【期末考前必练】2022-2023学年人教版数学八年级上册期末考点必刷题：专练06 填空题-压轴（20题）

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专练06 填空题-压轴（20题）
1．（2021·河南济源·八年级期末）如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 _______


【答案】或或
解：外角，的角平分线交于点 ，






∴；
如图示，延长至，


为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
∴
，即；



;
如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①，则， ；
②，则， ，；
③，则，解得 ；
④，则，解得 ．
综上所述，的度数是或或．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
2．（2021·湖南鹤城·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．

【答案】0
如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.

【点睛】
本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
3．（2021·黑龙江道外·八年级期末）如图，等边△ABC，D为CA延长线上一点，E在BC边上，且AD＝CE，连接DE交AB于点F，连接BD，若∠BFE＝45°，△DBE的面积为2，则DB＝______________．

【答案】2
解：过点D作DG∥BC，与BA的延长线交于点G，过点E作EH⊥BD于点H，如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝60°＝∠ABC＝∠AGD，
∵∠DAG＝∠BAC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝AG＝DG，
∵AD＝CE，
∴AB+AG＝AC+AD，
∴BG＝CD，
在△BDG和△DEC中，
，
∴△BDG≌△DEC（SAS），
∴∠BDG＝∠DEC，BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠BFE＝45°，∠EBF＝60°，
∴∠DEB＝∠DBE＝180°﹣∠EBF﹣∠BFE＝75°，
∴∠BDE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴EH＝DE，
∴EH＝BD，
∵△DBE的面积为2，
∴，即，
∴BD＝2 ．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，关键在于作平行线构造全等三角形．
4．（2021·重庆渝中·八年级期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为_____．（填写结论的编号）

【答案】①②③
解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：


∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE
∴PM=PD
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF
∴PM=PN
∴PD=PN
∵PC=PC
∴
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）
=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN
∵外角定理
∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确；
③由①可得，，且
∴∠APC=∠MPN
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°
∴∠MPN=180°-∠ABC
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
③由①可得，，且
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算，熟练各性质以及严谨的推理是解决本题的关键．
5．（2021·重庆梁平·八年级期末）如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．

【答案】
解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，

∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP= BN，BN=AO，
∴BP= AO= ×7=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）

【答案】①②③④⑤
解：①∵，
，
，
，故①正确；
②是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又平分，
是的垂直平分线，
，故②正确；

③，，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，故③正确；
④，
，
∵；
；故④正确；
⑤，
，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
7．（2021·黑龙江巴彦·八年级期末）如图，在等边中，点在边延长线上，连接，点在线段上，连接，交线段于点，，，，则线段的长度为___________．

【答案】
解：连接，过点作，交于，连接，如图所示：
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
即，
，
可以假设，，设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2021·重庆南开中学八年级期末）在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若，则BE＝___．

【答案】．
四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
由折叠的性质可知，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，，
是的中点，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
设，
则，
解得：，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题四边形的综合题，考查了矩形的性质，图形的折叠，全等三角形的性质，勾股定理等知识．
9．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级期末）如图，四边形ABCD，∠BAD＝60°，∠ADC＝150°，且BD⊥DC，已知AC的最大值是3，则BC＝___．

【答案】3﹣3
解：如图，取BC的中点F，以BC为边在△BCD另一侧作等边三角形△BCG，连接DG，DF，FG，

∵∠ADC＝150°，且BD⊥DC，
∴∠ADB＝150°﹣90°＝60°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，而△BCG也是等边三角形，
∴AB＝DB，BC＝BG，∠ABD＝∠CBG＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBG+∠DBC，即∠ABC＝∠DBG，
在△ABC和△DBG中，
，
∴△ABC≌△DBG（SAS），
∴AC＝DG，
∵AC的最大值是3，
∴DG的最大值也是3，
在△DGF中，DG≤DF+FG，
∴当DF、FG在同一条直线上时，DG取最大值3，即DG＝DF+FG＝3，
∵BD⊥DC，BC的中点F，
∴DF＝BF＝CF＝BC，
∵等边三角形△BCG，BC的中点F，
∴GF⊥BC，∠BGF＝∠CGF＝∠BGC＝30°，
∴BF＝CF＝BG＝BC，
∴设DF＝BF＝CF＝x，则BC＝BG＝2x，
∴FG＝，
∴DF+FG＝x+x＝3，
解得：x＝，
∴BC＝2x＝2×＝3﹣3，
故答案为3﹣3．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形判定和性质，三角形三边关系，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是巧妙添加辅助线构造全等三角形．
10．（2021·四川宜宾·八年级期末）已知：如图，在、中，，，，、相交于点，、分别是、的中点．有下列结论：①；②；③连结、，则为等腰直角三角形；④连结，则平分．其中，正确的结论是：__________．（只填序号）

【答案】①②③④
∵
∴∠BAC＋∠CAD=∠DAE＋∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中


∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE
故①正确
∵∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BOC
∴∠BAC=∠BOC=90°
∴BD⊥CE
故②正确
∵点P是BD的中点，点Q是CE的中点
∴BP=BD,CQ=CE
∴BP=CQ
在△ABP和△ACQ中


∴△ABP≌△ACQ(SAS)
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ
∵∠BAP+∠PAC=90°
∴∠CAQ＋∠PAC＝90°
∴∠PAQ＝90°
∴△APQ是等腰直角三角形
故③正确
如图所示


过点A作AM⊥BO于点M，过点A作AN⊥CE于点N
∴∠AMB=∠ANC=90°
∴在△ABM和△CAN中


∴△ABM≌△CAN(AAS)
∴AM＝AN
∵AM⊥OB,AN⊥OE
∴OA平分∠BOE
故④正确
∴正确的结论是：①②③④
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定定理，以及线段中点，垂直的定义知识．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，以及等腰直角三角形的判定方法，角平分线的判定定理，垂直的定义等知识的综合运用．
11．（2021·山东金乡·八年级期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1 的周长和为_______．（n≥2，且n为整数）．

【答案】
解：∵等边三角形的周长为1，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长=的周长=，
∴，，，，的周长分别为，，，，，
∴ ，，，，的周长和为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质以及规律性问题，解题的关键是正确理解题意，灵活运用相关知识解题．
12．（2021·重庆万州·八年级期末）如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是____．

【答案】3
解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K，
∵ME为AC的垂直平分线，
∴AM=MC，
∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，
∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，
又∵MB=MB，
∴△MBK≌△MBN，
∴MN=MK，BK=BN，
∴Rt△AMN≌Rt△CMK，
∴AN=CK，
∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，
∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，
∴2BN=AB-BC=13-9=4，
∴BN=2，
∴△BMN的面积为．
故答案为：．
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质、角平分线等知识，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
13．（2021·四川泸县·八年级期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形；⑤．其中正确的有______．（填写番号）

【答案】①②③④
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°−45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
∵，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC，故①正确．
∵平分，且，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
又∵BE=BE，
∴∆ABE≅∆CBE（ASA），
∴AE＝EC＝AC＝BF，故②正确，
∵△BDF≌△CDA，
∴AD=FD，
∴=FD+CF=CD=BD，即：，
故③正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵∠BDC＝90°，BD＝DC，H是BC的中点，
∴∠BHG＝90°，
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，
∴DG＝DF，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，
∴GH＝GM，
又∵BD＞BH，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE＝S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故答案是：①②③④．

【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
14．（2021·山东禹城·八年级期末）如图，己知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线OM上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为________.

【答案】32
解：△是等边三角形，

，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
△、△是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，
同理可得:，

△的边长为，
△的边长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．
15．（2021·内蒙古扎兰屯·八年级期末）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
【答案】264
原式＝
＝
＝
＝264﹣1+1
＝264；
故本题答案为264．
【点睛】
此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
16．（2021·四川双流·八年级期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
【答案】8
解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1），
解得：y=，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞-5；
∵y-1≠0，
∴≠1，
∴a≠-3，
∴-5＜a＜7，且a≠-3，
∴能使是正整数的a是：-1，1，3，5，
∴和为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键．
17．（2021·河南鹿邑·八年级期末）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为________________．
【答案】-2
解：分式方程去分母得：a﹣3x﹣3＝1﹣x，
解得：x，
由分式方程有负整数解，得到0且1，即a＜4，且a≠2，
解不等式组
得：，
由解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，
因为分式方程有负整数解，
∴符合条件的整数a为：-2， 0，
∴-2+0=-2．
故答案为：-2
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意分式方程有负整数解包括解为负数且解不能使分母为0两个条件．
18．（2021·四川开江·八年级期末）若，．则的值为______
【答案】
2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式

=

=

=
=

故答案为：
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
19．（2021·广西·三美学校八年级期末）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．

【答案】105°
解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°−60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案为105°.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
20．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)

【答案】4
①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；
④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．
故答案为①②③④．

【点睛】
本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．