专题2.9 期末达标检测卷（二）-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

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2022-2023学年八年级数学上学期期末达标检测卷（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋•永吉县期末）下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2．（3分）（2020春•阳谷县期末）如图是丁丁画的一张脸的示意图，如果用（0，2）表示靠左边的眼睛，用（2，2）表示靠右边的眼睛，那么嘴的位置可以表示成（　　）

A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【分析】根据左右的眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标．
【解答】解：如图，
嘴的位置可以表示为（1，0）．
故选：A．

【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
3．（3分）（2020•上城区期末）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
4．（3分）（2020•江干区期末）设x，y，z是实数，则下列结论正确的是（　　）
A．若x＞y，则xz≠yz B．若x4z＜y3z，则3x≠4y
C．若x＜y，则xz＜yz D．若x＞y，则x+z＞y﹣z
【分析】根据不等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、当z＝0时，xz＝yz，故本选项错误；
B、若x4z＜y3z，则3x≠4y，故本选项正确；
C、当z是负数时，xz＞yz，故本选项错误；
D、不知道z是正数还是负数，不能判断x+z与y﹣z的大小，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（3分）（2020春•孝义市期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用函数定义解答即可．
【解答】解：A、y是x的函数，故此选项不合题意；
B、y是x的函数，故此选项不合题意；
C、y不是x的函数，故此选项符合题意；
D、y是x的函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握注意对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
6．（3分）（2020•锦州期末）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．
7．（3分）能说明命题“当n为自然数时，2n≥n2”是假命题的反例是（　　）
A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4
【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：当n＝3时，23＝8，32＝9，
∵8＜9，
∴23＜32，
∴命题“当n为自然数时，2n≥n2”是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．（3分）（2020春•文水县期末）已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝1：1：2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．b2＝a2+c2
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵（2）2＝12+12，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
9．（3分）（2020春•阿城区期末）如图所示是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6，BC＝8，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．254
【分析】由折叠的性质得出AD＝BD，设AD＝x，则CD＝8﹣x，可得出62+（8﹣x）2＝x2，解得x=254．则可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD＝BD，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2＝AD2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x=254．
∴AD=254．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
10．（3分）（2019秋•余姚市期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，且∠ADC的度数为（5x﹣20）°，则x的值可能是（　　）

A．10 B．20 C．30 D．40
【分析】根据等边三角形的性质列出有关x的不等式后求得x的取值范围即可确定正确的选项．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，∠ADC的度数为（5x﹣20）°，
∴60≤5x﹣20≤120，
解得：16≤x≤28，
∴只有20适合，
故选：B．
【点睛】考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据题意确定5x﹣20的取值范围．
11．（3分）（2020•日照期末）如图，小明、小亮分别从甲地到乙地再返回的路程时间图，已知小亮比小明晚走5分钟，下列说法：①甲、乙两地相距3000米；②小明中间休息了12分钟；③小亮从乙地返回用了22.5分钟；④小明从乙地返回的速度是200米每分钟．正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲、乙两地相距3000米，故①正确；
小明中间休息了22﹣10＝12分钟，故②正确；
设小亮返回时对应的函数解析式为y＝kx+b，
25k+b=300040k+b=1000，得k=-4003b=190003，
即小亮返回时对应的函数解析式为y=-4003x+190003，
当y＝0时，0=-4003x+190003，得x＝47.5，
则小亮从乙地返回用了47.5﹣25＝22.5（分钟），故③正确；
小明从乙地返回的速度是3000÷（45﹣30）＝200米/分钟，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）（2019秋•余姚市期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形ACE，AC＝a．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD＝b，FB＝FD=56b，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．a=43b B．a=65b C．a=53b D．a=2b
【分析】过点F作FH⊥AD于点H．过点E作EG⊥AD于G，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG和FH，然后设BC＝x，分别表示出△CDE与△ABF的面积，再将二者相减得到关于x的代数式，因为x变化时，S不变，所以x的系数为0，则可得到a与b的关系式．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G

∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝a
∴EG=12AC=a2
∵BD＝b，FB＝FD=56b，FH⊥AD
∴BH=12BD=b2
在Rt△BHF中
FH=BF2-BH2=(56b)2-(b2)2=23b
设BC＝x
则S△ABF=12AB•FH=12（a﹣x）×23b
S△CDE=12CD•EG=12（b﹣x）×a2
∴S△CDE﹣S△ABF=12（b﹣x）×a2-12（a﹣x）×23b
＝（b3-a4）x-ab12
∵当BC的长度变化时，S始终保持不变
∴b3-a4=0
∴a=43b
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2020春•梁溪区期末）写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：　两个锐角互余的三角形是直角三角形　．
【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．
【解答】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
14．（3分）（2020春•商水县期末）x的13与x的2倍的和是非正数，用不等式表示为　13x+2x≤0　．
【分析】直接根据已知表示出x的13和x的2倍，进而得出结合非正数的定义得出答案．
【解答】解：由题意可得：13x+2x≤0．
故答案为：13x+2x≤0．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
15．（3分）（2020春•郁南县期末）一次函数y＝ax+b交x轴于点（﹣5，0），则关于x的方程ax+b＝0的解是　x＝﹣5　．
【分析】令一次函数的y值为0，此时一次函数可转化为所求的方程；因此函数与x轴的交点横坐标，即为所求方程的解．
【解答】解：由题意可知：当x＝﹣5时，函数值为0；
因此当x＝﹣5时，ax+b＝0，
即方程ax+b＝0的解为：x＝﹣5．
故答案是：x＝﹣5．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确理解一次函数与一元一次方程的关系是解决本题的关键．
16．（3分）（2020春•沙坪坝区期末）如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，点D在OB上，DH⊥OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为　127　．

【分析】作PE⊥OB，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PM＝3，
S△ODP=12×OP×DH=12×OD×PE，
∴12×7×DH=12×4×3，
解得，DH=127，
故答案为：127．

【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（3分）（2019秋•余姚市期末）如图，已知直线y＝﹣x+10与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为线段AB的中点，点D在直线y=34x上，连结BD，CD．当∠ODB＝90°时，CD的长为　2　．

【分析】根据题意，可以求得点D和点C的坐标，再根据勾股定理即可得到CD的长度，本题得以解决．
【解答】解：作DE⊥OB于点E，
设点D为（4a，3a），则DE＝4a，OE＝3a，BE＝10﹣3a，
∵DE2+BE2＝BD2，OB2﹣OD2＝BD2，OD＝5a，
∴（4a）2+（10﹣3a）2＝102﹣（5a）2
∴a1=65，a2＝0（舍去），
∴点D的坐标为(245，185)，
又∵直线y＝﹣x+10与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为线段AB的中点，
∴点A（10，0），点B（0，10），
∴点C为（5，5），
∴CD=(5-245)2+(5-185)2=2，
故答案为：2．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
18．（3分）（2019秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为　7或17　．

【分析】分两种情况：①当点D在AF上时；②当点D在BF上时；进行讨论即可求解．
【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，
∴AF＝12，
∴CF=AC2-AF2=5，
①如图1，当点D在AF上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠EDC＝（360°﹣90°）÷2＝135°．
∴∠CDF＝45°．
∴CF＝DF．
∴AD＝AF﹣DF＝AF﹣CF＝12﹣5＝7．
②如图2，当点D在BF上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠CDF＝45°．
∴CF＝DF．
∴AD＝AF+DF＝AF+CF＝12+5＝17．


【点睛】主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2020•南开区校级期末）解不等式组．2x+5≤3(x+2)2x-1+3x2＜1，把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x-1+3x2＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）（2020春•灯塔市期末）尺规作图题：
已知：∠α、∠β，线段a．
求作：△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝a．
（注：不写作法，保留作图痕迹）

【分析】作射线BD，在射线BD上截取BC，使得BC＝a，在线段BC的上方作∠EBC＝α，∠FCB＝β，射线BE交射线CF于A，△ABC即为所求．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．

【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．（6分）（2020春•雨花区期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．

【分析】（1）由HL可证明△ABH≌△DEG；
（2）证明△ABC≌△DEF（AAS）．得出BC＝EF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵BH=EGAH=DG，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵∠ABC=∠DEF=90°∠C=∠FAB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）（2019秋•余姚市期末）如图，在直角坐标系中，长方形ABCD的三个顶点的坐标为A（1，1），B（6，1），D（1，4），且AB∥x轴，点P（a，b﹣2）是长方形内一点（不含边界）．
（1）求a，b的取值范围．
（2）若将点P向左移动8个单位，再向上移动2个单位到点Q，若点Q恰好与点C关于y轴对称，求a，b的值．

【分析】（1）根据已知条件列不等式即可得到结论；
（2）由题意可得，点Q的坐标为（a﹣8，b），根据关于y轴对称的点的特征即可得到结论．
【解答】解：（1）∵A（1，1），B（6，1），D（1，4），且P（a，b﹣2）是长方形ABCD内一点，
∴1＜a＜6，1＜b﹣2＜4．
∴3＜b＜6；

（2）由题意可得，点Q的坐标为（a﹣8，b）．
∵点Q（a﹣8，b）与点C（6，4）关于y轴对称，
∴a﹣8+6＝0，b＝4．
∴a＝2．
∴a＝2，b＝4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的变化﹣平移，正确的识别图形是解题的关键．
23．（8分）（2020秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，BM⊥AC，垂足为M．N为AB上的一点，D为BC的中点，DN=12BC．
（1）求证CN⊥AB．
（2）若∠A＝55°，则∠MDN＝　70　°．

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BD＝CD＝DM=12BC，求得DM＝DN＝BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，于是得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠BNC＝∠BMC＝90°，根据直角三角形的性质得到DN＝BD，DM＝CD，由等腰三角形的性质得到∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，根据四边形的内角和等于360°即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BM⊥AC，点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝DM=12BC，
∵DN=12BC，
∴DM＝DN＝BD＝CD，
∴∠DBN＝∠BND，∠DNC＝∠DCN，
∵∠NBD+∠BNC+∠NCD＝180°，
∴2∠BND+2∠CND＝180°，
∴∠BND+∠CND＝90°，
即∠CNB＝90°，
∴CN⊥AB；
（2）解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴DN＝BD，DM＝CD，
∴∠BND＝∠NBD，∠DMC＝∠MCD，
∴∠BND+∠DMC＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝125°，
∴∠AND+∠AMD＝360°﹣125°＝235°，
∴∠MDN＝360°﹣∠A﹣∠AND﹣∠AMD＝70°，
故答案为：70．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，正确识别图形是解题的关键．
24．（10分）（2020春•成华区期末）随着网络电商与快递行业的飞速发展，叠加疫情影响，越来越多的人选择网络购物．在暑期来临之际，天猫超市为了促销，推出了普通会员与VIP会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购商品的金额不超过300元，客户还需支付快递费20元；如果所购商品的金额超过300元，则所购商品给予8折优惠，并免除20元的快递费，VIP会员的收费方式是：缴纳VIP会员费50元，所购商品给予7.5折优惠，并免除20元的快递费．
（1）请分别写出按普通会员、VIP会员购买商品应付的金额y（元）与所购商品的金额x（元）之间的函数关系式；
（2）某网民计划在促销活动期间在天猫超市购买x（x＞300）元的商品，则他应该选择哪种购买方式比较合算？
【分析】（1）根据两种购买方式的优惠方案，可找出y与x之间的函数关系式；
（2）分0.8x＜0.75x+50，0.8x＝0.75x+50及0.8x＞0.75x+50三种情况，求出x的取值范围或x值，进而可得出结论．
【解答】解：（1）按普通会员购买商品应付的金额y=x+20(0＜x≤300)0.8x(x＞300)；
按VIP会员购买商品应付的金额y＝0.75x+50．
（2）当0.8x＜0.75x+50时，x＜1000；
当0.8x＝0.75x+50时，x＝1000；
当0.8x＞0.75x+50时，x＞1000．
答：当300＜x＜1000时，选择按普通会员购买比较合算；当x＝1000时，选择两种方式所需费用相同；当x＞1000时，选择按VIP会员购买比较合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）分0.8x＜0.75x+50，0.8x＝0.75x+50及0.8x＞0.75x+50三种情况，分别求出x的取值范围或x的值．
25．（10分）（2019秋•余姚市期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是边BC上一动点，连结AE，取AE的中点F，连结BF．小梦根据学习函数的经验，对△ADE的面积与BE的长度之间的关系进行了探究：
（1）设BE的长度为x，△ADE的面积y1，通过取BC边上的不同位置的点E，经分析和计算，得到了y1与x的几组值，如下表：
x
0
1
2
3
4
5
6
y1
3
a
1
0
b
2
3
根据上表可知，a＝　2　，b＝　1　．
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象．

（3）在（1）的条件下，令△BEF的面积为y2．
①用x的代数式表示y2．
②结合函数图象．解决问题：当y1＜y2时，x的取值范围为　2＜x＜6　．

【分析】（1）根据表格数据即可求出a和b的值；
（2）根据表格数据在平面直角坐标系xOy中，即可画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）在（1）的条件下，令△BEF的面积为y2．
①即可用x的代数式表示y2．
②结合函数图象．即可得当y1＜y2时，x的取值范围．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
a＝2，b＝1．
故答案为：2，1．
（2）如图所示，即为所求作的函数图象；

（3）①由题意可得在△ABC，边BC上的高为2．
∴S△ABE=12x⋅2=x．
∴y2=12S△ABE=12x．
②根据函数图象可知：
当y1＜y2时，x的取值范围为：2＜x＜6．
故答案为：2＜x＜6．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意准确画图．
26．（12分）（2019秋•余姚市期末）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在△ABC中，若AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2，则△ABC是“和谐三角形”．
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是　真　命题（填“真”或“假”）．
（2）若Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若△ABC是“和谐三角形”，求a：b：c．
（3）如图2，在等边三角形ABC的边AC，BC上各取一点D，E，且AD＜CD，AE，BD相交于点F，BG是△BEF的高，若△BGF是“和谐三角形”，且BG＞FG．

①求证：AD＝CE．
②连结CG，若∠GCB＝∠ABD，那么线段AG，FE，CD能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、“和谐三角形”的定义判断；
（2）根据勾股定理得到a2+b2＝c2，分三种情况，根据“和谐三角形”的定义解答；
（3）①根据“和谐三角形”的定义得到∠BFG＝60°，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论；
②证明△ABF≌△CAG，得到AG＝BF，设FG＝x，EG＝y，分别用x、y表示出AG2、EF2、CD2，根据“和谐三角形”的定义判断即可．
【解答】解：（1）当△ABC为等边三角形时，AB＝AC＝BC，
∴AB2+AC2﹣AB•AC＝BC2+BC2﹣BC•BC＝BC2，
∴等边三角形一定是“和谐三角形”，
故答案为：真；
（2）∵∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∴a2+b2＝c2，
当a2+b2﹣ab＝c2时，则﹣ab＝0（舍去）；
当a2+c2﹣ac＝b2时，则a2+c2﹣ac＝c2﹣a2，
∴ac＝2a2，
∴c＝2a．
∴a：b：c＝1：3：2；
当b2+c2﹣bc＝a2时，则b2+c2﹣bc＝c2﹣b2，
∴bc＝2b2，得c＝2b．
∴a：b：c=3：1：2；（舍去），
综上可知，△ABC是“和谐三角形”时，a：b：c＝1：3：2；
（3）①∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵BG是△BEF的高，△BGF是“和谐三角形”，
∴FG：BG：BF＝1：3：2，
∴∠BFG＝60°，
∴FAB+∠FBA＝∠BFG＝60°，
∵∠FAB+∠EAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FBA＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
∠BAD=∠ACEBA=AC∠DBA=∠EAC，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD＝CE；
②∵∠GCB＝∠ABD，AB＝AC，
∴∠FAB＝60°﹣∠ABD＝60°﹣∠GCB＝∠ACG，
在△ABF和△CAG中，
∠FAB=∠GCAAB=CA∠ABF=∠CAG，
∴△ABF≌△CAG（ASA）
∴AG＝BF，
∵AB＝BC，AD＝CE，
∴BE＝CD，
设FG＝x，EG＝y，则BG=3x，BF＝2x，
∴AG2＝BF2＝4x2，EF2＝（x+y）2＝x2+2xy+y2，CD2＝（3x）2+y2＝3x2+y2，
∴AG2+EF2﹣AG•EF＝4x2+x2+2xy+y2﹣2x（x+y）＝3x2+y2，
∴AG2+EF2﹣AG•EF＝CD2，
∴线段AG，FE，CD能组成一个和谐三角形．

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、“和谐三角形”的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．