2023沈阳二中高一上学期12月月考数学试题含答案

沈阳二中2022—2023学年度上学期12月月考

高一（25届）数学试卷

考试时间：120分钟        试题满分：150分

命题人：程林 校对：孙健

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.

【详解】因为集合，

集合，

所以，

故选：A

2. 某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为人，则样本容量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量

【详解】由题意得样本容量为

故选：A

3. 一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（    ）

A. 都是黑球 B. 恰好有1个黑球 C. 恰好有1个红球 D. 至少有2个红球

【答案】B

【解析】

【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．

【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，

在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误，

在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确，

在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误，

在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故错误．

故选：．

4. 考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参考数据：）（    ）

A. 4011 B. 3438 C. 2865 D. 2292

【答案】A

【解析】

【分析】利用题目所给的衰变规律计算出的范围即可.

【详解】由题可得，两边同取以2为底的对数，得，

所以，则推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.

故选：A.

5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.

【详解】因为函数在上连续单调递增，

且,

所以函数零点在区间内，故选C.

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

6. 设函数，若函数的最大值为－1，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得时的值域，当时，根据二次函数图象与性质可得，根据题干条件，列出不等式，即可得答案.

【详解】当时，为单调递减函数，

所以当x=1时，，

当时，，为开口向下，对称轴为x=-1的抛物线，

所以当x=-1时，有最大值，

由题意得，解得，

故选：D

7. 已知函数有4个零点，则k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题，如图分析临界直线，可得的取值范围.

【详解】,即，函数表示恒过点的直线，如图画出函数，以及的图象，

如图，有两个临界值，一个是直线过点，此时直线的斜率，另一个临界值是直线与相切时，联立方程得，，解得：，或，

当时，切点是如图，满足条件，当时，切点是不成立，所以，

如图，曲线与直线有4个交点时，的取值范围是.

故选：B

8. 已知函数，若不等式（是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数的最小值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

先判断函数的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到，只需要求二次函数的最大值，即解得的范围，再利用对数式比大小即得到整数的最小值.

【详解】由指数函数性质知和在R上是递增函数，故在R上是递增函数.又，故是奇函数.

故不等式即转化为： ，即，故，所以，而对称轴为，根据二次函数对称性可知对任意的上，当时，，故，故，而，即，故整数的最小值是4.

故选：C.

【点睛】本题解题关键在于先判断函数的单调性和奇偶性，并结合性质化简恒成立式，再解决恒成立问题即可，解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.

二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9. 某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（    ）

A. 中位数为3 B. 众数为3，6，8

C. 平均数为5 D. 方差为4.8

【答案】BC

【解析】

【分析】根据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可容易选择.

【详解】对数据2，6，8，3，3，4，6，8，

按照从小到大排序即为，中间两个数字为：，

故其中位数是，故错误；

显然数据均出现次，故众数为，则正确；

又其平均数为，故正确；

则其方差为：，故错误.

故选：

【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简单题.

10. 下列所给函数中值域为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】

A. 利用幂函数的性质判断；B.令 ，转化为指数函数判断；C. 令，转化为对数函数判断；D. 分和 讨论求解判断.

【详解】A. 因为的定义域为，因为函数在上是减函数且为偶函数，所以其值域是，故正确；

B.令 ，则，故错误；

C. 令，则，故错误；

D. 当时，，当 时，，综上：，故正确；

故选：AD

11. 下列判断不正确的是（    ）

A. 函数在定义域内是减函数

B. 的单调减区间为（4，＋∞）

C. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（－4，1）

D. 已知在R上是减函数，则a的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式、分段函数单调性进行判断即可.

【详解】A：因为，显然不符合减函数的性质，所以A不正确；

B：函数定义域满足

所以定义域为，设在上单调递增，单调递增，由复合函数的单调性的单调增区间为（4，＋∞），所以B不正确.

C：因为，所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，要想恒成立，只需

，故C正确；

D：当时，是减函数，则，即，

当时，是减函数，则，又因为

函数在R上是减函数，还需要满足

即，综上a的取值范围是，故D不正确.

故选：ABD

12. 已知函数，使得“方程有6个相异实根”成立的充分条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】令.经过分析可得，要使方程有6个相异实根，则应满足方程有两个不同的解、，且满足，.结合，.即可得到，构造对勾函数，根据单调性即可得到，即可得到的范围，进而得到答案.

【详解】令，方程可化为，该方程最多有两个解.

当，即或时，

方程有两个不同的解，设为、，

则由韦达定理可得，.

当时，在处有最大值1.

作出的图象如下图.

由图象可得，当时，与函数有3个交点，即方程有3个解.

要使方程有6个相异实根，

则应有，，且.

又，.且，当且仅当时，等号成立.

因为，所以，即，所以.

因为，，则，即，所以.

又，所以.

所以，令，

根据对勾函数的性质可得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.又，所以时，有恒成立，即.

所以，即，则有.

即“方程有6个相异实根”成立的充要条件是.

所以，“方程有6个相异实根”成立的充分条件的范围应该为上述范围的子集.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，，则用“＜”连接这三个数应为________.

【答案】

【解析】

【分析】分别利用函数、、的单调性求出a、b、c的取值范围，进而得出结果.

【详解】因为函数在上单调递增，且，

所以，即；

因为函数在R上单调递增，且-3.2<0，

所以，即；

因为函数在上单调递减，且6>1，

所以，即，

故.

故答案为：

14. 已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

【答案】

【解析】

【详解】 由四个函数①；②；③；④，

 从中任选个函数，共有种，

 其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，

 所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.

15. 函数的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：

所以，当，即时，取得最小值.

所以答案应填：.

考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.

16. 设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“双倍函数”，若函数为“双倍函数”．则实数t的取值范围是___．

【答案】

【解析】

【分析】根据题设条件可得的两个不同的解，利用对数的运算和换元法可得在上有两个不同的正数解，结合根分布可求参数的取值范围.

【详解】因为为增函数，设此函数的值域为，

则，而在上为增函数，

故为上的增函数，

由为“双倍函数”，故，

故为方程的两个不同的解，

故即方程有两个不同的解，

设，则在上有两个不同的正数解，

故，解得.

故答案为：.

四、解答题：本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）若p为真命题，求此不等式的解集；

（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分式不等式的求解方法，可得答案；

（2）根据充分条件的集合表示形式，利用分类讨论，根据含参二次不等式，可得答案.

【小问1详解】

已知P为真命题，由，，可得，

所以．所以不等式的解集为.

【小问2详解】

因为p是q的充分条件，所以对应的集合是所对应集合的子集．

q：，可得

①当时，q：；因为对应的集合是所对应集合的子集，所以，可得．

②当时，q：，所以不符合题意；

③当时，q：；因为对应的集合是所对应集合的子集，所以，无解．

所以m的取值范围为．

18.

（1）先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7.求，；

（2）某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．

【答案】（1），；   

（2）平均分为115，方差为265.

【解析】

【分析】（1）求出试验样本空间，写出各个事件包含的基本事件，根据古典概型公式即可求出；

（2）根据各层的平均数估计总体平均数，将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时，首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式，代入数据即可求得.

【小问1详解】

抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对.用数字表示第一枚骰子出现的点数是，数字表示第一枚骰子出现的点数是，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间

，其中共有36个样本点.

由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.

因为，所以，所以；

因为

，

所以，所以.

【小问2详解】

A班学生成绩用来表示，B班学生成绩用来表示.

设A班平均成绩为，方差为；B班平均成绩为，方差为.

则，，，.

全体学生的平均成绩为，

全体学生的方差

.

由，可得.

同理可得，.

因此，

.

所以，全体学生的平均分为115，全体学生成绩的方差为265.

19. 已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，

(1)求g(x)的解析式及定义域；

(2)求函数g(x)的最大值和最小值．

【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.

【解析】

【详解】（1）f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，

因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．

于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．              

（2）设．                                  

∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；        

当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．

20. 为了选择奥赛培训对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

（2）从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；

（3）已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；

（2）首先确定第百分位数位于，设其为，由可求得结果；

（3）根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知平均数.

【小问2详解】

成绩在的频率为，成绩在的频率为，

第百分位数位于，设其为，

则，解得：，第百分位数为.

【小问3详解】

第组的人数为：人，可记为；第组的人数为：人，可记为；

则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；

其中至少人成绩优秀的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；

至少人成绩优秀的概率.

21. 已知函数为偶函数，且．

（1）求值，并确定的解析式；

（2）若(且)，求在上值域．

【答案】（1），；（2）当时，函数的值域为，当时，的值域为.

【解析】

【详解】试题分析：（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，因为，所以或，验证后可知，；（2）由（1）知，函数在上单调递增，故按，两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.

试题解析：

（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，

因为，所以或，

当时，它不是偶函数；

当时，是偶函数；

所以，；

（2）由（1）知，

设，则，此时在上的值域，就是函数的值域；

当时，在区间上是增函数，所以；

当时，在区间上是减函数，所以；

所以当时，函数的值域为，当时，的值域为．

考点：幂函数单调性，复合函数值域.

【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意，可以判断函数在上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.

22. 设函数，．

（1）若函数有零点，求实数m的取值范围；

（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）若存在不相等的实数a，b同时满足方程和，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）奇函数，理由见解析

（3）．

【解析】

【分析】(1)换元利用分析函数的零点问题即可.

(2)先判断定义域关于原点对称,再计算即可证明为奇函数.

(3)由(2)知为奇函数且,故可推导出,再根据代入换元求解即可.

【详解】(1)令,则函数,又函数有零点

令则因为,故,故

(2) 为奇函数.

由定义域恒成立.且

.即

故为奇函数.

(3)因为为奇函数,且在上为减函数,故为在上单调递减的奇函数.

又,故

又则,即

所以.令,则,又当时不满足,故

又在上单调递增.故

即

【点睛】本题主要考查了换元法解决二次函数有关的复合函数问题,同时也考查了奇偶函数的判断与证明与奇偶性的运用等.属于难题.