2023青岛二中高二上学期12月月考数学试题含答案

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高二数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，若∥，则与的值分别为（    ）

A． B． C． D．

2．已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于

A． B． C． D．

3．数列为等差数列，为等比数列，，则

A． B． C． D．

4．已知为数列的前n项和，，那么（    ）

A．－4 B． C． D．

5．已知直线与直线互相垂直，则（    ）

A．-3 B．-1 C．3 D．1

6．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

7．已知为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量的夹角为（   ）

A． B． C． D．

8．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为平方米，水渠深米，水渠壁的倾角为，则当该水渠的修建成本最低时的值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知数列的前n项和，数列满足，若，，（，）成等差数列，则k的值不可能是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

10．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则直线平面

B．若，则直线平面

C．若，则直线与平面所成角的大小为

D．若，则平面，所成二面角的大小为

12．以下四个命题表述正确的是（   ）

A．若点在圆外，则实数m的取值范围为

B．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于

C．圆和圆外切

D．实数满足，则的取值范围是

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．直线l过点，，则直线AB的方程为______．

14．抛物线的焦点坐标是_______________．

15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.

①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为；

④三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为.

16．已知数列的前项和为，且，，则______；若恒成立，则实数的取值范围为______.

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：.

18．求下列各圆的方程，并面出图形.

（1）圆心为点，且过点；

（2）过，，三点．

19．已知正方体.

(1)求证:.

(2)求二面角的大小.

20．已知是首项为2的等比数列，各项均为正数，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

21．如图，平面，，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)若二面角的余弦值为，求线段的长.

22．已知椭圆：的焦距为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.

参考答案

1．A

由于，所以，且.

故选：A.

2．D

右焦点到其渐近线的距离等于为，故,故离心率等于，故选D

3．D

试题分析：设等差数列的公差为，则，又成等比数列，所以，即，解之得，所以等差数列为常数列，所以，故选D．

考点：1．等差数列的定义及性质；2．等比数列的定义与性质．

4．C

因为，

当时，，

当时，由

得，

两式相减得，

即，又，

所以是等比数列，

，则，

故选：C

5．D

直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，

，解得.

故选：D

6．C

由向量的运算法则，可得.

故选：C.

7．C

设为与的夹角，且，则，

∵当且仅当时，取得最小值，

∴，即，

∵，

∴

故选：C

8．C

作出横截面如下图所示，其中，，，，则，

，，，

又梯形的面积，

，，

设，

则；

若取最小值，则取得最小值；

表示点与点连线的斜率，

的轨迹为，

可作出图象如下图所示，

则当过的直线与相切时，取得最小值，

设切线方程为：，即，

到切线距离，解得：，

即当时，取得最小值，此时，

则，即当时，该水渠的修建成本最低.

故选：C.

9．AD

当时，，当时，，故（），（）．因为，，（，）成等差数列，所以，即，所以，（，），从而的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，

故选:AD．

10．BC

直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，

由倾斜角定义知，，，，故C正确；

由，知，，，，故B正确；

故选：BC

11．BC

对于A：若，则直线平面，或直线平面，故A错误；

对于B：若，根据平行的传递性可得直线平面，故B正确；

对于C：因为直线与平面所成角范围为，且若，即与的夹角为，

所以直线与平面所成角的大小为，故C正确；

对于D：因为两面所成角范围为，若，则平面，所成二面角的大小为或，故D错误.

故选：BC

12．ABD

A, 点在圆外,

,，A选项正确.

B,圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，

所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，B选项正确.

C,的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，

所以圆心距为，所以C选项错误.

D,圆的圆心为，半径为，

表示圆上的点与点连线的斜率，

当直线与圆相切时，如图所示，

，所以，

结合对称性可知的取值范围是，D选项正确.

故选：ABD

13．

因为直线过点，，

故可得直线的斜率，

根据点斜式方程可得

整理化简得.

故答案为：.

14．

15．①②③

解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，，

则，

故，，，

结合图像易得①②正确；

三组对棱长度分别为，，，则，，，

因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，

所以等腰四面体的体积，③正确；

三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径，④错误.

故答案为：①②③.

16．         

由，，得，，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以，，

.

又，所以恒成立，

即，恒成立.

令，则，所以是递减数列，

所以，，即，

实数的取值范围为.

故答案为：；.

17．(1)

(2)见解析.

(1)

设的公差为 ，因为，，成等比数列，

所以 ，

因为是递增，所以，故 ，所以.

(2)

,

所以 ，

因为 单调递减，所以 单调递增，

故当 时， ，而，

故.

18．（1）（图见解析）（2）（图见解析）

（1）由题意知半径,

所以圆的方程为：.

（2）设圆的一般方程为：.

将，，代入得：

所以圆的方程为：.

19．(1)证明见解析；(2).

设正方体边长为a，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示空间直角坐标系，其中

(1) ，，

，则；

(2)设分别为平面，平面的法向量，的夹角为，

，

则，令可得，

，

则，令可得，

所以，则的夹角为，

所以二面角的大小为.

20．（Ⅰ）（Ⅱ）

（I）设的公比为，由，

得

或.

又的各项均为正数，

（II）

21．(1)证明见解析

(2)；

(3)

（1）

证明：因为平面，，在平面内，

则，，又，

故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

可得，，，，.

设，则.

则是平面的法向量，又，可得.

又∵直线平面，∴平面；

（2）

依题意，，，.

设为平面的法向量，

则令，得.

∴.

∴直线与平面所成角的正弦值为；

（3）

设为平面的法向量，

则，取，可得，

由题意，，

解得.经检验，符合题意.∴线段的长为.

22．（1）（2）

解：（1）由题意可知椭圆的左、右焦点分别为，，

又椭圆经过点，所以，

即，

所以，即，

又，所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，由，消去得

.设，，，

则有，即，

又，.

因为四边形为平行四边形，所以，故，

，

所以，

由点在椭圆上可得，化简得

而 .

又因为，所以，

所以，

所以.

又点到直线的距离，

故的面积.

所以平行四边形的面积为.