黑龙江省大庆市大庆外国语学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题

大庆外国语学校高一年级上学期期末考试

数学试题

【本卷满分：150分，答题时间：120分钟】

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案.每题5分，共40分）

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2. 命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是（　　）

A. ∃x＞0，x2≠x﹣1 B. ∀x≤0，x2＝x﹣1

C. ∃x≤0，x2＝x﹣1 D. ∀x＞0，x2≠x﹣1

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确结论.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以：命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是：∀x＞0，x2≠x﹣1．

故选：D

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.

3. 函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据零点存在定理判断．

【详解】，，，

所以零点在上．

故选：D．

4. 已知角顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据三角函数的定义求出 ，然后采用弦化切，代入 计算即可

【详解】因为点 在角的终边上，所以

故选：D

5. “密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是密位制，即将一个圆周角分为等份，每一个等份是一个密位，那么密位对应弧度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】根据弧度制公式即可求得结果．

【详解】密位对应弧度为

故选：B

6. 若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】3个数和特殊值0,1比较大小，即可判断大小.

【详解】，，

，所以，

所以

故选：A

7. 不等式的解集为R，则a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】对分成，两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.

【详解】当时，不等式化为，解集为，符合题意.

当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得.

综上所述，的取值范围是.

故选：D

【点睛】本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

8. 函数零点的个数为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可

【详解】由，得，

所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，

函数的图象如图所示，

由图象可知两函数图象有4个交点，

所以有4个零点，

故选：A

二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，共20分）

9. 下列给出的角中，与终边相同的角有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据终边相同的角的定义可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，，与的终边相同；

对于B选项，，与的终边不相同；

对于C选项，，与的终边相同；

对于D选项，，与的终边不相同.

故选：AC.

10. 若，，则下列不等式成立的是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据不等的基本性质可判断的真假，取，，，可判断的真假．

【详解】，，当时，，故正确；

由可得，故正确；

由，取，，，则可排除．

故选：BD．

【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题．

11. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断可得；

【详解】解：对于A：为偶函数，但是在上不具有单调性，故A错误；

对于B：为偶函数，且在单调递增，故B正确；

对于C：为奇函数，故C错误；

对于D：，定义域为，，所以为偶函数，当时，单调递增，故D正确；

故选：BD

12. 若函数的图象上存在一点满足，且，则称函数为“可相反函数”，下列函数中的“可相反函数”有（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】判断各选项中的函数是否满足方程有非零解，即可得出结论.

【详解】对于A选项，令，该函数的定义域为，

则，所以，函数为奇函数，

当时，，则，

当时，，所以，当，，

由奇函数的性质可知，当时，，

所以，方程无非零解，A选项不满足条件；

对于B选项，构造函数，该函数的定义域为，

因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，

因为，，所以，函数在上存在零点，B选项满足条件；

对于C选项，令，令，可得，

C选项满足条件；

对于D选项，如下图所示：

由图可知，曲线的图象恒在直线的图象的上方，即，，

故方程无实数解，D选项不满足条件.

故选：BC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.

13. 若，则_____．

【答案】

【解析】

【分析】首先求函数，再求的值.

【详解】设，则

所以，即，，

.

故答案为：

14. 已知函数的图象如图，则________．

【答案】8

【解析】

【分析】由图像可得：过点和，代入解得a、b．

【详解】由图像可得：过点和，则有：，解得．

∴．

故答案为：８．

15. 已知= ，则 =_____.

【答案】##0.6

【解析】

【分析】寻找角之间的联系，利用诱导公式计算即可

【详解】

故答案为：

16. 下列说法中，所有正确说法的序号是_____．

终边落在轴上的角的集合是； 

函数图象与轴的一个交点是；

函数在第一象限是增函数；

若，则．

【答案】

【解析】

【分析】取值验证可判断；直接验证可判断；根据第一象限的概念可判断；由诱导公式化简可判断.

【详解】中，取时，的终边在x轴上，故错误；

中，当时，，故正确；

中，第一象限角的集合为，显然在该范围内函数不单调；

中，因为，所以，

所以，故正确.

故答案为：②④

四、解答题（写出必要的解题过程.17题10分，其它题满分12分）

17. 已知命题，且，命题，且，

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由可得，解不等式求出a的取值范围即可；

（2）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用集合的知识列出不等式组求解a的范围即可.

【详解】（1），

，解之得：，故a的取值范围为；

（2）或，

p是q的充分条件，

，

或，解之得：或，

故实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查元素与集合间的关系，考查充分条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

18. 已知在半径为的圆中，弦的长为.

（1）求弦所对的圆心角的大小；

（2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】（1）根据为等边三角形得出，

（2）代入弧长公式和面积公式计算.

【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以.

（2）因为，所以.，

又，

所以.

【点睛】本题主要考查了扇形的相关知识点，弦长、弧长、面积等，属于基础题，解题的关键是在于公式的熟练运用.

19. 已知函数，）函数关于对称.

（1）求的解析式；

（2）用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象；

（3）写出的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量的取值集合．

【答案】（1）,   

（2）详见解析    （3）单调递增区间是，，最小值为，取得最小值的的集合.

【解析】

【分析】（1）根据函数的对称轴，列式，求；

（2）利用“五点法”列表，画图；

（3）根据三角函数的性质，即可求解.

【小问1详解】

因为函数关于直线对称，所以，

，因为，所以，

所以

【小问2详解】

首先根据“五点法”，列表如下：

【小问3详解】

令，

解得：，，

所以函数的单调递增区间是，，

最小值为

令，得，

函数取得最小值的的集合.

20. 设函数且是定义在上的奇函数．

（1）求的值；

（2）若，试判断函数的单调性不需证明，求出不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值；

（2）由可得，从而可判断出函数单调性，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式

【小问1详解】

∵是定义在上的奇函数，

，即  ，

，  

当时，，

，

 故符合题意

【小问2详解】

∵，又且，

，

都是上的减函数，

是定义在上的减函数，

故

，

，

不等式的解集

21. 某商品上市天内每件的销售价格(元)与时间(天)函数的关系是，该商品的日销售量(件)与时间(天)的函数关系是.

（1）求该商品上市第天的日销售金额；

（2）求这个商品的日销售金额的最大值.

【答案】（1）750元；（2）元.

【解析】

【分析】（1）根据题目提供的函数关系式分别算出该商品上市第20天的销售价格和日销售量即可；

（2）设日销售金额为元，则，分别讨论当时以及当时的情况即可．

【详解】解：（1）该商品上市第天的销售价格是元，日销售量为件.

所以该商品上市第天的日销售金额是元.

（2）设日销售金额为(元)，则.

当，

时，取得最大值为（元），

当，

时，取得最大值为(元).

所以第天时，这个商品的日销售金额最大，最大值为(元).

22. 已知函数．

（1）判断并说明函数的奇偶性；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）为奇函数（2）

【解析】

【分析】

（1）利用函数的奇偶性判断即可；

（2）由（1）知为奇函数且单调递增，将不等式恒成立分离参数，利用基本不等式解得即可.

【详解】（1）函数的定义域为，

，

所以为奇函数.

（2）由（1）知奇函数且定义域为，易证在上单调递增，

所以不等式恒成立，转化，

即对恒成立，

所以对恒成立，

即，

因，则，

所以，即，

所以，

故实数的取值范围为.

【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，属于中档题.