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专题06 三角函数与解三角形选择填空题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国理科）
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大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）
专题06三角函数与解三角形选择填空题
真题汇总命题趋势
1．【2022年全国甲卷理科08】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（ ）
A．11−332 B．11−432 C．9−332 D．9−432
【答案】B
【解析】
解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=3，故CD=2−3，
所以s=AB+CD2OA=2+2−322=11−432.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷理科11】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136 B．53,196 C．136,83 D．136,196
【答案】C
【解析】
解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈π3,3π的图象如下所示：
则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈136,83．
故选：C．
3．【2022年新高考1卷06】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3
【答案】A
【解析】
由函数的最小正周期T满足2π3
所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，
所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.
故选：A
4．【2022年新高考2卷06】若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α−β)=1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1 D．tan(α+β)=−1
【答案】C
【解析】
由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,
即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，
即：sinα−β+cosα−β=0,
所以tanα−β=−1,
故选：C
5．【2021年全国甲卷理科9】若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（ ）
A．1515 B．55 C．53 D．153
【答案】A
∵tan2α=cosα2−sinα
∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，
∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin2α=12−sinα，解得sinα=14，
∴cosα=1−sin2α=154，∴tanα=sinαcosα=1515.
故选：A.
6．【2021年新高考1卷4】下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是（ ）
A．(0,π2) B．(π2,π) C．(π,3π2) D．(3π2,2π)
【答案】A
因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，
对于函数f(x)=7sin(x−π6)，由2kπ−π2
则(0,π2)⊆(−π3,2π3)，(π2,π)⊄(−π3,2π3)，A选项满足条件，B不满足条件；
取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π3,8π3)，
(π,3π2)⊄(−π3,2π3)且(π,3π2)⊄(5π3,8π3)，(3π2,2π)⊄(5π3,8π3)，CD选项均不满足条件.
故选：A.
7．【2021年新高考1卷6】若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）
A．−65 B．−25 C．25 D．65
【答案】C
将式子进行齐次化处理得：
sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)
=sinθ(sinθ+cosθ)sin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25．
故选：C．
8．【2021年全国乙卷理科7】把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=（ ）
A．sin(x2−7x12) B．sin(x2+π12)
C．sin(2x−7π12) D．sin(2x+π12)
【答案】B
解法一：函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y=f[2(x−π3)]的图象，
根据已知得到了函数y=sin(x−π4)的图象，所以f[2(x−π3)]=sin(x−π4)，
令t=2(x−π3),则x=t2+π3,x−π4=t2+π12,
所以f(t)=sin(t2+π12),所以f(x)=sin(x2+π12)；
解法二：由已知的函数y=sin(x−π4)逆向变换，
第一步：向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3−π4)=sin(x+π12)的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(x2+π12)的图象，
即为y=f(x)的图象，所以f(x)=sin(x2+π12).
故选：B.
9．【2020年全国1卷理科07】设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．10π9 B．7π6
C．4π3 D．3π2
【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点−4π9,0，
将它代入函数fx可得：cos−4π9⋅ω+π6=0
又−4π9,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，
所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32
所以函数fx的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3
故选：C
10．【2020年全国1卷理科09】已知α ∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=（ ）
A．53 B．23
C．13 D．59
【答案】A
【解析】
3cos2α−8cosα=5，得6cos2α−8cosα−8=0，
即3cos2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），
又∵α∈(0,π),∴sinα=1−cos2α=53.
故选：A.
11．【2020年全国2卷理科02】若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
当α=−π6时，cos2α=cos−π3>0，选项B错误；
当α=−π3时，cos2α=cos−2π3<0，选项A错误；
由α在第四象限可得：sinα<0,cosα>0，则sin2α=2sinαcosα<0，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
12．【2020年全国3卷理科07】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A．19 B．13 C．12 D．23
【答案】A
【解析】
∵在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3
根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC
AB2=42+32−2×4×3×23
可得AB2=9 ，即AB=3
由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19
故cosB=19.
故选：A.
13．【2020年全国3卷理科09】已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
∵2tanθ−tanθ+π4=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，
令t=tanθ,t≠1，则2t−1+t1−t=7，整理得t2−4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2.
故选：D.
14．【2020年山东卷04】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
【答案】B
【解析】
画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l；AB是晷针所在直线. m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB⊥m..
由于∠AOC=40°,m//CD，所以∠OAG=∠AOC=40°，
由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°，
所以∠BAE=∠OAG=40°，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40°.
故选：B
15．【2019年新课标3理科12】设函数f（x）＝sin（ωx+π5）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点
③f（x）在（0，π10）单调递增
④ω的取值范围是[125，2910）
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】解：当x∈[0，2π]时，ωx+π5∈[π5，2πω+π5]，
∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴5π≤2πω+π5＜6π，
∴125≤ω＜2910，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当x∈（0，π10）时，ωx+π5∈[π5，(ω+2)π10]，
若f（x）在（0，π10）单调递增，
则(ω+2)π10＜π2，即ω＜3，
∵125≤ω＜2910，故③正确．
故选：D．
16．【2019年全国新课标2理科09】下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|
【答案】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；
f（x）＝|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间（π4，π2）单调递增，可排除B．
故选：A．
17．【2019年全国新课标2理科10】已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）
A．15 B．55 C．33 D．255
【答案】解：∵2sin2α＝cos2α+1，
∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，
∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，
∴cosα＝2sinα，
∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，
∴解得：sinα=55．
故选：B．
18．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（π2，π）单调递增
③f（x）在[﹣π，π]有4个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，
当x∈（π2，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，
当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，
由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，
当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．
19．【2018年新课标2理科06】在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．42 B．30 C．29 D．25
【答案】解：在△ABC中，cosC2=55，cosC＝2×(55)2−1=−35，
BC＝1，AC＝5，则AB=BC2+AC2−2BC⋅ACcosC=1+25+2×1×5×35=32=42．
故选：A．
20．【2018年新课标2理科10】若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（ ）
A．π4 B．π2 C．3π4 D．π
【答案】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）=−2sin(x−π4)，
由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[−π4，34π]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得−a≥−π4a≤3π4，∴a≤π4．
则a的最大值是π4．
故选：A．
21．【2018年新课标3理科04】若sinα=13，则cos2α＝（ ）
A．89 B．79 C．−79 D．−89
【答案】解：∵sinα=13，
∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×19=79．
故选：B．
22．【2018年新课标3理科09】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C＝（ ）
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
【答案】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为a2+b2−c24，
∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，
∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，
∵0＜C＜π，∴C=π4．
故选：C．
23．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+2π3），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
【答案】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y＝cos2（x+π12）＝cos（2x+π6）＝sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，
故选：D．
24．【2017年新课标3理科06】设函数f（x）＝cos（x+π3），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x=8π3对称
C．f（x+π）的一个零点为x=π6
D．f（x）在（π2，π）单调递减
【答案】解：A．函数的周期为2kπ，当k＝﹣1时，周期T＝﹣2π，故A正确，
B．当x=8π3时，cos（x+π3）＝cos（8π3+π3）＝cos9π3=cos3π＝﹣1为最小值，此时y＝f（x）的图象关于直线x=8π3对称，故B正确，
C当x=π6时，f（π6+π）＝cos（π6+π+π3）＝cos3π2=0，则f（x+π）的一个零点为x=π6，故C正确，
D．当π2＜x＜π时，5π6＜x+π3＜4π3，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，
故选：D．
25．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π2），x=−π4为f（x）的零点，x=π4为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】解：∵x=−π4为f（x）的零点，x=π4为y＝f（x）图象的对称轴，
∴2n+14⋅T=π2，即2n+14⋅2πω=π2，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（π18，5π36）上单调，则5π36−π18=π12≤T2，
即T=2πω≥π6，解得：ω≤12，
当ω＝11时，−11π4+φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|≤π2，
∴φ=−π4，
此时f（x）在（π18，5π36）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，−9π4+φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|≤π2，
∴φ=π4，
此时f（x）在（π18，5π36）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B．
26．【2016年新课标2理科07】若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=kπ2−π6（k∈Z） B．x=kπ2+π6（k∈Z）
C．x=kπ2−π12（k∈Z） D．x=kπ2+π12（k∈Z）
【答案】解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝2sin2（x+π12）＝2sin（2x+π6），
由2x+π6=kπ+π2（k∈Z）得：x=kπ2+π6（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6（k∈Z），
故选：B．
27．【2016年新课标2理科09】若cos（π4−α）=35，则sin2α＝（ ）
A．725 B．15 C．−15 D．−725
【答案】解：法1°：∵cos（π4−α）=35，
∴sin2α＝cos（π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，
法2°：∵cos（π4−α）=22（sinα+cosα）=35，
∴12（1+sin2α）=925，
∴sin2α＝2×925−1=−725，
故选：D．
28．【2016年新课标3理科05】若tanα=34，则cos2α+2sin2α＝（ ）
A．6425 B．4825 C．1 D．1625
【答案】解：∵tanα=34，
∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34916+1=6425．
故选：A．
29．【2016年新课标3理科08】在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于（ ）
A．31010 B．1010 C．−1010 D．−31010
【答案】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，
∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高AD＝h=13BC=13a，
∴BD＝AD=13a，CD=23a，
在Rt△ADC中，cosθ=ADAC=a3(13a)2+(2a3)2=55，故sinθ=255，
∴cosA＝cos（π4+θ）＝cosπ4cosθ﹣sinπ4sinθ=22×55−22×255=−1010．
故选：C．
30．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（ ）
A．−32 B．32 C．−12 D．12
【答案】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
＝sin20°cos10°+cos20°sin10°
＝sin30°
=12．
故选：D．
31．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ−14，kπ+34），k∈z B．（2kπ−14，2kπ+34），k∈z
C．（k−14，k+34），k∈z D．（2k−14，2k+34），k∈z
【答案】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54−14）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k∈z，即ϕ=π4，f（x）＝cos（πx+π4）．
由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，求得 2k−14≤x≤2k+34，故f（x）的单调递减区间为（2k−14，2k+34），k∈z，
故选：D．
32．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则（ ）
A．3α﹣β=π2 B．3α+β=π2 C．2α﹣β=π2 D．2α+β=π2
【答案】解：由tanα=1+sinβcosβ，得：
sinαcosα=1+sinβcosβ，
即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（π2−α），
∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），
∴当2α−β=π2时，sin（α﹣β）＝sin（π2−α）＝cosα成立．
故选：C．
33．【2014年新课标2理科04】钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC=2，则AC＝（ ）
A．5 B．5 C．2 D．1
【答案】解：∵钝角三角形ABC的面积是12，AB＝c＝1，BC＝a=2，
∴S=12acsinB=12，即sinB=22，
当B为钝角时，cosB=−1−sin2B=−22，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2+2＝5，即AC=5，
当B为锐角时，cosB=1−sin2B=22，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，
此时AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=5．
故选：B．
34．【2013年新课标2理科12】已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．(1−22，12) C．(1−22，13] D．[13，12)
【答案】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 12⋅AB⋅OC=1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（−ba，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故−ba≤0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由y=ax+bx+y=1可得点N的坐标为（1−ba+1，a+ba+1）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（12，12），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b=13．
②若点M在点O和点A之间，此时b＞13，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于12，
即12⋅MB⋅yN=12，即 12×(1+ba)⋅a+ba+1=12，可得a=b21−2b＞0，求得 b＜12，
故有13＜b＜12．
③若点M在点A的左侧，则b＜13，由点M的横坐标−ba＜−1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 y=ax+by=x+1求得点P的坐标为（1−ba−1，a−ba−1），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于12，即 12•（1﹣b）•|xN﹣xP|=12，
即12（1﹣b）•|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 2（1﹣b）=1−a2＜1，∴1﹣b＜12，化简可得 b＞1−22，
故有1−22＜b＜13．
再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 (1−22，12)，
故选：B．
解法二：当a＝0时，直线y＝ax+b（a＞0）平行于AB边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得(1−b1)2=12，b＝1−22，趋于最小．
由于a＞0，∴b＞1−22．
当a逐渐变大时，b也逐渐变大，
当b=12时，直线经过点（0，12），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜12．
综上可得，1−22＜b＜12，
故选：B．
35．【2022年新高考2卷09】已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点2π3,0中心对称，则（ ）
A．f(x)在区间0,5π12单调递减
B．f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C．直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D．直线y=32−x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AD
【解析】
由题意得：f2π3=sin4π3+φ=0，所以4π3+φ=kπ，k∈Z，
即φ=−4π3+kπ,k∈Z，
又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，故f(x)=sin2x+2π3．
对A，当x∈0,5π12时，2x+2π3∈2π3,3π2，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)在0,5π12上是单调递减；
对B，当x∈−π12,11π12时，2x+2π3∈π2,5π2，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值点，由2x+2π3=3π2，解得x=5π12，即x=5π12为函数的唯一极值点；
对C，当x=7π6时，2x+2π3=3π，f(7π6)=0，直线x=7π6不是对称轴；
对D，由y'=2cos2x+2π3=−1得：cos2x+2π3=−12，
解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,
从而得：x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,
所以函数y=f(x)在点0,32处的切线斜率为k=y'x=0=2cos2π3=−1，
切线方程为：y−32=−(x−0)即y=32−x．
故选：AD．
36．【2020年山东卷10】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．sin(x+π3） B．sin(π3−2x) C．cos(2x+π6） D．cos(5π6−2x)
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,
当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπk∈Z，
解得：φ=2kπ+23πk∈Z，
即函数的解析式为：
y=sin2x+23π+2kπ=sin2x+π6+π2=cos2x+π6=sinπ3−2x.
而cos2x+π6=−cos(5π6−2x)
故选：BC.
37．【2020年海南卷10】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．sin(x+π3） B．sin(π3−2x) C．cos(2x+π6） D．cos(5π6−2x)
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,
当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπk∈Z，
解得：φ=2kπ+23πk∈Z，
即函数的解析式为：
y=sin2x+23π+2kπ=sin2x+π6+π2=cos2x+π6=sinπ3−2x.
而cos2x+π6=−cos(5π6−2x)
故选：BC.
38．【2022年全国甲卷理科16】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．
【答案】3−1##−1+3
【解析】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1
≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1.
故答案为：3−1.
39．【2022年全国乙卷理科15】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=32，x=π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．
【答案】3
【解析】
解： 因为fx=cosωx+φ，（ω>0，0<φ<π）
所以最小正周期T=2πω，因为fT=cosω⋅2πω+φ=cos2π+φ=cosφ=32，
又0<φ<π，所以φ=π6，即fx=cosωx+π6，
又x=π9为fx的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z，解得ω=3+9k,k∈Z，
因为ω>0，所以当k=0时ωmin=3；
故答案为：3
40．【2021年全国甲卷理科16】已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为________．
【答案】2
由图可知34T=13π12−π3=3π4，即T=2πω=π，所以ω=2；
由五点法可得2×π3+φ=π2，即φ=−π6；
所以f(x)=2cos(2x−π6).
因为f(−7π4)=2cos(−11π3)=1，f(4π3)=2cos(5π2)=0；
所以由(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0可得f(x)>1或f(x)<0；
因为f(1)=2cos(2−π6)<2cos(π2−π6)=1，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<0，即cos(2x−π6)<0，
解得kπ+π3
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<0，又f(2)=2cos(4−π6)<0，符合题意，可得x的最小正整数为2.
故答案为：2.
41．【2021年全国乙卷理科15】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________．
【答案】22
由题意，S△ABC=12acsinB=34ac=3，
所以ac=4,a2+c2=12，
所以b2=a2+c2−2accosB=12−2×4×12=8，解得b=22（负值舍去）.
故答案为：22.
42．【2020年全国3卷理科16】关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=π2对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
对于命题①，fπ6=12+2=52，f−π6=−12−2=−52，则f−π6≠fπ6，
所以，函数fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数fx的定义域为xx≠kπ,k∈Z，定义域关于原点对称，
f−x=sin−x+1sin−x=−sinx−1sinx=−sinx+1sinx=−fx，
所以，函数fx的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，∵fπ2−x=sinπ2−x+1sinπ2−x=cosx+1cosx，
fπ2+x=sinπ2+x+1sinπ2+x=cosx+1cosx，则fπ2−x=fπ2+x，
所以，函数fx的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；
对于命题④，当−π
故答案为：②③.
43．【2020年山东卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】4+52π
【解析】
设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，
因为AP=5,所以∠AGP=45°，
因为BH//DG，所以∠AHO=45°，
因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，
即△OAH为等腰直角三角形；
在直角△OQD中，OQ=5−22r，DQ=7−22r，
因为tan∠ODC=OQDQ=35，所以21−322r=25−522r，
解得r=22；
等腰直角△OAH的面积为S1=12×22×22=4；
扇形AOB的面积S2=12×3π4×222=3π，
所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.
故答案为：4+5π2.
44．【2020年海南卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】4+52π
【解析】
设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，
因为AP=5,所以∠AGP=45°，
因为BH//DG，所以∠AHO=45°，
因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，
即△OAH为等腰直角三角形；
在直角△OQD中，OQ=5−22r，DQ=7−22r，
因为tan∠ODC=OQDQ=35，所以21−322r=25−522r，
解得r=22；
等腰直角△OAH的面积为S1=12×22×22=4；
扇形AOB的面积S2=12×3π4×222=3π，
所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.
故答案为：4+5π2.
45．【2019年全国新课标2理科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B=π3，则△ABC的面积为 ．
【答案】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，
∵b＝6，a＝2c，B=π3，
∴36=(2c)2+c2−4c2cosπ3，
∴c2＝12，
∴SΔABC=12acsinB=c2sinB=63，
故答案为：63．
46．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
【答案】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x
＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），
令f′（x）＝0可解得cosx=12或cosx＝﹣1，
可得此时x=π3，π或 5π3；
∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x=π3，π或 5π3和边界点x＝0中取到，
计算可得f（ π3）=332，f（π）＝0，f（ 5π3）=−332，f（0）＝0，
∴函数的最小值为−332，
故答案为：−332．
47．【2018年新课标2理科15】已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝ ．
【答案】解：sinα+cosβ＝1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，
cosα+sinβ＝0，
两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，
∴2sin（α+β）＝﹣1．
∴sin（α+β）=−12．
故答案为：−12．
48．【2018年新课标3理科15】函数f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零点个数为 ．
【答案】解：∵f（x）＝cos（3x+π6）＝0，
∴3x+π6=π2+kπ，k∈Z，
∴x=π9+13kπ，k∈Z，
当k＝0时，x=π9，
当k＝1时，x=49π，
当k＝2时，x=79π，
当k＝3时，x=109π，
∵x∈[0，π]，
∴x=π9，或x=49π，或x=79π，
故零点的个数为3，
故答案为：3
49．【2017年新课标2理科14】函数f（x）＝sin2x+3cosx−34（x∈[0，π2]）的最大值是 ．
【答案】解：f（x）＝sin2x+3cosx−34=1﹣cos2x+3cosx−34，
令cosx＝t且t∈[0，1]，
则y＝﹣t2+3t+14=−（t−32）2+1，
当t=32时，f（t）max＝1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
50．【2016年新课标2理科13】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a＝1，则b＝ ．
【答案】解：由cosA=45，cosC=513，可得
sinA=1−cos2A=1−1625=35，
sinC=1−cos2C=1−25169=1213，
sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=35×513+45×1213=6365，
由正弦定理可得b=asinBsinA
=1×636535=2113．
故答案为：2113．
51．【2016年新课标3理科14】函数y＝sinx−3cosx的图象可由函数y＝sinx+3cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到．
【答案】解：∵y＝f（x）＝sinx+3cosx＝2sin（x+π3），y＝sinx−3cosx＝2sin（x−π3），
∴f（x﹣φ）＝2sin（x+π3−φ）（φ＞0），
令2sin（x+π3−φ）＝2sin（x−π3），
则π3−φ＝2kπ−π3（k∈Z），
即φ=2π3−2kπ（k∈Z），
当k＝0时，正数φmin=2π3，
故答案为：2π3．
52．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是 ．
【答案】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，
∴设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x，CD＝m，
∵BC＝2，
∴（6+24x+m）sin15°＝1，
∴6+24x+m=6+2，
∴0＜x＜4，
而AB=6+24x+m−22x=6+2−22x，
∴AB的取值范围是（6−2，6+2）．
故答案为：（6−2，6+2）．
方法二：
如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小，为6−2；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为6+2；
故答案为：（6−2，6+2）．
53．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，
又因为：a＝2，
所以：a2−b2=c2−bc⇒b2+c2−a2=bc⇒cosA=b2+c2−a22bc=12⇒A=π3，
△ABC面积S=12bcsinA=34bc，
而b2+c2﹣a2＝bc
⇒b2+c2﹣bc＝a2
⇒b2+c2﹣bc＝4
⇒bc≤4
所以：S=12bcsinA=34bc≤3，即△ABC面积的最大值为3．
故答案为：3．
54．【2014年新课标2理科14】函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
【答案】解：函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）
＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
＝sin[（x+φ）﹣φ]＝sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
55．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝ ．
【答案】解：f（x）＝sinx﹣2cosx=5（55sinx−255cosx）=5sin（x﹣α）（其中cosα=55，sinα=255），
∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ=5，
又sin2θ+cos2θ＝1，
联立得（2cosθ+5）2+cos2θ＝1，解得cosθ=−255．
故答案为：−255
56．【2013年新课标2理科15】设θ为第二象限角，若tan（θ+π4）=12，则sinθ+cosθ＝ ．
【答案】解：∵tan（θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12，
∴tanθ=−13，
而cos2θ=cos2θsin2θ+cos2θ=11+tan2θ，
∵θ为第二象限角，
∴cosθ=−11+tan2θ=−31010，sinθ=1−cos2θ=1010，
则sinθ+cosθ=1010−31010=−105．
故答案为：−105
模拟好题
1．若函数fx=sinωx+φ(其中ω>0,|φ|<π2)图象的一个对称中心为π3,0，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到gx=cos2x+π6的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移π12个单位长度 B．向左平移π12个单位长度
C．向右平移π6个单位长度 D．向左平移π6个单位长度
【答案】D
【解析】
解：函数fx图象的一个对称中心为π3,0，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，
所以14×2πω=7π12−π3，
所以ω=2.
因为函数fx在x=7π12时取得最小值，
所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
∴ φ=2kπ+π3，k∈Z
∵|φ|<π2∴φ=π3
∴f(x)=sin(2x+π3)=cos(2x+π3−π2)=cos(2x−π6)
根据平移变换规律可知，f(x)向左平移π6个单位，可得函数y=cos2x+π6−π6，
所以f(x)向左平移π6个单位可得gx=cos2x+π6的图象，
故选：D.
2．已知2cosπ2−a+sinπ2+α=0，则tanπ−α=（ ）
A．2 B．—2 C．12 D．−12
【答案】C
【解析】
由已知得2sinα+cosα=0，
∴2sinα=−cosα，∴tanα=−12，
∴tan(π−α)=−tanα=12.
故选：C
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，若sinBsinC=sin2A，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
△ABC中，b2+c2=a2+bc，则cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12
又0
则有b2+c2=bc+bc=2bc，则b−c2=0，则b=c
又A=π3，则△ABC的形状是等边三角形
故选：C
4．已知函数fx=sin2x−2sin2x，则下列结论错误的是（ ）
A．函数fx的最小正周期是π
B．函数fx在区间π8,π2上单调递减
C．函数fx的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数fx的图象关于7π8,−1对称
【答案】C
【解析】
fx=sin2x−2sin2x=sin2x−1−cos2x=sin2x+cos2x−1=2sin2x+π4−1，
所以函数fx的最小正周期是2π2=π，A正确；
当x∈π8,π2时，2x+π4∈π2,5π4，所以fx=2sin2x+π4−1单调递减，故B正确；
函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到gx=2sin2x+π2−1，故C错误；
当x=7π8时，2x+π4=2π，所以fx=2sin2x+π4−1=−1，
所以fx的图象关于7π8,−1中心对称，D正确.
故选：C
5．设函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，若f(x1)−f(x2)=2时，x1−x2的最小值为π3，则（ ）
A．函数f(x)的周期为π3
B．将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数
C．当x∈(π6,π3)，f(x)的值域为(22,1)
D．函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个
【答案】D
【解析】
由题意，得T2=π3，所以T=2π3，则ω=2πT=3，所以f(x)=sin(3x−π4)选项A不正确；
对于选项B：将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数是
f(x)=sin[3(x+π4)−π4]=cos3x为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时x∈(π6,π3)，则π4<3x−π4<3π4，所以f(x)的值域为(22,1]，选项C不正确；
对于选项D：令f(x)=0⇒x=π12+kπ3,k∈Z，所以当k=−3,−2,−1,0,1,2时，x∈[−π,π]，所以函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
6．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使得二面角B−AC−D的大小为90°.若三棱锥B−ACD的四个顶点都在球O的球面上，G为AC边的中点，E，F分别为线段BG，DC上的动点（不包括端点），且BE=2CF，当三棱锥E−ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．22π B．2π C．32π D．89π
【答案】D
【解析】
因为正方形ABCD的边长为22，所以AC=4.
如图，由于平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，又G为AC边的中点，则有BG⊥AC，所以BG⊥平面ACD．设CF=x (0
故选：D．
7．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．206海里 B．406海里 C．20(1+3)海里 D．40海里
【答案】A
【解析】
由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°，
所以∠CAD=45°,∠ADB=60°，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，得AD=202，
在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°,∠BCD=90°，
所以BD=2CD=402，
在△ABD中，由余弦定理得
AB=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB
=800+3200−2×202×402×12
=2400=206，
故选：A
8．若角α满足sinα⋅cosα<0，cosα−sinα<0，则α在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
∵sinα⋅cosα<0，∴α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα−sinα<0；
当α是第四象限角时，cosα>0，sinα<0，则cosα−sinα>0，不合题意；
综上所述：α是第二象限角.
故选：B.
9．已知函数fx=sin2x+φ0<φ<π2，若把fx的图像向左平移π12个单位后为偶函数，则φ=（ ）
A．−π6 B．−π3 C．5π12 D．π3
【答案】D
【解析】
由题意得：gx=fx+π12=sin2x+π6+φ.
∵gx为偶函数，∴π6+φ=π2+kπk∈Z，解得：φ=π3+kπk∈Z.
∵0<φ<π2，
∴φ=π3.
故选：D.
10．已知函数fx=sinx+cosx−2sin2x，以下结论错误的是( )
A．π是fx的一个周期 B．fx在区间0,π3单调递减
C．fx−3π4是偶函数 D．fx在区间−π2,π2恰有两个零点
【答案】B
【解析】
fx+π=sinx+π+cosx+π−2sin2x+π=sinx+cosx−2sin2x=fx，故A正确；
当x∈0,π2时，fx=sinx+cosx−2sin2x，
f'x=cosx−sinx−4cos2x=cosx−sinx−4cos2x−sin2x
=cosx−sinx1−4cosx+sinx =2cosx+π41−42sinx+π4，
则在0,π4上，cosx+π4>0，1−42sinx+π4<0，f'x<0，f(x)递减，
在π4,π2上，cosx+π4<0，1−42sinx+π4<0，f'x>0，f(x)递增，
故f(x)在0,π3上不单调，故B错误；
fx−3π4定义域为R，且：
fx−3π4= sinx−3π4+cosx−3π4−2sin2x−3π4
=cosx−π4+sinx−π4−2cos2x
=22sinx+cosx+22sinx−cosx−2cos2x，
f−x−3π4=sin−x−3π4+cosx−3π4−2sin2−x−3π4
=cosx+π4+sinx+π4−2cos2x
=22cosx−sinx+22sinx+cosx−2cos2x，
∴fx−3π4=f−x−3π4，故fx−3π4是偶函数，故C正确；
当x∈−π2,0，fx>0，则fx在区间−π2,0无零点，
∵fx在0,π4上单调递减，f0=1>0，fπ4=2−2<0，
由零点存在定理可知fx在0,π4上有且仅有一个零点，
同理可证fx在π4,π2上有且仅有一个零点，
综上，fx在区间−π2,π2恰有两个零点，故D正确．
故选：B.
11．已知函数fx=sinωx−3cosωxω>0,x∈R的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数fx的图象沿x轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数gx的图象，则下列关于函数gx的结论正确的是（ ）
A．函数gx是偶函数 B．gx的图象关于点−π3,0对称
C．gx在−π3,π3上是增函数 D．当x∈−π6,π6时，函数gx的值域是[1，2]
【答案】BD
【解析】
因为f(x)=sinωx−3cosωx=2sinωx−π3，
又y=fx的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，
所以T2=π2=2π2ω，所以ω=2，所以fx=2sin2x−π3，
所以fx向左平移π3个单位得到y=2sin2x+π3，
y=2sin2x+π3横坐标伸长到原来2倍得到gx=2sinx+π3，
A，gx=2sinx+π3为非奇非偶函数，故错误；
B，g−π3=2sin−π3+π3=2sin0=0，所以gx的图象关于点−π3,0对称，故正确；
C，因为x∈−π3,π3，所以x+π3∈0,2π3，
又因为y=2sint在0,2π3上先增后减，所以g(x)在−π3,π3上不是增函数，故错误；
D，当x∈−π6,π6时，x+π3∈π6,π2，
所以gxmax=2sinπ2=2，此时x=π6；gxmin=2sinπ6=1，此时x=−π6，
所以gx的值域为1,2，故正确.
故选：BD
12．已知函数fx=cosx+2sinx，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π2为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π2后得到gx=cos2x+2sin2x
C．函数f(x)在[－π2，π2]上单调递增
D．函数fx的值域为[－2，5]
【答案】AD
【解析】
解：对于A：fπ−x=cosπ−x+2sinπ−x=cosx+2sinx=fx，选项A正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到f2x=cos2x+2sin2x，再向左平移π2后得到gx=cos2x+π2+2sin2x+π2=cos2x−2sin2x，选项B错误；
对于C：当−π2≤x≤π2时，fx=cosx+2sinx=cosx+2sinx=5sinx+φ，其中tanφ=12，不妨令φ为锐角，−π2≤x≤π2⇒−π2+φ≤x+φ≤π2+φ
当−π2+φ≤x+φ≤π2即，x∈−π2,π2−φ时，f(x)单调递增，
当π2≤x+φ≤12+φ，即x∈π2−φ,π2时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－π2，3π2]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：x=π2．
因此：可取区间[－π2，π2]探究f(x)值域，
当−π2≤x≤π2时，fx=cosx+2sinx=5sinx+φ，其中tanφ=12，
−π2≤x≤π2⇒−π2+φ≤x+φ≤π2+φ⇒sin−π2+φ=−cosφ=−25≤sinx+φ≤1即：−2≤fx≤5，选项D正确．
故选：AD.
13．已知函数fx=2sin2x−π3+1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx+π=fx
B．fx+π6的图象关于原点对称
C．若0
【答案】ACD
【解析】
∵函数f(x)=2sin2x−π3+1的周期T=2π2=π，所以fx+π=fx恒成立，
故A正确；
又fx+π6=2sin2x+1，所以fπ6+π6=2sinπ3+1=3+1，f−π6+π6=2sin−π3+1=−3+1，所以fπ6+π6≠−f−π6+π6，
所以fx+π6的图象不关于原点对称，故B错误；
当x∈0,5π12时，2x−π3∈−π3,π2，所以函数f(x)=2sin2x−π3+1在0,5π12上单调递增，故C正确；
因为x∈π3,π2 ，所以2x−π3∈π3,2π3，故32≤sin2x−π3≤1，
∴f(x)∈3+1,3，又23+1>3，即2f(x)min>f(x)max，
所以对∀x1,x2,x3∈[π3,π2],有f(x1)+f(x3)>f(x2)成立，故D正确.
故选：ACD.
14．已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．fx=2cos2x−π3
B．满足fx>1的x的取值范围为kπ,kπ+π3（k∈Z）
C．将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象的一条对称轴x=π3
D．函数fx与gx=−2cos2x的图象关于直线x=π3对称
【答案】ABD
【解析】
由图可得，fxmax=2,T=2×1112π−512π=π，
所以A=2,ω=2，因为f−π12=2sin−π12×2+φ=0，所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，
所以φ=2kπ+π6,k∈Z，因为φ<π2，所以φ=π6,
fx=2sin2x+π6=2cos2x−π3，故A正确；
由fx=2sin2x+π6>1可得sin2x+π6>12，
所以2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z，解得x∈kπ,kπ+π3，k∈Z，故B正确；
将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的是函数y=2sin2x−π12+π6=2sin2x的图象，直线x=π3不是其对称轴，故C错误；
因为f2π3−x=2sin−2x+3π2=−2cos2x=gx，
所以函数fx与gx=−2cos2x的图象关于直线x=π3对称，故D正确；
故选：ABD
15．已知函数fx=sinx−cosx，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A．2π为函数fx的一个周期 B．函数fx的值域为−2,2
C．函数fx在3π4,5π4上单调递减 D．函数fx在−2π,2π内有4个零点
【答案】CD
【解析】
选项A：因为f−π4=0≠f2π−π4=−2，所以A错误；
选项B、D：函数fx定义域为R，并且f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数；因为x∈[0,+∞),f(x)=f(x+2π)，为周期函数，
故仅需研究函数f(x)在区间[0,2π]上的值域及零点个数即可，因为x∈0,π2∪3π2,2π时，f(x)=sinx−cosx=2sinx−π4；
x∈π2,3π2时，f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4；
当x∈0,π2∪3π2,2π时，令x−π4=t∈−π4,π4∪5π4,7π4，
则y=2sint,t∈−π4,π4∪5π4,7π4，可得y∈[−2,1]且仅一个零点；
当x∈π2,3π2时，令x+π4=t∈3π4,7π4，则y=2sint,t∈3π4,7π4，
可得y∈[−2,1]且仅一个零点；
所以函数f(x)的值域为[−2,1]且在[−2π,2π]上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数f(x)在3π4,5π4上，有f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4，所以x+π4∈π,3π2，则得函数f(x)在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
16．已知0<α<π2，sinπ4−α=26，则sinα1+tanα=________.
【答案】41751
【解析】
因为0<α<π2，−π4<π4−α<π4，
所以cosπ4−α=1−262=346，
所以−sinα=sinπ4−α−π4=sinπ4−αcosπ4−cosπ4−αsinπ4
=26×22−346×22=1−176，所以sinα=17−16，
cosα=1−sinα2=17+16，所以tanα=sinαcosα=17−117+1，
则sinα1+tanα=17−161+17−117+1=41751.
故答案为：41751.
17．已知函数f(x)=1x+1，点O为坐标原点，点An(n,f(n))(n∈N∗)，向量i=(0,1)，θn是向量OAn与i的夹角，则cosθ1sinθ1+cosθ2sinθ2+⋯+cosθ2022sinθ2022的值为______．
【答案】20222023
【解析】
由题意可得90°−θn是直线OAn的倾斜角，
∴cosθnsinθn=sin(90°−θn)cos(90°−θn)=tan(90°−θn)=f(n)n=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴cosθ1sinθ1+cosθ2sinθ2+⋯+cosθ2022sinθ2022=(1−12)+(12−13)+⋯+(12022−12023)
=1−12023=20222023.
故答案为：20222023.
18．函数fx=3sinx+cosx，fα=85，α∈π6,5π6，则cosα=______________．
【答案】4−3310
【解析】
∵fx=3sinx+cosx=2sinx+π6，∴fα=2sinα+π6=85，
∴sinα+π6=45，又α∈π6,5π6，∴α+π6∈π3,π，
∵sinα+π6=45<32，∴α+π6∈2π3,π，∴cosα+π6=−35，
∴cosα=cosα+π6−π6=cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6 =−35×32+45×12=4−3310.
故答案为：4−3310.
19．已知函数fx=2sinωx+π3ω>0，若fπ3=0，且fx在π3,5π12上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．
【答案】17
【解析】
由fπ3=0，且f(x)在π3,5π12上有最大值，没有最小值，可得ωπ3+π3=2kπ(k∈Z)， 所以ω=6k−1(k∈Z).
由f(x)在π3,5π12上有最大值，没有最小值，可得14×2πω<5π12−π3≤34×2πω，解得6<ω≤18，又ω=6k−1(k∈Z)，当k=3时，ω=17，则ω的最大值为17，,
故答案为：17
20．已知sinα−π4=13(0<α<π)，则sinα+cosα=_________.
【答案】43
【解析】
由题意得α−π4∈(−π4,3π4)，而sinα−π4=13<22，
故α−π4∈(0,π2)，cosα−π4=223，
故sinα+cosα=2sinα+π4=2cosα−π4=43.
故答案为：43
21．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAa=3cosBb=22，则该三角形周长的最大值为___________.
【答案】362
【解析】
由正弦定理变形有：sinAa=sinBb，又因为sinAa=3cosBb=22，所以3cosB=sinB，则tanB=3,∴B=π3，又因为3cosBb=22，所以b=23cosB2=23×122=62，
又因为b2=a2+c2−2accosB=a+c2−3ac≥a+c2−3⋅a+c24=14a+c2，
所以a+c2≤4b2=4×64=6⇒a+c≤6，当且仅当 “a=c”时取等.
则该三角形周长的最大值为a+b+c=6+62=362.
故答案为：362.
22．若函数fx=sinωx+π6ω>0在0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．
【答案】103,236
【解析】
如下图，作出简图，由题意知，π∈x4,x5，设函数fx的最小正周期为T，
因为x0=−π6ω，则x4=x0+74T=x0+74⋅2πω=10π3ω，x5=x0+2T=x0+2⋅2πω=23π6ω，
结合π∈x4,x5有π≥10π3ω且π<23π6ω，解得ω∈103,236．
故答案为：103,236
23．为了测量一个不规则公园C,D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A,B两点，点B在点A的正东方向上，且A,B,C,D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上，点D在它的北偏西75∘方向上，则C,D之间的距离为______km.
【答案】2
【解析】
由题意可知，∠CAB=90∘−45∘=45∘,∠DAB=90∘+45∘=135∘,∠CBA=90∘+15∘=105∘,∠CDB=15∘+75∘=90∘,∠DBA=15∘ ,
故在△ABC中，∠ACB=180∘−45∘−105∘=30∘，
故BDsin∠DAB=ABsin∠ADB ，BC=1×sin45∘sin30∘=2，
在△ABD中，∠ADB=180∘−15∘−135∘=30∘，
故BCsin∠CAB=ABsin∠ACB ，BD=1×sin135∘sin30∘=2，
所以在△DBC中，∠CBD=90∘，则CD=BC2+DB2=2+2=2 ,
故答案为：2
24．已知函数fx=xcosα−αcosα+sinα−π2<α<0，x=π是fx的零点，则当−π2≤x≤3π2时，不等式fx−sinx≤0的解集为___________.
【答案】−π2,π##x|−π2≤x≤π
【解析】
由直线y=fx的方程得fα=αcosα−αcosα+sinα=sinα，
所以(α,sinα)是直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个公共点，
由g(x)=sinx得g'x=cosx，g'α=cosα，又因为直线y=fx的斜率为cosα，
所以直线y=fx是曲线g(x)=sinx在x=α处取得的切线方程，
因为fπ=0，所以(π,0)是直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个交点，
由于(π,0)是曲线g(x)=sinx的一个对称中心，
所以直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个切点的横坐标大于2π，
因为−π2<α<0，所以直线y=fx是单调递增的，
所以当−π2≤x≤3π2时，不等式fx−sinx≤0的解集为−π2,π.
故答案为：−π2,π（或x|−π2≤x≤π）.
25．已知函数f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f5π12且f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则ω=_______．
【答案】4或10##10或4
【解析】
∵f(x)满足fπ4=f5π12，∴x=π4+5π122=π3是f(x)的一条对称轴，
∴π3⋅ω+π6=π2+kπ，∴ω=1+3k，k∈Z，
∵ω＞0，∴ω=1,4,7,10,13,….
当x∈π4,5π12时，ωx+π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6，
y＝sinx图像如图：
要使f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则：
π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6⩽5π2⇒4≤ω<163或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6⩽9π2⇒283≤ω<525，
此时ω＝4或10满足条件；
区间π4,5π12的长度为：5π12−π4=5π12−3π12=π6，
当ω⩾13时，f(x)最小正周期T=2πω⩽2π13<π6，则f(x)在π4,5π12既有最大值也有最小值，故ω⩾13不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
专题06三角函数与解三角形选择填空题
真题汇总命题趋势
1．【2022年全国甲卷理科08】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2OA．当OA=2,∠AOB=60°时，s=（ ）
A．11−332 B．11−432 C．9−332 D．9−432
【答案】B
【解析】
解：如图，连接OC，
因为C是AB的中点，
所以OC⊥AB，
又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，
即OD=OA=OB=2，
又∠AOB=60°，
所以AB=OA=OB=2，
则OC=3，故CD=2−3，
所以s=AB+CD2OA=2+2−322=11−432.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷理科11】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136 B．53,196 C．136,83 D．136,196
【答案】C
【解析】
解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈π3,3π的图象如下所示：
则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈136,83．
故选：C．
3．【2022年新高考1卷06】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3
【答案】A
【解析】
由函数的最小正周期T满足2π3
所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，
所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.
故选：A
4．【2022年新高考2卷06】若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α−β)=1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1 D．tan(α+β)=−1
【答案】C
【解析】
由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,
即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，
即：sinα−β+cosα−β=0,
所以tanα−β=−1,
故选：C
5．【2021年全国甲卷理科9】若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（ ）
A．1515 B．55 C．53 D．153
【答案】A
∵tan2α=cosα2−sinα
∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，
∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin2α=12−sinα，解得sinα=14，
∴cosα=1−sin2α=154，∴tanα=sinαcosα=1515.
故选：A.
6．【2021年新高考1卷4】下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是（ ）
A．(0,π2) B．(π2,π) C．(π,3π2) D．(3π2,2π)
【答案】A
因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，
对于函数f(x)=7sin(x−π6)，由2kπ−π2
则(0,π2)⊆(−π3,2π3)，(π2,π)⊄(−π3,2π3)，A选项满足条件，B不满足条件；
取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π3,8π3)，
(π,3π2)⊄(−π3,2π3)且(π,3π2)⊄(5π3,8π3)，(3π2,2π)⊄(5π3,8π3)，CD选项均不满足条件.
故选：A.
7．【2021年新高考1卷6】若tanθ=−2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）
A．−65 B．−25 C．25 D．65
【答案】C
将式子进行齐次化处理得：
sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)
=sinθ(sinθ+cosθ)sin2θ+cos2θ=tan2θ+tanθ1+tan2θ=4−21+4=25．
故选：C．
8．【2021年全国乙卷理科7】把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=（ ）
A．sin(x2−7x12) B．sin(x2+π12)
C．sin(2x−7π12) D．sin(2x+π12)
【答案】B
解法一：函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y=f[2(x−π3)]的图象，
根据已知得到了函数y=sin(x−π4)的图象，所以f[2(x−π3)]=sin(x−π4)，
令t=2(x−π3),则x=t2+π3,x−π4=t2+π12,
所以f(t)=sin(t2+π12),所以f(x)=sin(x2+π12)；
解法二：由已知的函数y=sin(x−π4)逆向变换，
第一步：向左平移π3个单位长度，得到y=sin(x+π3−π4)=sin(x+π12)的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(x2+π12)的图象，
即为y=f(x)的图象，所以f(x)=sin(x2+π12).
故选：B.
9．【2020年全国1卷理科07】设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．10π9 B．7π6
C．4π3 D．3π2
【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点−4π9,0，
将它代入函数fx可得：cos−4π9⋅ω+π6=0
又−4π9,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，
所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32
所以函数fx的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3
故选：C
10．【2020年全国1卷理科09】已知α ∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=（ ）
A．53 B．23
C．13 D．59
【答案】A
【解析】
3cos2α−8cosα=5，得6cos2α−8cosα−8=0，
即3cos2α−4cosα−4=0，解得cosα=−23或cosα=2（舍去），
又∵α∈(0,π),∴sinα=1−cos2α=53.
故选：A.
11．【2020年全国2卷理科02】若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】
当α=−π6时，cos2α=cos−π3>0，选项B错误；
当α=−π3时，cos2α=cos−2π3<0，选项A错误；
由α在第四象限可得：sinα<0,cosα>0，则sin2α=2sinαcosα<0，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
12．【2020年全国3卷理科07】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A．19 B．13 C．12 D．23
【答案】A
【解析】
∵在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3
根据余弦定理：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC
AB2=42+32−2×4×3×23
可得AB2=9 ，即AB=3
由∵cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19
故cosB=19.
故选：A.
13．【2020年全国3卷理科09】已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
∵2tanθ−tanθ+π4=7，∴2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，
令t=tanθ,t≠1，则2t−1+t1−t=7，整理得t2−4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2.
故选：D.
14．【2020年山东卷04】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40°
C．50° D．90°
【答案】B
【解析】
画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l；AB是晷针所在直线. m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得AB⊥m..
由于∠AOC=40°,m//CD，所以∠OAG=∠AOC=40°，
由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°，
所以∠BAE=∠OAG=40°，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40°.
故选：B
15．【2019年新课标3理科12】设函数f（x）＝sin（ωx+π5）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点
③f（x）在（0，π10）单调递增
④ω的取值范围是[125，2910）
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】解：当x∈[0，2π]时，ωx+π5∈[π5，2πω+π5]，
∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴5π≤2πω+π5＜6π，
∴125≤ω＜2910，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
下面判断③是否正确，
当x∈（0，π10）时，ωx+π5∈[π5，(ω+2)π10]，
若f（x）在（0，π10）单调递增，
则(ω+2)π10＜π2，即ω＜3，
∵125≤ω＜2910，故③正确．
故选：D．
16．【2019年全国新课标2理科09】下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|
【答案】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；
f（x）＝|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间（π4，π2）单调递增，可排除B．
故选：A．
17．【2019年全国新课标2理科10】已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）
A．15 B．55 C．33 D．255
【答案】解：∵2sin2α＝cos2α+1，
∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，
∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，
∴cosα＝2sinα，
∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，
∴解得：sinα=55．
故选：B．
18．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（π2，π）单调递增
③f（x）在[﹣π，π]有4个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，
当x∈（π2，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，
当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，
由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，
当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．
19．【2018年新课标2理科06】在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．42 B．30 C．29 D．25
【答案】解：在△ABC中，cosC2=55，cosC＝2×(55)2−1=−35，
BC＝1，AC＝5，则AB=BC2+AC2−2BC⋅ACcosC=1+25+2×1×5×35=32=42．
故选：A．
20．【2018年新课标2理科10】若f（x）＝cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（ ）
A．π4 B．π2 C．3π4 D．π
【答案】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）=−2sin(x−π4)，
由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[−π4，34π]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得−a≥−π4a≤3π4，∴a≤π4．
则a的最大值是π4．
故选：A．
21．【2018年新课标3理科04】若sinα=13，则cos2α＝（ ）
A．89 B．79 C．−79 D．−89
【答案】解：∵sinα=13，
∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×19=79．
故选：B．
22．【2018年新课标3理科09】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C＝（ ）
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
【答案】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为a2+b2−c24，
∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，
∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，
∵0＜C＜π，∴C=π4．
故选：C．
23．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+2π3），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
【答案】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y＝cos2（x+π12）＝cos（2x+π6）＝sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，
故选：D．
24．【2017年新课标3理科06】设函数f（x）＝cos（x+π3），则下列结论错误的是（ ）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x=8π3对称
C．f（x+π）的一个零点为x=π6
D．f（x）在（π2，π）单调递减
【答案】解：A．函数的周期为2kπ，当k＝﹣1时，周期T＝﹣2π，故A正确，
B．当x=8π3时，cos（x+π3）＝cos（8π3+π3）＝cos9π3=cos3π＝﹣1为最小值，此时y＝f（x）的图象关于直线x=8π3对称，故B正确，
C当x=π6时，f（π6+π）＝cos（π6+π+π3）＝cos3π2=0，则f（x+π）的一个零点为x=π6，故C正确，
D．当π2＜x＜π时，5π6＜x+π3＜4π3，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，
故选：D．
25．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π2），x=−π4为f（x）的零点，x=π4为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】解：∵x=−π4为f（x）的零点，x=π4为y＝f（x）图象的对称轴，
∴2n+14⋅T=π2，即2n+14⋅2πω=π2，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（π18，5π36）上单调，则5π36−π18=π12≤T2，
即T=2πω≥π6，解得：ω≤12，
当ω＝11时，−11π4+φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|≤π2，
∴φ=−π4，
此时f（x）在（π18，5π36）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，−9π4+φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|≤π2，
∴φ=π4，
此时f（x）在（π18，5π36）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B．
26．【2016年新课标2理科07】若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=kπ2−π6（k∈Z） B．x=kπ2+π6（k∈Z）
C．x=kπ2−π12（k∈Z） D．x=kπ2+π12（k∈Z）
【答案】解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝2sin2（x+π12）＝2sin（2x+π6），
由2x+π6=kπ+π2（k∈Z）得：x=kπ2+π6（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=kπ2+π6（k∈Z），
故选：B．
27．【2016年新课标2理科09】若cos（π4−α）=35，则sin2α＝（ ）
A．725 B．15 C．−15 D．−725
【答案】解：法1°：∵cos（π4−α）=35，
∴sin2α＝cos（π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，
法2°：∵cos（π4−α）=22（sinα+cosα）=35，
∴12（1+sin2α）=925，
∴sin2α＝2×925−1=−725，
故选：D．
28．【2016年新课标3理科05】若tanα=34，则cos2α+2sin2α＝（ ）
A．6425 B．4825 C．1 D．1625
【答案】解：∵tanα=34，
∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34916+1=6425．
故选：A．
29．【2016年新课标3理科08】在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于（ ）
A．31010 B．1010 C．−1010 D．−31010
【答案】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，
∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高AD＝h=13BC=13a，
∴BD＝AD=13a，CD=23a，
在Rt△ADC中，cosθ=ADAC=a3(13a)2+(2a3)2=55，故sinθ=255，
∴cosA＝cos（π4+θ）＝cosπ4cosθ﹣sinπ4sinθ=22×55−22×255=−1010．
故选：C．
30．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（ ）
A．−32 B．32 C．−12 D．12
【答案】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
＝sin20°cos10°+cos20°sin10°
＝sin30°
=12．
故选：D．
31．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ−14，kπ+34），k∈z B．（2kπ−14，2kπ+34），k∈z
C．（k−14，k+34），k∈z D．（2k−14，2k+34），k∈z
【答案】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54−14）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k∈z，即ϕ=π4，f（x）＝cos（πx+π4）．
由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，求得 2k−14≤x≤2k+34，故f（x）的单调递减区间为（2k−14，2k+34），k∈z，
故选：D．
32．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则（ ）
A．3α﹣β=π2 B．3α+β=π2 C．2α﹣β=π2 D．2α+β=π2
【答案】解：由tanα=1+sinβcosβ，得：
sinαcosα=1+sinβcosβ，
即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，
sin（α﹣β）＝cosα＝sin（π2−α），
∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），
∴当2α−β=π2时，sin（α﹣β）＝sin（π2−α）＝cosα成立．
故选：C．
33．【2014年新课标2理科04】钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC=2，则AC＝（ ）
A．5 B．5 C．2 D．1
【答案】解：∵钝角三角形ABC的面积是12，AB＝c＝1，BC＝a=2，
∴S=12acsinB=12，即sinB=22，
当B为钝角时，cosB=−1−sin2B=−22，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2+2＝5，即AC=5，
当B为锐角时，cosB=1−sin2B=22，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，
此时AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=5．
故选：B．
34．【2013年新课标2理科12】已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．(1−22，12) C．(1−22，13] D．[13，12)
【答案】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 12⋅AB⋅OC=1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（−ba，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故−ba≤0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由y=ax+bx+y=1可得点N的坐标为（1−ba+1，a+ba+1）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（12，12），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b=13．
②若点M在点O和点A之间，此时b＞13，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于12，
即12⋅MB⋅yN=12，即 12×(1+ba)⋅a+ba+1=12，可得a=b21−2b＞0，求得 b＜12，
故有13＜b＜12．
③若点M在点A的左侧，则b＜13，由点M的横坐标−ba＜−1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 y=ax+by=x+1求得点P的坐标为（1−ba−1，a−ba−1），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于12，即 12•（1﹣b）•|xN﹣xP|=12，
即12（1﹣b）•|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 2（1﹣b）=1−a2＜1，∴1﹣b＜12，化简可得 b＞1−22，
故有1−22＜b＜13．
再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 (1−22，12)，
故选：B．
解法二：当a＝0时，直线y＝ax+b（a＞0）平行于AB边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得(1−b1)2=12，b＝1−22，趋于最小．
由于a＞0，∴b＞1−22．
当a逐渐变大时，b也逐渐变大，
当b=12时，直线经过点（0，12），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜12．
综上可得，1−22＜b＜12，
故选：B．
35．【2022年新高考2卷09】已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像关于点2π3,0中心对称，则（ ）
A．f(x)在区间0,5π12单调递减
B．f(x)在区间−π12,11π12有两个极值点
C．直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴
D．直线y=32−x是曲线y=f(x)的切线
【答案】AD
【解析】
由题意得：f2π3=sin4π3+φ=0，所以4π3+φ=kπ，k∈Z，
即φ=−4π3+kπ,k∈Z，
又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，故f(x)=sin2x+2π3．
对A，当x∈0,5π12时，2x+2π3∈2π3,3π2，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)在0,5π12上是单调递减；
对B，当x∈−π12,11π12时，2x+2π3∈π2,5π2，由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值点，由2x+2π3=3π2，解得x=5π12，即x=5π12为函数的唯一极值点；
对C，当x=7π6时，2x+2π3=3π，f(7π6)=0，直线x=7π6不是对称轴；
对D，由y'=2cos2x+2π3=−1得：cos2x+2π3=−12，
解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,
从而得：x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,
所以函数y=f(x)在点0,32处的切线斜率为k=y'x=0=2cos2π3=−1，
切线方程为：y−32=−(x−0)即y=32−x．
故选：AD．
36．【2020年山东卷10】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．sin(x+π3） B．sin(π3−2x) C．cos(2x+π6） D．cos(5π6−2x)
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,
当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπk∈Z，
解得：φ=2kπ+23πk∈Z，
即函数的解析式为：
y=sin2x+23π+2kπ=sin2x+π6+π2=cos2x+π6=sinπ3−2x.
而cos2x+π6=−cos(5π6−2x)
故选：BC.
37．【2020年海南卷10】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．sin(x+π3） B．sin(π3−2x) C．cos(2x+π6） D．cos(5π6−2x)
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：T2=23π−π6=π2，则ω=2πT=2ππ=2，所以不选A,
当x=23π+π62=5π12时，y=−1∴2×5π12+φ=3π2+2kπk∈Z，
解得：φ=2kπ+23πk∈Z，
即函数的解析式为：
y=sin2x+23π+2kπ=sin2x+π6+π2=cos2x+π6=sinπ3−2x.
而cos2x+π6=−cos(5π6−2x)
故选：BC.
38．【2022年全国甲卷理科16】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．
【答案】3−1##−1+3
【解析】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcos∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcos∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1
≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1.
故答案为：3−1.
39．【2022年全国乙卷理科15】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=32，x=π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．
【答案】3
【解析】
解： 因为fx=cosωx+φ，（ω>0，0<φ<π）
所以最小正周期T=2πω，因为fT=cosω⋅2πω+φ=cos2π+φ=cosφ=32，
又0<φ<π，所以φ=π6，即fx=cosωx+π6，
又x=π9为fx的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k∈Z，解得ω=3+9k,k∈Z，
因为ω>0，所以当k=0时ωmin=3；
故答案为：3
40．【2021年全国甲卷理科16】已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为________．
【答案】2
由图可知34T=13π12−π3=3π4，即T=2πω=π，所以ω=2；
由五点法可得2×π3+φ=π2，即φ=−π6；
所以f(x)=2cos(2x−π6).
因为f(−7π4)=2cos(−11π3)=1，f(4π3)=2cos(5π2)=0；
所以由(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0可得f(x)>1或f(x)<0；
因为f(1)=2cos(2−π6)<2cos(π2−π6)=1，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<0，即cos(2x−π6)<0，
解得kπ+π3
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)<0，又f(2)=2cos(4−π6)<0，符合题意，可得x的最小正整数为2.
故答案为：2.
41．【2021年全国乙卷理科15】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________．
【答案】22
由题意，S△ABC=12acsinB=34ac=3，
所以ac=4,a2+c2=12，
所以b2=a2+c2−2accosB=12−2×4×12=8，解得b=22（负值舍去）.
故答案为：22.
42．【2020年全国3卷理科16】关于函数f（x）=sinx+1sinx有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=π2对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】
对于命题①，fπ6=12+2=52，f−π6=−12−2=−52，则f−π6≠fπ6，
所以，函数fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数fx的定义域为xx≠kπ,k∈Z，定义域关于原点对称，
f−x=sin−x+1sin−x=−sinx−1sinx=−sinx+1sinx=−fx，
所以，函数fx的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，∵fπ2−x=sinπ2−x+1sinπ2−x=cosx+1cosx，
fπ2+x=sinπ2+x+1sinπ2+x=cosx+1cosx，则fπ2−x=fπ2+x，
所以，函数fx的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；
对于命题④，当−π
故答案为：②③.
43．【2020年山东卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】4+52π
【解析】
设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，
因为AP=5,所以∠AGP=45°，
因为BH//DG，所以∠AHO=45°，
因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，
即△OAH为等腰直角三角形；
在直角△OQD中，OQ=5−22r，DQ=7−22r，
因为tan∠ODC=OQDQ=35，所以21−322r=25−522r，
解得r=22；
等腰直角△OAH的面积为S1=12×22×22=4；
扇形AOB的面积S2=12×3π4×222=3π，
所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.
故答案为：4+5π2.
44．【2020年海南卷15】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】4+52π
【解析】
设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，
因为AP=5,所以∠AGP=45°，
因为BH//DG，所以∠AHO=45°，
因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，
即△OAH为等腰直角三角形；
在直角△OQD中，OQ=5−22r，DQ=7−22r，
因为tan∠ODC=OQDQ=35，所以21−322r=25−522r，
解得r=22；
等腰直角△OAH的面积为S1=12×22×22=4；
扇形AOB的面积S2=12×3π4×222=3π，
所以阴影部分的面积为S1+S2−12π=4+5π2.
故答案为：4+5π2.
45．【2019年全国新课标2理科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B=π3，则△ABC的面积为 ．
【答案】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，
∵b＝6，a＝2c，B=π3，
∴36=(2c)2+c2−4c2cosπ3，
∴c2＝12，
∴SΔABC=12acsinB=c2sinB=63，
故答案为：63．
46．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 ．
【答案】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一个周期，
故只需考虑f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）＝2cosx+2cos2x
＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），
令f′（x）＝0可解得cosx=12或cosx＝﹣1，
可得此时x=π3，π或 5π3；
∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在点x=π3，π或 5π3和边界点x＝0中取到，
计算可得f（ π3）=332，f（π）＝0，f（ 5π3）=−332，f（0）＝0，
∴函数的最小值为−332，
故答案为：−332．
47．【2018年新课标2理科15】已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝ ．
【答案】解：sinα+cosβ＝1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，
cosα+sinβ＝0，
两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，
∴2sin（α+β）＝﹣1．
∴sin（α+β）=−12．
故答案为：−12．
48．【2018年新课标3理科15】函数f（x）＝cos（3x+π6）在[0，π]的零点个数为 ．
【答案】解：∵f（x）＝cos（3x+π6）＝0，
∴3x+π6=π2+kπ，k∈Z，
∴x=π9+13kπ，k∈Z，
当k＝0时，x=π9，
当k＝1时，x=49π，
当k＝2时，x=79π，
当k＝3时，x=109π，
∵x∈[0，π]，
∴x=π9，或x=49π，或x=79π，
故零点的个数为3，
故答案为：3
49．【2017年新课标2理科14】函数f（x）＝sin2x+3cosx−34（x∈[0，π2]）的最大值是 ．
【答案】解：f（x）＝sin2x+3cosx−34=1﹣cos2x+3cosx−34，
令cosx＝t且t∈[0，1]，
则y＝﹣t2+3t+14=−（t−32）2+1，
当t=32时，f（t）max＝1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
50．【2016年新课标2理科13】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a＝1，则b＝ ．
【答案】解：由cosA=45，cosC=513，可得
sinA=1−cos2A=1−1625=35，
sinC=1−cos2C=1−25169=1213，
sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=35×513+45×1213=6365，
由正弦定理可得b=asinBsinA
=1×636535=2113．
故答案为：2113．
51．【2016年新课标3理科14】函数y＝sinx−3cosx的图象可由函数y＝sinx+3cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到．
【答案】解：∵y＝f（x）＝sinx+3cosx＝2sin（x+π3），y＝sinx−3cosx＝2sin（x−π3），
∴f（x﹣φ）＝2sin（x+π3−φ）（φ＞0），
令2sin（x+π3−φ）＝2sin（x−π3），
则π3−φ＝2kπ−π3（k∈Z），
即φ=2π3−2kπ（k∈Z），
当k＝0时，正数φmin=2π3，
故答案为：2π3．
52．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是 ．
【答案】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，
∴设AD=12x，AE=22x，DE=6+24x，CD＝m，
∵BC＝2，
∴（6+24x+m）sin15°＝1，
∴6+24x+m=6+2，
∴0＜x＜4，
而AB=6+24x+m−22x=6+2−22x，
∴AB的取值范围是（6−2，6+2）．
故答案为：（6−2，6+2）．
方法二：
如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小，为6−2；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为6+2；
故答案为：（6−2，6+2）．
53．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，
又因为：a＝2，
所以：a2−b2=c2−bc⇒b2+c2−a2=bc⇒cosA=b2+c2−a22bc=12⇒A=π3，
△ABC面积S=12bcsinA=34bc，
而b2+c2﹣a2＝bc
⇒b2+c2﹣bc＝a2
⇒b2+c2﹣bc＝4
⇒bc≤4
所以：S=12bcsinA=34bc≤3，即△ABC面积的最大值为3．
故答案为：3．
54．【2014年新课标2理科14】函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
【答案】解：函数f（x）＝sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）＝sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）
＝sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）＝sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
＝sin[（x+φ）﹣φ]＝sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
55．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝ ．
【答案】解：f（x）＝sinx﹣2cosx=5（55sinx−255cosx）=5sin（x﹣α）（其中cosα=55，sinα=255），
∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ=5，
又sin2θ+cos2θ＝1，
联立得（2cosθ+5）2+cos2θ＝1，解得cosθ=−255．
故答案为：−255
56．【2013年新课标2理科15】设θ为第二象限角，若tan（θ+π4）=12，则sinθ+cosθ＝ ．
【答案】解：∵tan（θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12，
∴tanθ=−13，
而cos2θ=cos2θsin2θ+cos2θ=11+tan2θ，
∵θ为第二象限角，
∴cosθ=−11+tan2θ=−31010，sinθ=1−cos2θ=1010，
则sinθ+cosθ=1010−31010=−105．
故答案为：−105
模拟好题
1．若函数fx=sinωx+φ(其中ω>0,|φ|<π2)图象的一个对称中心为π3,0，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到gx=cos2x+π6的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移π12个单位长度 B．向左平移π12个单位长度
C．向右平移π6个单位长度 D．向左平移π6个单位长度
【答案】D
【解析】
解：函数fx图象的一个对称中心为π3,0，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，
所以14×2πω=7π12−π3，
所以ω=2.
因为函数fx在x=7π12时取得最小值，
所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
∴ φ=2kπ+π3，k∈Z
∵|φ|<π2∴φ=π3
∴f(x)=sin(2x+π3)=cos(2x+π3−π2)=cos(2x−π6)
根据平移变换规律可知，f(x)向左平移π6个单位，可得函数y=cos2x+π6−π6，
所以f(x)向左平移π6个单位可得gx=cos2x+π6的图象，
故选：D.
2．已知2cosπ2−a+sinπ2+α=0，则tanπ−α=（ ）
A．2 B．—2 C．12 D．−12
【答案】C
【解析】
由已知得2sinα+cosα=0，
∴2sinα=−cosα，∴tanα=−12，
∴tan(π−α)=−tanα=12.
故选：C
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，若sinBsinC=sin2A，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
△ABC中，b2+c2=a2+bc，则cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12
又0
则有b2+c2=bc+bc=2bc，则b−c2=0，则b=c
又A=π3，则△ABC的形状是等边三角形
故选：C
4．已知函数fx=sin2x−2sin2x，则下列结论错误的是（ ）
A．函数fx的最小正周期是π
B．函数fx在区间π8,π2上单调递减
C．函数fx的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数fx的图象关于7π8,−1对称
【答案】C
【解析】
fx=sin2x−2sin2x=sin2x−1−cos2x=sin2x+cos2x−1=2sin2x+π4−1，
所以函数fx的最小正周期是2π2=π，A正确；
当x∈π8,π2时，2x+π4∈π2,5π4，所以fx=2sin2x+π4−1单调递减，故B正确；
函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到gx=2sin2x+π2−1，故C错误；
当x=7π8时，2x+π4=2π，所以fx=2sin2x+π4−1=−1，
所以fx的图象关于7π8,−1中心对称，D正确.
故选：C
5．设函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，若f(x1)−f(x2)=2时，x1−x2的最小值为π3，则（ ）
A．函数f(x)的周期为π3
B．将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数
C．当x∈(π6,π3)，f(x)的值域为(22,1)
D．函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个
【答案】D
【解析】
由题意，得T2=π3，所以T=2π3，则ω=2πT=3，所以f(x)=sin(3x−π4)选项A不正确；
对于选项B：将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数是
f(x)=sin[3(x+π4)−π4]=cos3x为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时x∈(π6,π3)，则π4<3x−π4<3π4，所以f(x)的值域为(22,1]，选项C不正确；
对于选项D：令f(x)=0⇒x=π12+kπ3,k∈Z，所以当k=−3,−2,−1,0,1,2时，x∈[−π,π]，所以函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
6．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使得二面角B−AC−D的大小为90°.若三棱锥B−ACD的四个顶点都在球O的球面上，G为AC边的中点，E，F分别为线段BG，DC上的动点（不包括端点），且BE=2CF，当三棱锥E−ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．22π B．2π C．32π D．89π
【答案】D
【解析】
因为正方形ABCD的边长为22，所以AC=4.
如图，由于平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，又G为AC边的中点，则有BG⊥AC，所以BG⊥平面ACD．设CF=x (0
故选：D．
7．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．206海里 B．406海里 C．20(1+3)海里 D．40海里
【答案】A
【解析】
由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°，
所以∠CAD=45°,∠ADB=60°，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，得AD=202，
在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°,∠BCD=90°，
所以BD=2CD=402，
在△ABD中，由余弦定理得
AB=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB
=800+3200−2×202×402×12
=2400=206，
故选：A
8．若角α满足sinα⋅cosα<0，cosα−sinα<0，则α在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
∵sinα⋅cosα<0，∴α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，cosα<0，sinα>0，满足cosα−sinα<0；
当α是第四象限角时，cosα>0，sinα<0，则cosα−sinα>0，不合题意；
综上所述：α是第二象限角.
故选：B.
9．已知函数fx=sin2x+φ0<φ<π2，若把fx的图像向左平移π12个单位后为偶函数，则φ=（ ）
A．−π6 B．−π3 C．5π12 D．π3
【答案】D
【解析】
由题意得：gx=fx+π12=sin2x+π6+φ.
∵gx为偶函数，∴π6+φ=π2+kπk∈Z，解得：φ=π3+kπk∈Z.
∵0<φ<π2，
∴φ=π3.
故选：D.
10．已知函数fx=sinx+cosx−2sin2x，以下结论错误的是( )
A．π是fx的一个周期 B．fx在区间0,π3单调递减
C．fx−3π4是偶函数 D．fx在区间−π2,π2恰有两个零点
【答案】B
【解析】
fx+π=sinx+π+cosx+π−2sin2x+π=sinx+cosx−2sin2x=fx，故A正确；
当x∈0,π2时，fx=sinx+cosx−2sin2x，
f'x=cosx−sinx−4cos2x=cosx−sinx−4cos2x−sin2x
=cosx−sinx1−4cosx+sinx =2cosx+π41−42sinx+π4，
则在0,π4上，cosx+π4>0，1−42sinx+π4<0，f'x<0，f(x)递减，
在π4,π2上，cosx+π4<0，1−42sinx+π4<0，f'x>0，f(x)递增，
故f(x)在0,π3上不单调，故B错误；
fx−3π4定义域为R，且：
fx−3π4= sinx−3π4+cosx−3π4−2sin2x−3π4
=cosx−π4+sinx−π4−2cos2x
=22sinx+cosx+22sinx−cosx−2cos2x，
f−x−3π4=sin−x−3π4+cosx−3π4−2sin2−x−3π4
=cosx+π4+sinx+π4−2cos2x
=22cosx−sinx+22sinx+cosx−2cos2x，
∴fx−3π4=f−x−3π4，故fx−3π4是偶函数，故C正确；
当x∈−π2,0，fx>0，则fx在区间−π2,0无零点，
∵fx在0,π4上单调递减，f0=1>0，fπ4=2−2<0，
由零点存在定理可知fx在0,π4上有且仅有一个零点，
同理可证fx在π4,π2上有且仅有一个零点，
综上，fx在区间−π2,π2恰有两个零点，故D正确．
故选：B.
11．已知函数fx=sinωx−3cosωxω>0,x∈R的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数fx的图象沿x轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数gx的图象，则下列关于函数gx的结论正确的是（ ）
A．函数gx是偶函数 B．gx的图象关于点−π3,0对称
C．gx在−π3,π3上是增函数 D．当x∈−π6,π6时，函数gx的值域是[1，2]
【答案】BD
【解析】
因为f(x)=sinωx−3cosωx=2sinωx−π3，
又y=fx的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，
所以T2=π2=2π2ω，所以ω=2，所以fx=2sin2x−π3，
所以fx向左平移π3个单位得到y=2sin2x+π3，
y=2sin2x+π3横坐标伸长到原来2倍得到gx=2sinx+π3，
A，gx=2sinx+π3为非奇非偶函数，故错误；
B，g−π3=2sin−π3+π3=2sin0=0，所以gx的图象关于点−π3,0对称，故正确；
C，因为x∈−π3,π3，所以x+π3∈0,2π3，
又因为y=2sint在0,2π3上先增后减，所以g(x)在−π3,π3上不是增函数，故错误；
D，当x∈−π6,π6时，x+π3∈π6,π2，
所以gxmax=2sinπ2=2，此时x=π6；gxmin=2sinπ6=1，此时x=−π6，
所以gx的值域为1,2，故正确.
故选：BD
12．已知函数fx=cosx+2sinx，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π2为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π2后得到gx=cos2x+2sin2x
C．函数f(x)在[－π2，π2]上单调递增
D．函数fx的值域为[－2，5]
【答案】AD
【解析】
解：对于A：fπ−x=cosπ−x+2sinπ−x=cosx+2sinx=fx，选项A正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到f2x=cos2x+2sin2x，再向左平移π2后得到gx=cos2x+π2+2sin2x+π2=cos2x−2sin2x，选项B错误；
对于C：当−π2≤x≤π2时，fx=cosx+2sinx=cosx+2sinx=5sinx+φ，其中tanφ=12，不妨令φ为锐角，−π2≤x≤π2⇒−π2+φ≤x+φ≤π2+φ
当−π2+φ≤x+φ≤π2即，x∈−π2,π2−φ时，f(x)单调递增，
当π2≤x+φ≤12+φ，即x∈π2−φ,π2时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－π2，3π2]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：x=π2．
因此：可取区间[－π2，π2]探究f(x)值域，
当−π2≤x≤π2时，fx=cosx+2sinx=5sinx+φ，其中tanφ=12，
−π2≤x≤π2⇒−π2+φ≤x+φ≤π2+φ⇒sin−π2+φ=−cosφ=−25≤sinx+φ≤1即：−2≤fx≤5，选项D正确．
故选：AD.
13．已知函数fx=2sin2x−π3+1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx+π=fx
B．fx+π6的图象关于原点对称
C．若0
【答案】ACD
【解析】
∵函数f(x)=2sin2x−π3+1的周期T=2π2=π，所以fx+π=fx恒成立，
故A正确；
又fx+π6=2sin2x+1，所以fπ6+π6=2sinπ3+1=3+1，f−π6+π6=2sin−π3+1=−3+1，所以fπ6+π6≠−f−π6+π6，
所以fx+π6的图象不关于原点对称，故B错误；
当x∈0,5π12时，2x−π3∈−π3,π2，所以函数f(x)=2sin2x−π3+1在0,5π12上单调递增，故C正确；
因为x∈π3,π2 ，所以2x−π3∈π3,2π3，故32≤sin2x−π3≤1，
∴f(x)∈3+1,3，又23+1>3，即2f(x)min>f(x)max，
所以对∀x1,x2,x3∈[π3,π2],有f(x1)+f(x3)>f(x2)成立，故D正确.
故选：ACD.
14．已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．fx=2cos2x−π3
B．满足fx>1的x的取值范围为kπ,kπ+π3（k∈Z）
C．将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象的一条对称轴x=π3
D．函数fx与gx=−2cos2x的图象关于直线x=π3对称
【答案】ABD
【解析】
由图可得，fxmax=2,T=2×1112π−512π=π，
所以A=2,ω=2，因为f−π12=2sin−π12×2+φ=0，所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，
所以φ=2kπ+π6,k∈Z，因为φ<π2，所以φ=π6,
fx=2sin2x+π6=2cos2x−π3，故A正确；
由fx=2sin2x+π6>1可得sin2x+π6>12，
所以2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z，解得x∈kπ,kπ+π3，k∈Z，故B正确；
将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的是函数y=2sin2x−π12+π6=2sin2x的图象，直线x=π3不是其对称轴，故C错误；
因为f2π3−x=2sin−2x+3π2=−2cos2x=gx，
所以函数fx与gx=−2cos2x的图象关于直线x=π3对称，故D正确；
故选：ABD
15．已知函数fx=sinx−cosx，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A．2π为函数fx的一个周期 B．函数fx的值域为−2,2
C．函数fx在3π4,5π4上单调递减 D．函数fx在−2π,2π内有4个零点
【答案】CD
【解析】
选项A：因为f−π4=0≠f2π−π4=−2，所以A错误；
选项B、D：函数fx定义域为R，并且f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数；因为x∈[0,+∞),f(x)=f(x+2π)，为周期函数，
故仅需研究函数f(x)在区间[0,2π]上的值域及零点个数即可，因为x∈0,π2∪3π2,2π时，f(x)=sinx−cosx=2sinx−π4；
x∈π2,3π2时，f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4；
当x∈0,π2∪3π2,2π时，令x−π4=t∈−π4,π4∪5π4,7π4，
则y=2sint,t∈−π4,π4∪5π4,7π4，可得y∈[−2,1]且仅一个零点；
当x∈π2,3π2时，令x+π4=t∈3π4,7π4，则y=2sint,t∈3π4,7π4，
可得y∈[−2,1]且仅一个零点；
所以函数f(x)的值域为[−2,1]且在[−2π,2π]上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数f(x)在3π4,5π4上，有f(x)=sinx+cosx=2sinx+π4，所以x+π4∈π,3π2，则得函数f(x)在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
16．已知0<α<π2，sinπ4−α=26，则sinα1+tanα=________.
【答案】41751
【解析】
因为0<α<π2，−π4<π4−α<π4，
所以cosπ4−α=1−262=346，
所以−sinα=sinπ4−α−π4=sinπ4−αcosπ4−cosπ4−αsinπ4
=26×22−346×22=1−176，所以sinα=17−16，
cosα=1−sinα2=17+16，所以tanα=sinαcosα=17−117+1，
则sinα1+tanα=17−161+17−117+1=41751.
故答案为：41751.
17．已知函数f(x)=1x+1，点O为坐标原点，点An(n,f(n))(n∈N∗)，向量i=(0,1)，θn是向量OAn与i的夹角，则cosθ1sinθ1+cosθ2sinθ2+⋯+cosθ2022sinθ2022的值为______．
【答案】20222023
【解析】
由题意可得90°−θn是直线OAn的倾斜角，
∴cosθnsinθn=sin(90°−θn)cos(90°−θn)=tan(90°−θn)=f(n)n=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴cosθ1sinθ1+cosθ2sinθ2+⋯+cosθ2022sinθ2022=(1−12)+(12−13)+⋯+(12022−12023)
=1−12023=20222023.
故答案为：20222023.
18．函数fx=3sinx+cosx，fα=85，α∈π6,5π6，则cosα=______________．
【答案】4−3310
【解析】
∵fx=3sinx+cosx=2sinx+π6，∴fα=2sinα+π6=85，
∴sinα+π6=45，又α∈π6,5π6，∴α+π6∈π3,π，
∵sinα+π6=45<32，∴α+π6∈2π3,π，∴cosα+π6=−35，
∴cosα=cosα+π6−π6=cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6 =−35×32+45×12=4−3310.
故答案为：4−3310.
19．已知函数fx=2sinωx+π3ω>0，若fπ3=0，且fx在π3,5π12上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．
【答案】17
【解析】
由fπ3=0，且f(x)在π3,5π12上有最大值，没有最小值，可得ωπ3+π3=2kπ(k∈Z)， 所以ω=6k−1(k∈Z).
由f(x)在π3,5π12上有最大值，没有最小值，可得14×2πω<5π12−π3≤34×2πω，解得6<ω≤18，又ω=6k−1(k∈Z)，当k=3时，ω=17，则ω的最大值为17，,
故答案为：17
20．已知sinα−π4=13(0<α<π)，则sinα+cosα=_________.
【答案】43
【解析】
由题意得α−π4∈(−π4,3π4)，而sinα−π4=13<22，
故α−π4∈(0,π2)，cosα−π4=223，
故sinα+cosα=2sinα+π4=2cosα−π4=43.
故答案为：43
21．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAa=3cosBb=22，则该三角形周长的最大值为___________.
【答案】362
【解析】
由正弦定理变形有：sinAa=sinBb，又因为sinAa=3cosBb=22，所以3cosB=sinB，则tanB=3,∴B=π3，又因为3cosBb=22，所以b=23cosB2=23×122=62，
又因为b2=a2+c2−2accosB=a+c2−3ac≥a+c2−3⋅a+c24=14a+c2，
所以a+c2≤4b2=4×64=6⇒a+c≤6，当且仅当 “a=c”时取等.
则该三角形周长的最大值为a+b+c=6+62=362.
故答案为：362.
22．若函数fx=sinωx+π6ω>0在0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．
【答案】103,236
【解析】
如下图，作出简图，由题意知，π∈x4,x5，设函数fx的最小正周期为T，
因为x0=−π6ω，则x4=x0+74T=x0+74⋅2πω=10π3ω，x5=x0+2T=x0+2⋅2πω=23π6ω，
结合π∈x4,x5有π≥10π3ω且π<23π6ω，解得ω∈103,236．
故答案为：103,236
23．为了测量一个不规则公园C,D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A,B两点，点B在点A的正东方向上，且A,B,C,D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上，点D在它的北偏西75∘方向上，则C,D之间的距离为______km.
【答案】2
【解析】
由题意可知，∠CAB=90∘−45∘=45∘,∠DAB=90∘+45∘=135∘,∠CBA=90∘+15∘=105∘,∠CDB=15∘+75∘=90∘,∠DBA=15∘ ,
故在△ABC中，∠ACB=180∘−45∘−105∘=30∘，
故BDsin∠DAB=ABsin∠ADB ，BC=1×sin45∘sin30∘=2，
在△ABD中，∠ADB=180∘−15∘−135∘=30∘，
故BCsin∠CAB=ABsin∠ACB ，BD=1×sin135∘sin30∘=2，
所以在△DBC中，∠CBD=90∘，则CD=BC2+DB2=2+2=2 ,
故答案为：2
24．已知函数fx=xcosα−αcosα+sinα−π2<α<0，x=π是fx的零点，则当−π2≤x≤3π2时，不等式fx−sinx≤0的解集为___________.
【答案】−π2,π##x|−π2≤x≤π
【解析】
由直线y=fx的方程得fα=αcosα−αcosα+sinα=sinα，
所以(α,sinα)是直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个公共点，
由g(x)=sinx得g'x=cosx，g'α=cosα，又因为直线y=fx的斜率为cosα，
所以直线y=fx是曲线g(x)=sinx在x=α处取得的切线方程，
因为fπ=0，所以(π,0)是直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个交点，
由于(π,0)是曲线g(x)=sinx的一个对称中心，
所以直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个切点的横坐标大于2π，
因为−π2<α<0，所以直线y=fx是单调递增的，
所以当−π2≤x≤3π2时，不等式fx−sinx≤0的解集为−π2,π.
故答案为：−π2,π（或x|−π2≤x≤π）.
25．已知函数f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f5π12且f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则ω=_______．
【答案】4或10##10或4
【解析】
∵f(x)满足fπ4=f5π12，∴x=π4+5π122=π3是f(x)的一条对称轴，
∴π3⋅ω+π6=π2+kπ，∴ω=1+3k，k∈Z，
∵ω＞0，∴ω=1,4,7,10,13,….
当x∈π4,5π12时，ωx+π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6，
y＝sinx图像如图：
要使f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则：
π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6⩽5π2⇒4≤ω<163或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6⩽9π2⇒283≤ω<525，
此时ω＝4或10满足条件；
区间π4,5π12的长度为：5π12−π4=5π12−3π12=π6，
当ω⩾13时，f(x)最小正周期T=2πω⩽2π13<π6，则f(x)在π4,5π12既有最大值也有最小值，故ω⩾13不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
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