2023青岛二中高一上学期1月期末数学试题含答案

2022-2023第一学期期末测试

高一数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列能正确表示集合和关系的是（    ）

A． B．

C． D．

2．若，是第二象限的角，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）公众号高中试卷资料下载

A．60 B．63 C．66 D．69

7．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（    ）

A． B．

C．D．

8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知幂函数的图象过点，则（    ）

A．

B．

C．函数在上为减函数

D．函数在上为增函数

10．下列各式的值等于1的有（    ）

A．  B．

C． D．

11．定义在R上的函数满足：对任意的，有，集合A}，若“”是“”的充分不必要条件，则集合B可以是（    ）

A． B．

C． D．

12．若函数对，，不等式成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角．

14．已知幂函数的图象经过点，则___________．

15．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则______________.

16．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是_______．

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．求值：

(1)

(2)

18．已知全集，集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

19．已知函数，

（1）判断的奇偶性；

（2）用定义证明在上为减函数.

20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，.

（1）求的值；

（2）求.

21．设函数，若实数使得对任意恒成立，求的值.

22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.

（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

参考答案

1．A

求出集合N，再求出即可得答案.

解：，

故，

故选：A

2．C

先求得，然后求得.

由于，是第二象限的角，

所以，

所以.

故选：C

3．A

根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果

半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.

故选：A.

4．C

根据对数函数与指数函数的性质，分别判断，，的范围，即可得出结果.

因为，，，

所以.

故选：C.

5．B

本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.

因为函数满足对任意的，都有成立，

所以函数是定义在上的减函数，

所以，解得，所以

故选：B

本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.

6．C

将代入函数结合求得即可得解.

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

7．A

根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.

对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；

对于B， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；

对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；

对于D， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；

故选：A

关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.

8．C

根据函数只有一个零点可得，又不等式的解集为，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终可得，联合即可得的值.

解：函数只有一个零点，则，

不等式的解集为，即的解集为.

设方程的两根为，则，且，

∴，则，整理得，.

故选：C.

9．BC

根据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A错误、故选项B正确.根据幂函数的单调性可判断C 正确、D错误.

∵为幂函数，∴，即，

∴或，

当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A错误：

当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B正确；

因为幂函数在上为减函数，故选项C正确；

因为幂函数在上为减函数，故选项D错误.

故选：BC

10．AD

根据同角平方关系可判断A，根据诱导公式可判断BCD.

，选项A正确；

，选项B错误；

，选项C错误：

，选项D正确，

故选:AD

11．CD

可先判断出函数在R上单调递减，结合图象即可得，再由“”是“x∈B”的充分不必要条件，对应集合是集合的真子集即可求解.

依题意得，函数在R上单调递减，且图象过点

在同一坐标系下画出函数与的图象，

由图易知不等式的解集为，即，

因为“”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集．

可以取满足集合是集合的真子集．

故选：CD.

12．ACD

令，题中条件转化为判断在上是减函数，再逐项构造函数，进行判断即可．

若函数满足对，，当时，不等式恒成立，

则，

令，因为，则，，且恒成立，

在上是减函数，

对于A选项，，则，对称轴是，开口向下，所以在递减，故A正确；

对于B选项，，则在上单调递增，故B错；

对于C选项，，则在上显然单调递减，故C正确；

对于D选项，，则，因为与在都是减函数，所以在递减，故D正确；

故选：ACD

关键点点睛：

求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满足上恒成立，根据单调性的定义，判断新函数的单调性，即可求解.

13．第三象限角

试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，

可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0，

则α是第三象限角．

考点：三角函数值的象限符号.

14．4

由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．

设，则，，即，

所以．

故答案为：4

15．

由题，分别化简的值代入即可.

因为，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.

16．

∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，

∴，解得：，

故答案为

17．(1)6

(2)0

(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可；

(2)根据诱导公式化简求值即可.

（1）

；

（2）

．

18．(1)或；

(2)或.

（1）确定集合A，B，求出集合B的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案.

（2）求出集合A的补集，根据，列出相应不等式，求得答案.

（1）集合，

当时，，则或，

故或；

（2）由题意可知或 ，,

由，则或，

解得或.

19．(1)奇函数；(2)证明见解析.

试题分析：

(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇函数.

(2)利用函数单调性的定义设设是上的任意两数，且，讨论的符号即可证明函数在上为减函数.

试题解析：

（1）函数的定义域为，

又

∴是奇函数.

（2）证明：设是上的任意两数，且，

则

∵且，

∴

即.

∴在上为减函数.

点睛：判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．

20．（1）；（2）.

（1）由三角函数的定义即可求解；

（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出的值.

（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，

将代入，因为是锐角， ，所以，

由三角函数的定义可得：，

（2）由，是锐角，可得，

因为锐角的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，

将代入，因为是锐角， ，可得，

所以，，

所以，

因为，，所以，

所以.

21．

整理得，，

则可整理得，

，据此，列出方程组，

，解方程组，可得答案.

解：，

，

即，

即，

化为：，

依题意，对任意恒成立，

，

由得：，

故答案为：

22．（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.

（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；

（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；

（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.

（1）对于函数的定义域内存在，则无解，

故不是“依赖函数”.

（2）因为在上递增，故，即，，

由，故，得，

从而在上单调递增，故.

（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；

②若，故在上单调递减，

从而，解得(舍)或，

从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，

即恒成立，

由，得.

由，可得，

又在单调递减，故当时，，

从而，解得，

综上，故实数的最大值为.

方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：

① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

② 数形结合( 图象在 上方即可)；

③ 讨论最值或恒成立.