【点睛】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
8．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝6，BC＝4，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其它条件不变，请猜想出MN的长度吗？并说明理由；
（3）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改为“点C在射线AB上”，其它条件不变，求MN的长度．
【答案】（1）5；（2）能，.理由见解析；（3）MN=5或1.
【分析】（1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，可知CMAC，CNBC，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度；
（3）根据题意画出图形，分两种情况讨论：①点C在点B的左边时；②点C在点B的右边．
【详解】（1）∵M为AC的中点，∴．
∵N为BC的中点，∴，∴．
（2）能，．理由如下：
∵M为AC的中点，∴．
∵N为BC的中点，∴．
∵AC＋BC＝a，∴．
（3）∵M为AC的中点，∴．
∵N为BC的中点，∴．
根据点C的位置，有以下2种情况：
①点C在点B的左边时，由（1）得：；
②点C在点B的右边时，．
综上所述：MN=5或1．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
9．如图，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点.
(1)求线段的长.
(2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由.
(3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为，的中点，你能猜想的长度吗？并说明理由.
【答案】(1)9cm;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）根据题意结合图形得出MN=（AC+BC）,即可得出答案,
（2）根据题意结合图形得出MN=（AC+BC）,即可得出答案,
（3）直接根据题意画出图形，进而利用MN==AC-BC求出即可．
【详解】解：（1）根据点M，N分别为线段，的中点，
，，得，.
所以.
(2) .
理由：根据点M，N分别为线段，的中点，
得，，
所以.
(3).
如图：
理由：因为M为的中点，所以.
因为N为的中点，所以.
所以.
【点睛】本题主要考查了两点之间距离和线段中点的性质,解决本题的关键是要熟练掌握线段中点的性质．
10．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
【答案】；，证明解解析；，证明见解析；见解析
【分析】根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可；
当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在；
点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度；
根据前面的结果解答即可．
【详解】解：分别是的中点，
分别是的中点
又
∵，
∴在点的右边，
如图示：
分别是的中点，
又
只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半
【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
11．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；
②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴＝2；
故＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴＝2．
②
EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
专题13 线段双中点模型
一、基础知识回顾
1）线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点。
2）线段中点的性质：线段的中点平分这条线段。
已知点C是线段AB的中点，则AC=BC= 12AB (单中点模型)
二、线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。
模型一：两线段无公共部分（ 作和）
已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=12AC
证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点
∴MB=12AB，BN=12BC
则MN=MB+BN= 12AB+12BC=12AB+BC=12AC
文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半
模型二：两线段有公共部分（ 作差）
1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=12AC
证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点
∴MB=12AB，BN=12BC
则MN=MB-NB=12AB-12BC=12AB−BC=12AC
2）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=12AC
证明：∵点M、N为线段AB、BC的中点
∴MB=12AB，BN=12BC
则MN=NB-MB=12BC-12AB=12BC−AB=12AC
文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半
图解：
速记口诀：一半一半又一半
【基础过关练】
1．（2022·四川省内江市开学考试）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，设，则MN的长度是（ ）
A．2a B．a C． D．
2． C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
4．如图所示，点P是AB的中点，点Q是BC的中点.
（1）cm，cm，则PQ=_________cm；
（2）cm，cm，则AC=_________cm；
（3）cm，cm，则AQ=_________cm.
5．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）线段AB上有点C，点C使AC：CB＝2：3，点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN＝4，则AB的长是_____．
6．如图，是线段的中点，是线段的中点．
（）如果，，求的长．
（）如果，，求线段的长．
7．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
【提高测试】
1．点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
2．(易错) （2022·四川绵阳·七年级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
3．如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
4．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长______．
5．如图，C，D为线段AB上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点．
（1）如果CD=5cm，MN=8cm，求AB的长；
（2）如果AB=a，MN=b，求CD的长．
6．课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说：“较短木棒AB长40cm，较长木棒CD长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？
7．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
8．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝6，BC＝4，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其它条件不变，请猜想出MN的长度吗？并说明理由；
（3）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改为“点C在射线AB上”，其它条件不变，求MN的长度．
9．如图，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点.
(1)求线段的长.
(2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由.
(3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为，的中点，你能猜想的长度吗？并说明理由.
10．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
11．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；
②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【基础过关练】
1．（2022·四川省内江市开学考试）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，设，则MN的长度是（ ）
A．2a B．a C． D．
【答案】C
【分析】根据点M、N分别是AC、BC的中点，可知CMAC，CNBC，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度．
【详解】∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴CMAC，CNBC，
∴MN=CM+CN(AC+BC)a．
故选：C．
2． C为线段上任意一点，分别是的中点，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先画好符合题意的图形，再证明再利用线段的和可得答案.
【详解】解：如图，
分别是的中点，
故选：
【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的和差与中点的定义是解题的关键.
3．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
【答案】D
【分析】先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．
【详解】解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为2.5cm或5.5cm
故选D．
【点睛】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
4．如图所示，点P是AB的中点，点Q是BC的中点.
（1）cm，cm，则PQ=_________cm；
（2）cm，cm，则AC=_________cm；
（3）cm，cm，则AQ=_________cm.
【答案】 （1）5； （2）10； （3）8.
【分析】（1）点P是AB的中点求出PB的长，由点Q是BC的中点求出BQ的长，然后可求出PQ的长；
（2）由点Q是BC的中点求出BC的长，然后可求出AC的长；
（3）直接把AB与BQ相加即可；
【详解】（1）∵点P是AB的中点，cm，
∴PB=3cm，
∵点Q是BC的中点，cm，
∴BQ=2cm，
∴PQ=3+2=5cm；
（2）点Q是BC的中点，cm，
∴BC=4cm，
∴AC=6+4=10cm；
（3）∵cm，cm，
∴AQ=6+2=8cm.
故答案为（1）5；（2）10；（3）8.
【点睛】本题考查了线段中点的计算，如果点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，那么点C叫做线段AB的中点，这时AC=BC=，或AB=2AC=2BC.
5．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）线段AB上有点C，点C使AC：CB＝2：3，点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN＝4，则AB的长是_____．
【答案】8
【分析】因为点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，所以AC＝2MC，BC＝2CN，即可求得．
【详解】解：如图
∵点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点
∴AC＝2MC，BC＝2CN
又∵MN＝4
∴AB＝AC+BC＝2MC+2NC＝2（MC+NC）＝2MN＝2×4＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段的中点，掌握线段之间的关系是解题的关键．
6．如图，是线段的中点，是线段的中点．
（）如果，，求的长．
（）如果，，求线段的长．
【答案】（1）7cm（2）14cm.
【分析】（1）根据中点的定义可求MC，NC，再相加即可求解；
（2）根据中点的定义可求AC，BC，再相加即可求解.
【详解】解：（1）如图：MC=8÷2=4（cm）
NC=6÷2=3（cm），
MN=MC+NC=4+3=7（cm）.
答：MN的长是7cm.
（2）AC=5×2=10（cm），BC=2×2=4（cm），AB=AC+BC=10+4=14（cm）.
答：线段AB的长是14cm.
【点睛】本题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，对中点定义的应用是解答本题的关键.
7．如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长；
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.
【分析】（1）先求解 再利用中点的含义求解 再利用线段的差可得答案；
（2）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；
（3）先利用含的代数式 再利用中点的含义，用含的代数式 再利用线段的差可得答案；
（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.
【详解】解：（1） ，分别是的中点，
（2） ，分别是的中点，
（3） ，分别是的中点，
（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.
【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.
【提高测试】
1．点，，在同一条直线上，，，为中点，为中点，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】C
【分析】分点C在直线AB上和直线AB的延长线上两种情况，分别利用线段中点的定义和线段的和差解答即可．
【详解】解：①当点C在直线AB上时
∵为中点，为中点
∴AM=BM=AB=3,BN=CN=BC=1,
∴MN=BM-BN=3-1=2;
②当点C在直线AB延长上时
∵为中点，为中点
∴AM=BM=AB=3,BN=CN=BC=1,
∴MN=BM+BN=3+1=4
综上，的长度为或．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了线段中点的定义以及线段的和差运算，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
2．(易错) （2022·四川绵阳·七年级期末）已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
∵，M是AC的中点，N是BC的中点，
∴；
∵，M是AC的中点，N是BC的中点，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键．
3．如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【答案】A
【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可．
【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
丙说法不正确
故选A
【点睛】此题考查了数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解．
4．如图，已知、、三点在同一直线上，cm，，是的中点，是的中点，则的长______．
【答案】4.5cm
【分析】根据中点的定义求出AD，根据已知可求BC=9，进一步由AC=AB+BC求得AC，再根据中点的定义求得AE，再根据DE=AE-AD即可求解．
【详解】∵AB=24cm，D是AB中点，
∴AD=AB=12cm，
∵BC=AB，
∴BC=9，AC=AB+BC=33cm，
∵E是AC中点，
∴AE=AC=cm，
∴DE=AE-AD=-12=4.5cm，
∴DE=4.5cm．
【点睛】本题考查两点间距离，线段中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，C，D为线段AB上的两点，M，N分别是线段AC，BD的中点．
（1）如果CD=5cm，MN=8cm，求AB的长；
（2）如果AB=a，MN=b，求CD的长．
【答案】（1）线段AB的长为11cm；（2）2b﹣a．
【分析】（1）先根据M,N分别是线段AC,BD的中点,可得MC=AC,DN=BD,
再根据MC+CD+DN=MN=8cm,可得MC+DN=8﹣5=3cm,进而可得:AC+BD=2MC+2DN=2×3=6cm,所以AB=AC+CD+BD=AC+BD+CD=6+5=11（cm）,
（2）根据M,N分别是线段AC,BD的中点,可得CM=AM=AC,BN=DN=BD,
再根据AM+BN=MC+DN=AB﹣MN,可得MC+DN=a﹣b,
进而可得:CD=MN﹣（MC+DN）=b﹣（a﹣b）=2b﹣a．
【详解】（1）M,N分别是线段AC,BD的中点,
∴MC=AC,DN=BD,
∵MC+CD+DN=MN=8cm,
∴MC+DN=8﹣5=3cm,
∴AC+BD=2MC+2DN=2×3=6cm,
∴AB=AC+CD+BD=AC+BD+CD=6+5=11（cm）,
即线段AB的长为11cm,
（2）M,N分别是线段AC,BD的中点,
∴CM=AM=AC,BN=DN=BD,
∵AM+BN=MC+DN=AB﹣MN,
∴MC+DN=a﹣b,
∴CD=MN﹣（MC+DN）=b﹣（a﹣b）=2b﹣a．
【点睛】本题主要考查线段的中点性质和线段和差关系,解决本题的关键是要熟练掌握线段中点性质,根据线段和差关系进行求解.
6．课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说：“较短木棒AB长40cm，较长木棒CD长60cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F，则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？
【答案】50cm或10cm．
【分析】根据中点定义求出BE、BF的长度，然后分①AB在CD的左侧且点B和点C重合时，EF=BE+BF，②当AB在CD上且点B和点C重合时，EF=BF﹣BE，分别代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵点E 是AB的中点，∴BE=AB=×40=20（cm）．
∵点F 是CD的中点（或点F 是BD的中点）
∴CF=CD=×60=30（cm）或BF=CD=×60=30（cm）．分两种情况讨论：
①如图1，当AB在CD的左侧且点B和点C重合时．
EF=BE+CF=20+30=50（cm）或EF=BE+BF=20+30=50（cm）；
②如图2．当AB在CD上且点B和点C重合时．
EF=CF﹣BE=30﹣20=10（cm）或EF=BF﹣BE=30﹣20=10（cm）．
综上所述：此时两根木棒的中点E和F间的距离是50cm或10cm．
【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
7．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【答案】（1）8厘米；（2）a；（3）t=4或或．
【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=CM+CN=8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t=6﹣t，解得t=4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍），
综上所述：t=4或或．
【点睛】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
8．（1）如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝6，BC＝4，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；
（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其它条件不变，请猜想出MN的长度吗？并说明理由；
（3）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改为“点C在射线AB上”，其它条件不变，求MN的长度．
【答案】（1）5；（2）能，.理由见解析；（3）MN=5或1.
【分析】（1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，可知CMAC，CNBC，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度；
（3）根据题意画出图形，分两种情况讨论：①点C在点B的左边时；②点C在点B的右边．
【详解】（1）∵M为AC的中点，∴．
∵N为BC的中点，∴，∴．
（2）能，．理由如下：
∵M为AC的中点，∴．
∵N为BC的中点，∴．
∵AC＋BC＝a，∴．
（3）∵M为AC的中点，∴．
∵N为BC的中点，∴．
根据点C的位置，有以下2种情况：
①点C在点B的左边时，由（1）得：；
②点C在点B的右边时，．
综上所述：MN=5或1．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
9．如图，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点.
(1)求线段的长.
(2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由.
(3)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为，的中点，你能猜想的长度吗？并说明理由.
【答案】(1)9cm;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）根据题意结合图形得出MN=（AC+BC）,即可得出答案,
（2）根据题意结合图形得出MN=（AC+BC）,即可得出答案,
（3）直接根据题意画出图形，进而利用MN==AC-BC求出即可．
【详解】解：（1）根据点M，N分别为线段，的中点，
，，得，.
所以.
(2) .
理由：根据点M，N分别为线段，的中点，
得，，
所以.
(3).
如图：
理由：因为M为的中点，所以.
因为N为的中点，所以.
所以.
【点睛】本题主要考查了两点之间距离和线段中点的性质,解决本题的关键是要熟练掌握线段中点的性质．
10．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
【答案】；，证明解解析；，证明见解析；见解析
【分析】根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可；
当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在；
点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度；
根据前面的结果解答即可．
【详解】解：分别是的中点，
分别是的中点
又
∵，
∴在点的右边，
如图示：
分别是的中点，
又
只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半
【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键．
11．已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；
②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴＝2；
故＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴＝2．
②
EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，
∴＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
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