（挑战压轴）专题1.4 方程思想在勾股定理中的应用-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

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（挑战压轴）专题1.4 方程思想在勾股定理中的应用
【典例分析】
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．
解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，可列方程为 　 ．

【变式1】（2021秋•亭湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是 　　．

【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD为角平分线，求BD的长．








【例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．


【变式1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．

【变式2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．


【例3】（2021春•黄冈月考）如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
求（1）AE的长．
（2）折痕EF的长．


【变式1】（2019春•河池期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝　　．

【变式2】（2019春•鄂城区期末）如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，则EF与AF的比值为（　　）

A．4 B． C．2 D．
【例4】（2021秋•宣化区期末）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

【变式1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）

【变式2】（2016秋•东台市期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？






















【课后巩固】
1.（2019秋•襄汾县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
4．（2021秋•晋中期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
5．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求BC的长；
（2）求AE的长；
（3）求BD的长

6．（2019秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．






7．（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．

8．（2021秋•法库县期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．


9．（2021秋•济阳区期末）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．




10.（2021秋•江阴市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．















（挑战压轴）专题1.4 方程思想在勾股定理中的应用

【典例分析】
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．
解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，可列方程为 　 ．

【答案】x2+82＝（x+4）2．
【解答】解：设AE＝AC＝x，
∵∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，
根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即x2+82＝（x+4）2，
故答案为：x2+82＝（x+4）2．
【变式1】（2021秋•亭湖区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是 　　．

【答案】
【解答】解：连接BE，

∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴AE＝，
故答案为：．

【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD为角平分线，求BD的长．

【答案】BD=3
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（AAS），
∴BE＝BC＝6，
∴AE＝10﹣6＝4．
设DC＝ED＝x．
∵AC＝8，
∴AD＝8﹣x，
在Rt△AED中，根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝＝＝3．

【例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．

【答案】AD=12
【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵△ADB与△ACD均为直角三角形，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BD＝9，
∴AD＝＝＝12．
【变式1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．

【答案】（1） BD的长是 （2）84
【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，
由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．
解得x＝．
即BD的长是；

（2）由（1）知，BD＝．
Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
即AD2＝142﹣（）2＝（）2，
∴AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×15×＝84．
【变式2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．

【答案】8
【解答】解：延长CB，作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，设AD＝x，BD＝y，
在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，
在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，
解方程得 y＝6，x＝8，
即AD＝8，∵AD即BC边上的高，
∴BC边上的高为8．
答：BC边上的高为8．


【例3】（2021春•黄冈月考）如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
求（1）AE的长．
（2）折痕EF的长．

【答案】（1）AE＝5 （2）EF=2．
【解答】解：（1）∵将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
∴AE＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AE＝8﹣AE，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣AE）2＝AE2，
∴AE＝5；
（2）解：过点F作FG⊥BC于G
∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．
又∵AD∥BC
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF．
在Rt△ABE中，
设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
在Rt△FEG中，EG＝BG﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FG＝4，
∴EF＝＝2．

【变式1】（2019春•河池期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝　　．

【答案】3
【解答】解：设点B落在AC上的E点处，连接DE，如图所示，
∵△ABC为直角三角形，AB＝6，BC＝8，
∴根据勾股定理得：AC＝＝10，
设BD＝x，由折叠可知：DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，
可得：CE＝AC﹣AE＝10﹣6＝4，CD＝BC﹣BD＝8﹣x，
在Rt△CDE中，
根据勾股定理得：（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
则BD＝3．
故答案为：3．


【变式2】（2019春•鄂城区期末）如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，则EF与AF的比值为（　　）

A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：连接AC交EF于点O，连接FC，
由折叠得：AF＝FC，EF垂直平分AC，
设AF＝x，则DF＝16﹣x
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF2+CD2＝FC2，
即：（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝，
∴OA＝CO＝，
在Rt△FOC中，OF＝，
EF＝2OF＝，
∴，
故选：B．

【例4】（2021秋•宣化区期末）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

【答案】12m
【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
∴x2+52＝（x+1）2
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m．
【变式1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）

【答案】芦苇长13尺，水深12尺
【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺，水深12尺．

【变式2】（2016秋•东台市期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？

【答案】树高为7.5米．
【解答】解：设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
在直角△ACD中，AD为斜边，
则CD2+AC2＝AD2，
即（5+x）2+102＝（15﹣x）2
解得 x＝2.5，
故树高CD＝BC+BD＝5米+2.5米＝7.5米，
答：树高为7.5米．





















【课后巩固】
1.（2019秋•襄汾县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，

过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝5，
即点D到AB的距离为5，
故选：C．
2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）

A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
【答案】C
【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
【答案】B
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：B．

4．（2021秋•晋中期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】A
【解答】解：设AE＝x，由折叠可知：ED＝BE＝9﹣x，
∵在Rt△ABE中，32+x2＝（9﹣x）2
∴x＝4，
∴S△ABE＝AE•AB＝×3×4＝6（cm2）
故选：A．
5．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求BC的长；
（2）求AE的长；
（3）求BD的长

【答案】（1） BC=6 （2） AE=4 （3）BD=3
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6；
（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；
（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
所以，CD＝DE＝3，
在Rt△BCD中，BD＝＝3．
6．（2019秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．

【答案】（1）PB＝PC （2）AB＝10
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵BH，CM为△ABC的高，
∴∠BMC＝∠CHB＝90°．
∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．
∴∠BCM＝∠CBH．
∴PB＝PC．
（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，
∴PC＝5．
∵PH＝3，∠CHB＝90°，
∴CH＝4．
设AB＝x，则AH＝x﹣4．
在Rt△ABH中，
∵AH 2+BH 2＝AB 2，
∴（x﹣4） 2+（5+3） 2＝x 2．
∴x＝10．
即AB＝10．
7．（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．

【答案】CB为3米
【解答】解：由题意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（8﹣x）米，
∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，
即：x2+16＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
8．（2021秋•法库县期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．

【答案】（1） △HBC是直角三角形且∠CHB＝90° （2）AC的长为千米
【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝42+32＝25，
BC2＝25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
∴x2＝（x﹣3）2+42
解这个方程，得x＝，
答：原来的路线AC的长为千米．
9．（2021秋•济阳区期末）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2米．当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．

【答案】8米
【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+2）米，
根据勾股定理可得：x2+62＝（x+2）2，
解得，x＝8．
答：旗杆的高度为8米．
10.（2021秋•江阴市期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．

【答案】14.5尺
【解答】解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．