浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题6.8 期末真题重组培优卷（学生版+教师版）

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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·辽宁·本溪满族自治县教师进修学校七年级期末）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点
【答案】D
【分析】到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，据此到三角形三条边的距离都相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，
∴三角形的角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，即到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选∶ D．
【点睛】该题考查的是角平分线的判定，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，熟练掌握三角形的角平分线的性质是解题的关键．
2．（3分）（2022·四川遂宁·八年级期末）一次函数的图象不经过第三象限，则a的取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依据一次函数y=（a+1）x+a+3的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围．
【详解】解：根据题意，得，
解得-3≤a＜-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数y=kx+b（k≠0），k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
3．（3分）（2022·山东威海·八年级期末）若实数，满足，且，恰好是等腰的两条边的长，则的周长是（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可
【详解】解： ，
m-2=0，n-4=0，
∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10
故选C
【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键
4．（3分）（2022·内蒙古·满洲里市第二中学八年级期末）下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7、23、25B．3、4、5C．、2、D．0.5、1.2、1.3
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证每组数中的两个较小的数的平方和等于最大的边的平方，即可构成直角三角形即可解答．
【详解】解：A、，故不能构成直角三角形；
B、，故能构成直角三角形；
C、 ，故能构成直角三角形；
D、 能构成直角三角形．
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．两个较小的数的平方和等于最大的边的平方即可构为直角三角形．
5．（3分）（2022·江苏·八年级专题练习）下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A．B．C．D
【答案】A
【分析】根据每个一次函数及正比例函数的图像依次分析a及b的符号，然后再确定其所在的象限即可解答．
【详解】解：A、一次函数中a<0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项符合题意；
B、一次函数中a＞0，b＜0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
C、一次函数中a>0，b>0，正比例函数y=abx中ab<0，故该项不符合题意；
D、一次函数中a＜0，b＞0，正比例函数y=abx中ab>0，故该项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的图像，熟记一次函数与正比例函数图像与各字母系数的关系是解题的关键．
6．（3分）（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室八年级期末）如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有且只有3个整数解，整数解为：0，1，2，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于m的不等式组．
7．（3分）（2022·河南安阳·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（－2，－2），B（4，－2），C（4，2），D（－2，2），一蚂蚁从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A…循环爬行，问第2022秒蚂蚁在（ ）处
A．（－2，－2）B．（2，－2）C．（0，－2）D．（－2，0）
【答案】B
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2022秒爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】解：A（﹣2，﹣2），B（4，﹣2），C（4，2），D（﹣2，2），
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
蚂蚁转一周，需要的时间是（秒），
，
按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2022秒相当于从A点出发爬了2秒，路程是：个单位，，所以在AB上，且距离B点2个单位处，即蚂蚁的坐标为，故B正确．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2022秒蚂蚁爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
8．（3分）（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接AP，根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质，即可得到，，得出，再根据三角形的内角和定理得到，得到，根据等腰三角形的性质即可求出的度数．
【详解】解：连接AP，如图所示，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上性质并找出角度之间的关系是解本题的关键．
9．（3分）（2022·江苏·灌南县实验中学八年级期末）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105°B．100°C．110°D．115°
【答案】B
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，
∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，
∴∠BFC=60°+40°=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．
10．（3分）（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG＝CH，GE＝HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC＝60°，就可以得出GH∥AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根据∠AFD＝∠EAB+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，进而得出结论．
【详解】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC．
在△CEG和△CBH中，
，
∴△CEG≌△CBH（ASA），
∴CG＝CH，GE＝HB，
∴△CGH为等边三角形，
∴∠GHC＝60°，
∴∠GHC＝∠BCH，
∴GH∥AB．
∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD，
∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°．
∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60°
∴∠DCH≠∠DHC，
∴CD≠DH，
∴AD≠DH．
综上所述，正确的有：①②④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级阶段练习）如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点落在的中点处，折痕为，那么的长为 __．
【答案】##
【分析】过点A作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，利用三角函数求出，设，则，在中，勾股定理得，代入数值求出x即可．
【详解】解：过点A作于点，过点作于点，
，
，，
点为的中点，，
，
∵，，
∴，
，
由翻折可得，
设，则，
在中，，
即，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，翻折的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
12．（3分）（2022·河南商丘·七年级期末）已知方程组的解满足，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先将方程组的两个方程相加可得出的值，再根据可得一个关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得．
【详解】，
两个方程相加得：，
整理得：，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，观察方程组中的两个方程，正确求出的值是解题关键．
13．（3分）（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）已知直线y=x+3的图象与x，y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB 的面积分成2：1的两部分，则直线l的解析式为_________．
【答案】或
【分析】根据直线的解析式可求出、两点的坐标，（1）当直线把的面积分为时，作于，于，可分别求出与的面积，再根据其面积公式可求出两直线交点的坐标，从而求出其解析式；（2）当直线把的面积分为时，同（1）．
【详解】解：由直线的解析式可求得、，
如图（1），当直线把的面积分为时，
作于，于，则，则，
，即
，同理，解得．
，
直线的解析式为；
如图（2），当直线把的面积分为时
同理求得，
直线的解析式为．
【点睛】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，涉及到三角形的面积公式及分类讨论的方法．
14．（3分）（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．
【答案】
【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≅∆ AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，
∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠DCA=∠EAB，
又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，
∴∆CDA≅∆ AEB（AAS），
∴BE=AD，
∵，
∴AD=BE=OA=5，
作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′=DA=5，AC=A′C，
∴=OC+A′C，
∵在∆COA′中，OC+A′C≥OA′，
∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=，
∴最小值=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称求线段和的最小值问题，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
15．（3分）（2022·江苏淮安·七年级期末）在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为_________．
【答案】2
【分析】连接，，，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算，得到，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中线，是的中线，
∴，，
∴；
同理可得；；
∴ ，
∵ ，，
∴，解得，
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
16．（3分）（2022·广东揭阳·七年级期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为_____．
【答案】18或70
【分析】设BE=3t，则BF=7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况：情况一：当BE=AG，BF=AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE=AE，BF=AG时，列方程解得t，可得AG．
【详解】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70．
故答案为：18或70．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
三．解答题（共9小题，满分52分）
17．（6分）（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集为﹣3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上见解析，整数解为﹣2、﹣1、0、1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得其整数解．
【详解】解：解不等式2（x+8）≤10﹣4（x﹣3），得：x≤1，
解不等式，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）为降低空气污染，漯河市公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车，计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元.
(1)求a、b的值：
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你利用方程组或不等式组设计一个总费用最少的方案，并说明总费用最少的理由.
【答案】(1)a=100，b=150
(2)A型公交车8辆，B型公交车2辆
【分析】（1）根据表格中条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意设购买A型公交车x辆，则B型公交车辆，可列出对应的一元一次不等式组，解得，可知x取值为：6、7、8，分别对三种情况求值比较即可．
【详解】（1）解：由题意列方程组为：，
解得：；
（2）总费用最少的方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，理由如下，
设购买A型公交车x辆，则B型公交车辆，
根据题意列不等式组为：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x取值为：6、7、8，
当时，购买总费用为：（万元），
当时，购买总费用为：（万元），
当时，购买总费用为：（万元），
即时，费用最少，此时，
答：总费用最少的方案为：购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【点睛】本题要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，关键在于找到对应的 等量关系，列出正确的方程组，同时也要注意本题需要对多种情况进行求值比较．
19．（6分）（2022·河南·清丰巩营乡二中八年级期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点A，B，点M(n，0)为轴上一点．
(1)当时，求直线BM的解析式．
(2)当△ABM的面积为12时，求点M的坐标
(3)当时，直接写出以M，A，B三点组成的图形为轴对称图形时，M点坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求出点的坐标，结合的坐标利用待定系数法求BM的解析式即可；
（2）利用，进行计算即可；
（3）根据是轴对称图形，可知是等腰三角形，根据即可求出M点坐标．
（1）
解：直线分别交x轴、y轴于点A，B，
，
设直线BM的解析式为，
，
，解得，
直线BM的解析式为；
（2）
解：，
，
，
，
或；
（3）
解：∵是轴对称图形，
∴为等腰三角形，
∵，
∴点在原点的同侧，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合应用．熟练掌握一次函数的性质，坐标系下的点组成的图形的相关计算是解题的关键．
20．（8分）（2022·甘肃天水·八年级期末）近几年在国家政策的大力扶持及我市果农辛苦努力之下“天水大樱桃”闻名全国，今年又是樱桃大丰收年，一果农带若干千克自产的大樱桃在市场出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又降价出售，售出的樱桃千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题．
(1)该果农自带的零钱是多少?
(2)试求降价前y与x之间的函数关系式．
(3)由表达式求出降价前每千克的樱桃价格是多少?
(4)降价后他按每千克20元将剩余樱桃售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是1350元，试问他一共带了多少千克樱桃？
【答案】(1)50元
(2)
(3)30元/千克
(4)50千克
【分析】（1）根据函数图象可以得到果农自带的零钱是多少；
（2）设y=kx+b，将（0，50）和（30，950）代入，联立方程组求解即可；
（3）根据表达式可得，每售出1千克，手中持有的钱数增加30元即可解答；
（4）先求出降价后的收入，根据数量=总价÷单价求出降价后售出的樱桃千克数，再加上降价前售出的樱桃千克数即可．
【详解】（1）由图可知，果农自带的零钱是50元；
（2）设y=kx+b，将（0，50）和（30，950）代入，
可得
解得：，
∴；
（3）降价前y与x之间的函数关系式为：，
x每增加1，y增加30，
即每售出1千克，手中持有的钱数增加30元，
∴降价前每千克的樱桃价格是30元；
（4）降价后的樱桃收入：（1350-950）=400元，
400÷20=20（千克）
20+30=50（千克）
∴他一共带了50千克樱桃．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
21．（8分）（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校八年级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=10厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上以4厘米/秒由点A出发向C点运动．设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示第t秒时，BP=________厘米，CQ=________厘米．
(2)如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CPQ是否全等？请说明理由．
(3)如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过几秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形？
【答案】(1)2t，(12－4t)
(2)△BPD与△CPQ全等，理由见解析
(3)经过1秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形
【分析】（1）根据路程＝速度×时间列式即可；
（2）当t＝2时，求出BP＝2t＝4，CQ＝12−4t＝4，PC＝10－4＝6，BD＝＝6，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得出10−2t＝12−4t，解方程即可得出答案．
（1）
解：由题意得，BP＝2t厘米，CQ＝（12−4t）厘米，
故答案为：2t，（12−4t）；
（2）
△BPD与△CPQ全等，
理由：当t＝2时，BP＝2t＝4，CQ＝12−4t＝4，PC＝10－4＝6，BD＝＝6，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）
当△CPQ是以PQ为底的等腰三角形时，有CP＝CQ，
∴10−2t＝12−4t，
解得：t＝1，
即经过1秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．
【点睛】此题考查了列代数式，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，主要运用了路程＝速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
22．（10分）（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在△ADE中，作AD边的垂直平分线MN，AE边的垂直平分线GH，分别交DE于点B，C．连接AB，AC．
(1)依题意补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠BAC＝80°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)130°
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到BA=BD，CA=CE，则∠BAD=∠D，∠CAE=∠E，再利用三角形外角性质得到∠ABC=2∠BAD，∠ACB=2∠CAE，接着利用三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=100°，则∠BAD+∠CAE=50°，然后计算∠BAD+∠CAE+∠BAC即可．
（1）
如图，
（2）
∵MN垂直平分AD，GH垂直平分AE，
∴BA=BD，CA=CE，
∴∠BAD=∠D，∠CAE=∠E，
∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD，∠ACB=∠E+∠CAE=2∠CAE，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
即2∠BAD+2∠CAE=100°，
∴∠BAD+∠CAE=50°，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE+∠BAC=50°+80°=130°．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
23．（10分）（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，是斜边上任一点，于，交的延长线于，于，交于．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义及各角之间的关系得出，然后利用全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的定义得出，，结合图形得出，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）∵等腰直角三角形
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）是等腰直角三角形，，
，．
，，
．
，，
．
在和中，
，
．
．
【点睛】本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
24．（10分）（2022·湖北武汉·八年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，，，，其中m、n满足．
(1)直接写出的形状；
(2)如图②，设点D是线段OB上一点，过点O作于E，过点B作于F．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）如图③，延长BF交OA于点M，若BM平分，求的值．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)（ⅰ）证明解解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用二次根式，被开方数大于等于0，得到：，从而求出，分别求出三边长度，再进行判断即可；
（2）（ⅰ）证明，即可得证；（ⅱ）如图，取的中点，连接，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到：，利用角平分线和外角的性质，得到：为等腰直角三角形，进而得到：，即可得解．
【详解】（1）解：，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）（ⅰ）证明：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（ⅱ）解：如图，取的中点，连接．
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零，以及全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
25．（10分）（2022·四川成都·八年级期末）（1）如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点O．求证：OA=2DO；
（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE，∠BGF=60°，GF交CE所在直线于点F．求证：GB=GF．
（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作∠BGF=60°边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG、OF、OA三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3），理由见解答．
【分析】（1）由等边三角形的可求得：，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）理由证明即可证明结论；
（3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性．
【详解】证明：（1）为等边三角形，
，，
，，
平分，平分，
，
，
在中，，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
连接，在上截取，连接，
，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的而拍的与性质，含角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键． A型
B型
价格（万元/辆）
a
b
年均载客量（万人/年/辆）
60
100