专题 19.12 正比例函数（培优篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 19.12 正比例函数（培优篇）（专项练习）

一、单选题

1．如图，正方形的对角线，相交于点，点在上由点向点运动（点不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，设的长为，的长为，下列图象中大致所映与之间的函数关系的是（ ）

A．B．C．D．

2．如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（　　）

A．3 B．2 C． D．

3．如图，梯形中，为中点,AB="2cm,BC=2cm," CD=0.5cm点在梯形的边上沿运动，速度为1cm/s，则的面积与点经过的路程cm之间的函数关系用图象表示大致是下图中的(       )

A． B．

C． D．

4．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

5．如图，在长形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆住.设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）

A． B． 

C． D．

二、填空题

6．新定义：[a，b]为一次函数(a≠0，,a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第_____象限．

7．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别是直线和，过点作轴的垂线交于点···过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点······依次进行下去，点的坐标为___________________．

8． 如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019=______．

9．如图，过点作x轴的垂线与正比例函数和的图象分别相交于点B，C，则的面积为________．

三、解答题

10．若函数y＝(2k－5)x＋(k－25)为正比例函数，求的值．

11．如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线y=x过点A，过点A作AD⊥y轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点,连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C.

(1)如图，当点B在线段OD上时，求证：AB=AC；

(2)①如图，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上， OA、OB、OC之间的数量关系为________(不用说明理由)；

②当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明原因.

(3)直线BC分别与直线AD、直线y=x交于点E、F，若BE=5，CF=12，直接写出AB的长.

12．如图，正方形的边长为，为上一点．设．

（1）求的面积关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）并画出这个函数的图象．

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

连接FD，易证明△ABE≌△ADF，得到BE=DF=x，∠ABE=∠ADF=45°，所以∠BDF=90°，因为正方形，易得OG⊥BD，所以OG//FD，因为点O是BD的中点，所以OG是△BFD的中位线，故OG=FD，即y=x，且x＞0，可得是正比例函数，即可求出答案．

【详解】

解：连接FD，如图所示：

∵∠BAE+∠EAD=90°，∠FAD+∠EAD=90°

∴∠BAE =∠FAD

∵AB=AD，AE=AF

∴△ABE≌△ADF

∴∠ABE=∠ADF=45°，BE=DF=x

∴∠FDB=45°+45°=90°

∵OG⊥BD，FD⊥BD

∴OG//FD

∵O是BD的中点

∴OG是△BFD的中位线

∴OG=FD

∴y=x，且x＞0

∴是k增大的正比例函数

故选A．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的证明、中位线以及一次函数，合理的作出辅助线并找到中位线是解决本题的关键．

2．D

【解析】

【分析】

设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），根据正方形的性质，即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【详解】

解：设点C的横坐标为m，

∵点C在直线y=-3x上，∴点C的坐标为（m，﹣3m），

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC∥x轴，BC=AB，

又点B在直线y＝kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

∴点B的坐标为（﹣，﹣3m），

∴﹣﹣m＝﹣3m，

解得：k＝，

经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．

故选：D．

【点拨】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键．

3．D

【解析】

【详解】

当点P在BC段运动时，的面积随着点经过的路程cm的增大而增大，并且是正比例函数，故排除A、C,当点P在DM段运动时，到达M点面积为0，此时x=3.5,据此可选D

4．B

【解析】

【分析】

首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.

【详解】

解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B．

【点拨】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．

5．A

【解析】

【分析】

根据展开图的性质分析数量关系

【详解】

由y－等于该圆的周长，得列方程式y－＝x，即y＝x

∴y与x的函数关系是正比例函数关系，其图象为过原点的直线

故选A

【点拨】考核知识点：展开图

6．二．

【解析】

【分析】

根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.

【详解】

解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，

∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，

∴m﹣2＝0，

解得：m＝2，

则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，

故点（1﹣m，1+m）在第二象限．

故答案为二．

【点拨】本题属于新定义和正比例函数的定义，解答的关键运用新定义和正比例函数的概念确定m的值.

7．

【解析】

【分析】

先根据直线和的函数解析式求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．

【详解】

由题意得：点的横坐标为1

将代入得：

则点的坐标为

由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3

将代入得：，解得

则点的坐标为

同理可得：，，，

由此可知，点的横坐标为，纵坐标为

点的横坐标为，纵坐标为

点的横坐标为，纵坐标为

归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为（其中n为正偶数）

则点的横坐标为，纵坐标为

即

故答案为：．

【点拨】本题考查了点坐标的规律探索、正比例函数的图象，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

8．

【解析】

【分析】

先结合图形确定的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得．

【详解】

解：由题意可得：当时，，

∴

∴，

∵直线l1⊥x轴，直线l2⊥x轴，直线l3⊥x轴，，直线ln⊥x轴

∴l1∥l2∥l3∥∥ln

∴当时四边形An-1AnBnBn-1是梯形

∵平行线间距离处处相等，所以梯形An-1AnBnBn-1的高为1

∴

∴

故答案为：．

【点拨】本题是规律题，考查了一次函数求点的坐标及平行线间距离处处相等，根据特殊情况找出一般规律是解题关键．

9．4.

【解析】

【分析】

把点A（2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x和y=3x，求得B、C点的坐标，进一步求得BC的长度，利用三角形的面积求得答案即可．

【详解】

解：把分别代入和中，可得点B的坐标是，点C的坐标是，所以．因为点，所以，所以．

【点拨】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B、C两点的坐标是解决问题的关键．

10．

【解析】

【详解】

∵函数为正比例函数，

∴ ，解得：，

∵，，，，

∴，

=，

=，

=，

=.

11．（１）证明见解析；(2)①OA=（OC+OB）；②OA=（OB-OC）； (3)10；； 15．

【解析】

【分析】

（1）过点A作AE⊥OC于点E,先证明四边形ADOE是正方形，再证明Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS），从而求得结论；

(2)①过点A作AE⊥OC于点E,方法同（1）证明四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，△AOD是等腰直角三角形，再应用勾股定理即可得结论OA=（OC+OB）；

②方法同①得结论：OA=（OB-OC）；

（3）①当点B在线段OD上时，将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF′，连接EF′，证明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13，再证明△AEF≌△AEF′，所以EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，而△ABC是等腰直角三角形，所以AB==10;   

②当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上时，方法同①，解得：AB=15;

③当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上时，方法同上,解得:AB= .

【详解】

（1）过点A作AE⊥OC于点E,

∵AD⊥y，点A在y=x上，∠DOE=90°

∴四边形ADOE是矩形，AE=OE，

∴矩形ADOE是正方形，

∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°,

∴∠DAB=∠EAC，

又∵∠BDA=∠CEA=90°

∴Rt△ADB≌Rt△AEC

∴AB=AC.

(2)① 过点A作AE⊥OC于点E,

方法同（1）得，四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，

∴OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD，即OD=（OC+OB）

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：OA=OD =×（OC+OB）=（OC+OB），

即OA=（OC+OB），

②过点A作AE⊥OC于点E,

方法同（1）得，四边形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，

∴OB-OD=OC+OE，即OB-OC=OD+OE=2OD=OA，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：OA=OD，OD= OA ，

∴OB-OC= OD+OE=2OD=OA，即OB-OC=OA，

∴OA=（OB-OC）．

（3）①当点B在线段OD上时，

将△AFC绕点A顺时针旋转90°，AC与AB重合，变为△ABF′，

连接EF′，

BF′=CF=12，∠ACB=∠ABC=∠ABF′=45°，∠CBF′=∠ABC+∠ABF′=90°，

所以∠EBF′=90°,

又∵BE=5，

∴EF′=13，

∵∠F′AO=90°，   ∠FAE=∠F′AE=45°，AE=AE，AF=AF′，

∴△AEF≌△AEF′

∴EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，

由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，

∴AB==10；

②当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上时，

方法同①，旋转△AFC到△AF′B，

证出∠EBF′，EF′=13=EF，BC=BE+EF+FC=5+13+12=30，

所以等腰直角三角形ABC的直角边AB=15；

③当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，

已证△ABC是等腰直角三角形，

过点B作BF′⊥BC于点B，截取 BF′=CF=12， 连接F′E、F′A，

∵BE=5，

∴∠ABF′=∠ACF=135°,EF′=13,AB=AC，

∴△ABF′≌△ACF，

可得AF′=AF，∠BAF′=∠CAF，

∴∠BAC=∠F′AF=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF=45°=∠EAF′，又AE=AE

∴△EAF≌△EAF′，

∴EF=EF′=13，EC=EF-CF=13-12=1，BC=BE+EC=1+5=6，

∴在等腰直角三角形ABC中，直角边AB=3.

综上可得,AB的值为10；； 15．

【点拨】本题是一次函数综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、一次函数的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．

12．（1），；（2）图象是一条线段．

【解析】

【分析】

（1）SADP =DP AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0<PD ；

（2）由（1）得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围．

【详解】

解：（1），

∴     ，；

（2）此函数是正比例函数，图象经过，

因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段．

【点拨】本题考查三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方．