2023青岛二中高一上学期12月月考数学试题含答案

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高一数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列各式正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数在区间上的零点至少有（     ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．下列各组函数表示相同函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

5．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）

A． B． C． D．

6．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．设正实数分别满足，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

8．若函数的定义域为，若存在实数，，使得，则称是“局部奇函数”．若函数为上的“局部奇函数”，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（    ）

A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+d

C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则

10．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

11．下列不等式一定成立的有（    ）

A．

B．当时，

C．已知，则

D．正实数满足，则

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为

B．将的图象经过适当的平移后所得的图象可关于原点对称

C．若在上有最小值－2，则

D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．求值：=___________.

14．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：，）

15．若“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.

16．幂函数，当取不同的正数时，在区间,上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么______.

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（1）设全集，集合，，求

（2）若求函数的最小值.

18．若函数满足

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，试判断的奇偶性，并证明.

19．设函数

(1)若不等式的解集为，求的值；

(2)若，时，求不等式的解集．

20．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州（途经站点如图所示）．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为．

(1)求的表达式；

(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．

21．已知定义在上的奇函数,当时.

（1）求函数的表达式；

（2）请画出函数的图象；

（3）写出函数的单调区间.

22．已知函数在区间单调递减，在区间单调递增．

（1）求函数在区间的单调性；（只写出结果，不需要证明）

（2）已知函数，若对于任意的，有恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

1．C

由题意，全集，，，

可得，所以.

故选：C.

2．A

对于A， ，正确；

对于B， ，错误；

对于C， ，错误；

对于D， ，错误；

故选：A.

3．B

因为函数的图像是连续不断的，

且，由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，

因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，

因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，

综上：函数在区间上的零点至少有3个.

故选：B

4．C

解：对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；

对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.

故选：C

5．D

根据幂函数的性质，

在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，

故选：D

6．A

解：偶函数在上是增函数，

函数在上为减函数，则，

则不等式等价为时，，此时，解得，

当时，，此时，解得，

当时，显然满足题意，

综上不等式的解为或，即的取值范围为.

故选：A．

7．B

由已知可得，，，

作出的图像如图所示：

它们与交点的横坐标分别为，

由图像可得，

故选：B

8．A

由题意知，方程有解，

则，

化简得，

当时，不合题意 ；

当时，可得，因为，当且仅当时等号成立，

所以，

当时，化简得， 解得；

当时，化简得， 解得，

综上所述的取值范围为，

故选：A

9．AB

解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，

由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，

当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，

令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.

故选：AB.

10．ACD

解：因为，且，

所以，所以，

当且仅当时，取等号，故A正确；

，所以，当且仅当时，取等号，故B错误；

，所以，当且仅当时，取等号，故C正确；

，所以，

当且仅当，即时，取等号，故D正确.

故选：ACD.

11．CD

选项A：当时显然有，A错误；

选项B：，

当时，，由均值定理得，当且仅当即时等号成立，

所以当且仅当时取得最小值8，B错误；

选项C：因为，

所以，当且仅当时等号成立，

又，当且仅当即时等号成立，

综上，当且仅当即时等号成立，C正确；

选项D：因为，由得，

所以，当且仅当即时等号成立，

所以，D正确；

故选：CD

12．ABD

对A：要使函数有意义，只需，即，故A正确；

对B：因为，

所以的图象关于点成中心对称可经过平移后可关于原点对称，故B正确．

对C：由B可知，

当且时，，在上递减，，解得，但不合题意，舍去；

当时，，在上递增，，解得，符合题意．

综上得，，故C错．

对D：∵，，

∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，

∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，

，故D正确．

故选：ABD.

13．0

故答案为：0

14．年后产生的垃圾为，故，

即，即，即，故，

故年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.

故答案为：

15．

当时，原式，成立；

当时，开口向下，显然有解；

当时，只需，解之：或。

故答案为：

16．1

解：，点，，所以

，分别代入，

故答案为：1.

17．（1）；（2）.

解：（1）根据题意得，，=

（2），则

（当且仅当即时等号成立），故

18．(1)

(2)偶函数，证明见解析

（1）由于，

所以.

（2），

为偶函数，证明如下：

的定义域为，

且，

所以是偶函数.

19．(1)

(2)答案见解析

（1）函数 ，

由不等式的解集为，得，

且1和3是方程的两根；则，

解得

（2）时，不等式为，

可化为，

因为，所以不等式化为，

当时，，解不等式得或；

当时，不等式为，解得；

当时，，解不等式得或；

综上：时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

20．(1)

(2)时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元

（1）由题知，当时，

当时，可设，

又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，

∴，解得．

此时，

∴

（2）由（1）知： ，

∵时，，当且仅当等号成立，

∴时，，

当上，单调递减，则，

综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元．

21．（1）；（2）见解析；（3）递增区间是；递减区间是

（1）设

又是定义在上的奇函数,

所以

当时,

所以

（2）图象：

（3）递增区间是

递减区间是

22．（1）在区间的单调递增，在区间的单调递减；（2）．

解：（1）因为函数在单调递减，在单调递增，

所以，当时函数在单调递减，在单调递增．

易知函数为奇函数，

所以函数在区间的单调递增；

在区间的单调递减．

（2）由题意，对任意的，有恒成立，

即对于任意的，恒成立，

等价于．

设，

易知，当且仅当，即时，函数取得最小值，

由题设知，函数在上单调递减，在上单调递增．

又因为，且，，而，

所以当时，．

所以，即，

故所求实数的取值范围是．