八年级数学北师大版上册 第一章 勾股定理复习 教案2

第1单元  勾股定理

复习教案

教学目标知识与技能:1.理解勾股定理及其逆定理.2.会用勾股定理解决简单的实际问题.

过程与方法:通过猜想、探索证明勾股定理及其逆定理.

情感态度与价值观:培养勇于探索的科学精神和数学应用意识.

教学重难点【重点】　勾股定理及其逆定理.【难点】　勾股定理及其逆定理的应用.

知识总结

专题讲座

专题一　勾股定理及其逆定理的基本用法

【专题分析】

勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:

(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;

(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)

　若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.

〔解析〕　在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值,进而求面积.

解:设此直角三角形两直角边长分别是3x,4x,根据题意,得(3x)2+(4x)2=202,

化简得x2=16.

∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96.

[方法归纳]　直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解.

【针对训练1】　等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.

解:如图所示,等腰三角形ABC,作AD⊥BC于D,

则BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合),

∵AB=AC=5,

∴BD=BC=3,

在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,

即AD2=AB2-BD2=52-32=42,

∴AD=4,

∴SΔABC=BC·AD=12.

　如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.

(1)求证ΔBCD是直角三角形;

(2)求ΔABC的面积.

〔解析〕　(1)利用勾股定理的逆定理即可直接证明ΔBCD是直角三角形;(2)设AD=x,则AB=AC=x+9,在RtΔABD中,利用勾股定理即可列出方程,解方程,即可求解.

证明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD2+BD2=81+144=225.∵BC=15,∴BC2=225.∴CD2+BD2=BC2.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理).

解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC,

∴AB=x+9,

∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,

∴AB2=AD2+BD2(勾股定理),即(x+9)2=x2+122,解得x=,∴AC=+9=,

∴SΔABC=AC·BD=75.

[方法归纳]　本题考查勾股定理及其逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理加以判断即可.

【针对训练2】　如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.

(1)求BC的长;

(2)求四边形ABDC的面积.

解:(1)因为∠A=90°,AB=9,AC=12,所以BC2=AB2+AC2=81+144=225,所以BC=15.

(2)因为BC=15,BD=8,CD=17,所以BC2+BD2=CD2,所以ΔBCD是直角三角形,所以S四边形ABDC=SΔBCD+SΔABC=×15×8+×9×12=114.

[方法归纳]　本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理,把四边形ABDC分成两个直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.

专题二　勾股定理的应用

【专题分析】

在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.

　(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.

〔解析〕　根据点到直线的连线中,垂线段最短,得到当BP垂直于AC时,BP最短,过A作等腰三角形底边上的高AD,利用三线合一得到D为BC的中点,在直角三角形ADC中,利用勾股定理求出AD的长,进而利用面积法即可求出此时BP的长.

解:根据垂线段最短,得到当BP⊥AC时,BP最短,

过A作AD⊥BC,交BC于点D,

因为AB=AC,AD⊥BC,所以D为BC的中点,又BC=6,所以BD=CD=3,

在RtΔADC中,AC=5,CD=3,根据勾股定理得AD2=AC2-DC2=42,

又因为SΔABC=BC·AD=BP·AC,所以BP==4.8.

[方法归纳]　利用勾股定理求出AD的长,再利用面积相等列出关系式是解题的关键.

【针对训练3】　如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.

〔解析〕　先把A或B依据对称性转移到MN另一侧,再依据两点之间,线段最短设计方案,然后构造直角三角形求解.

解:作A点关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于P点,则P点就是要确定的中转站的位置.过A'作A'B'⊥BB1,交BB1的延长线于B'点,

在RtΔA'B'B中,A'B'=80 km,BB'=BB1+B1B'=40+20=60(km),

所以A'B2=A'B'2+BB'2=802+602=1002,

所以A'B=100 km.

所以这个最短距离为100 km.

[易错提示]　这类问题在考试中经常出现,只是情境各不相同,要抓住其本质,利用对称性将其中一点转移到直线的另一侧,再确定符合要求的点.

专题三　数学思想方法

(一)转化的思想方法

【专题分析】

我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.

　如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.

〔解析〕　现已知BE,CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.

解:连接AD,如图(2)所示.

因为∠BAC=90°,AB=AC,

又因为AD为ΔABC的中线,

所以AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°.

因为∠EDA+∠ADF=90°,又因为∠CDF+∠ADF=90°,

所以∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA).

所以AE=FC=5,

同理AF=BE=12,

在RtΔAEF中,根据勾股定理得:

EF2=AE2+AF2=52+122=132,

所以EF=13.

[方法归纳]　此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.

【针对训练4】　在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?

〔解析〕　如图(2)所示,本题需要判断点C到AB的距离是否小于或等于250米,若小于等于,则有危险;若大于,则没有危险.因此过C作CD⊥AB于D,然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度,然后利用三角形的面积公式即可求出CD的长度,然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁.

解:如图(2)所示,过C作CD⊥AB于D,

∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,

∴根据勾股定理,得AB=500米,

∵AB·CD=BC·AC,

∴CD=240米.

∵240米<250米,∴有危险,

因此AB段公路需要暂时封锁.

[方法归纳]　当已知的线段和所求的线段不在同一直角三角形中时,应通过转化把它们放在同一直角三角形中求解.

(二)方程的思想方法

【专题分析】

方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.

　如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.

解:因为ΔADE与ΔAFE关于AE对称,

所以AD=AF,DE=EF.

因为四边形ABCD是长方形,

所以∠B=∠C=90°,

在RtΔABF中,

AF=AD=BC=10 cm,AB=8 cm,

所以BF2=AF2-AB2=102-82=62,

所以FC=BC-BF=10-6=4(cm),

设EC=x cm,则EF=DE=(8-x)cm,

在RtΔECF中,EC2+FC2=EF2,即

x2+42=(8-x)2,解得x=3,EF=DE=8-x=5 cm,即EF的长为5 cm.

[方法归纳]　该题主要考查了翻折变换及其应用问题,解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系,根据有关定理灵活分析、正确判断、准确求解.

【针对训练5】　如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.

解:由图形的折叠,得ΔACD≌ΔACD',

所以∠D'=∠D=90°,CD'=CD=3,

则∠B=∠D',AB=CD'.

又因为∠AEB=∠CED',

所以ΔABE≌ΔCD'E.

所以BE=ED'.设BE=x,则CE=4-x,CD'=3.

所以(4-x)2=32+x2,即16-8x+x2=9+x2,

所以x=,即BE的长为.