安徽省滁州市凤阳县大庙中学2022-2023学年 九年级上学期数学第三次月考测试题(含答案)

这是一份安徽省滁州市凤阳县大庙中学2022-2023学年 九年级上学期数学第三次月考测试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省滁州市凤阳县大庙中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（本大题共10小题，满分40分）
1．下列三角函数的值是无理数的是（　　）
A．tan45° B．sin30° C．cos60° D．tan30°
2．二次函数y＝x2+2x+2与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．
4．已知m：n＝2：1，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，a∥b∥c，直线AC，DF被直线a，b，c所截，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则下列判断正确的是（　　）

A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0

7．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，CD与BE交于点F，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（　　）

A．∠ABE＝∠ACD B．
C． D．AD•AB＝AE•AC
8．如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，若OA2＝OB•OC，则下列结论正确的是（　　）

A．sin∠1＝cos∠2 B．tan∠OAB＝tan∠1
C．cos∠1＝cos∠CAB D．sin∠OAB＝cos∠1
9．反比例函数和的图象如图，点A，C分别是x轴、y轴上的点，四边形OABC是正方形，AB，BC分别与反比例函数y2，y1的图象交于点F，H和点E，G，若OA＝3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点O是BC的中点，点D是CA延长线上的一点，以OD为斜边向左侧作等腰Rt△DOE，OE与AB交于点F，连接AE，AE平分∠OED．下列结论不成立的是（　　）

A．△BOF∽△EAF B．△BOF∽△CDO C．OB2＝OF•OD D．OD2＝DF•DC
二、填空题（本大题共4小题，满分20分）
11．若抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点在直线y＝﹣2x+1上，则m＝　 　．
12．如图，直线y＝2与双曲线与分别交于点A，B，已知点C的坐标为（0，﹣1），则△ABC的面积为 　 　．

13．如图，楼AB和树CD都垂直于水平地面BD，若楼高AB＝25米，楼与树之间的距离BD为米，∠BAC＝60°，则树高CD为 　 　米．

14．如图，点P是正方形ABCD内部的一点，连接AP，BP，DP，∠1＝∠2．
（1）若AB＝m，tan∠2＝，则△ABP的面积为 　 　（用含m的代数式表示）；
（2）若AB＝2，△PAB中的一个锐角的正切值为2，则△PAD的面积为 　 　．


三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．计算：|1﹣2tan45°|﹣（﹣tan60°）2+（cos60°﹣sin60°）0．
16．如图，△ABC的三个顶点都位于平面直角坐标系的网格点上．
（1）以点A为位似中心，在下列平面直角坐标系的网格内画出△ADE，使得△ADE与△ABC位似，且位似比为3：1；
（2）若△ABC的周长为m，面积为n，则△ADE的周长为 　 　，面积为 　 　．


17．已知二次函数．
（1）确定该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？

18．如图，一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数图象交于点A（﹣2，2），B（1，a）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）不等式的解集为 　 　．



19．如图，一副三角板按图放置（∠A＝60°，∠DCE＝45°），CE与CB边重合，CD与AB交于点F．
（1）若CF＝，求AF的长；
（2）探索AF与BF之间的数量关系，并说明理由．

20．某中药厂销售一种中药产品，每瓶生产成本为30元．销售过程中发现，每周销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的关系满足一次函数：y＝﹣10x+700．
（1）该中药厂每周获得的利润为w（元），则每周可获得的最大利润是多少元？
（2）如果该中药厂想要每周获得3000元的利润，为了减少库存，那么销售单价应定为多少元？
21．我国南北朝数学家祖冲之研制了水碓磨﹣利用水力舂米的器械．《天工开物》中绘有一个水轮带动四个碓的画面，如图1．碓杆AB的简意图如图2，OM是垂直水平地面的支柱，AB＝8米，OA：OB＝1：3．当点A位于最低点时，∠AOM＝60°；当点A位于最高点A′时，∠A′OM＝108.2°．过点O作直线EF垂直于OM，分别过点B，B′作BC⊥EF，B′D⊥EF，垂足分别为C，D．
（1）求∠BOD和∠B'OD的度数；
（2）求点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离（即求BC+B′D的长）．（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，tan18.2°～≈0.33）


22．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P是抛物线上的一点，且tan∠BAP＝1，求点P的坐标；
（3）设直线BC的表达式为y＝mx+c，若关于x的一元一次方程x2﹣2（b﹣m）x+2n＝0有两个正实数根，直接写出n的取值范围．

23．已知，矩形ABCD中，点F在CD上，连接BF交AC于点E．
（1）若AC⊥BF于点E，如图1．
①证明：△ACD∽△CBE；
②若DF＝AB，求∠BAC的度数；
（2）若，点F是CD的中点，连接AF，如图2，求sin∠CAF的值．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，满分40分）
1．解：A、tan45°＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、sin30°＝，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、cos60°＝，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、tan30°＝，是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴二次函数y＝x2+2x+2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y＝x2+2x+2与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
3．解：∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
4．解：∵m：n＝2：1，
∴m＝2n，
∴＝＝＝，
故选：C．
5．解：∵a∥b∥c，
∴＝，A正确，不符合题意；
＝＝，B错误，符合题意；D正确，不符合题意；
＝，C正确，不符合题意；
故选：B．
6．解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴＜0．
∵a＜0，
∴b＞0．
综上，a＜0，b＞0，c＞0．
故选：B．
7．解：∵∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
故A选项不符合题意；
∵∠，∠DFB＝∠EFC，
∴△DFB∽△EFC，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
故B选项不符合题意；
∵，∠BAE＝∠CAD不能推出△ABE∽△ACD，
∴C选项符合题意；
∵AD•AB＝AE•AC，
∴，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
故D选项不符合题意；
故选：C．
8．解：∵OA2＝OB•OC，
∴，
∵∠AOC＝∠BOA＝90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠1＝∠2，
∵∠2+∠OAB＝90°，
∴∠1+∠OAB＝90°，
∴sin∠OAB＝cos∠1，
故选D．
9．解：∵四边形OABC是正方形，OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（﹣3，3），C（0，3），
把x＝﹣3分别代入和得，y1＝﹣＝，y2＝﹣＝，
∴H（﹣3，），F（﹣3，），
∴BF＝3﹣＝，BH＝3﹣＝，
把y＝3分别代入和得，x1＝﹣，x2＝﹣，
∴E（﹣，3），G（﹣，3），
∴BG＝﹣﹣（﹣3）＝，BE＝﹣﹣（﹣3）＝，
∴＝＝＝，
∴EF∥GH，
∴＝＝，
故选：A．
10．解：如图，设OD交AE于点G，交AB于点H，
∵DE＝OE，∠OED＝90°，
∴∠EOD＝∠EDO＝45°，
∵AE平分∠OED，
∴∠AEF＝∠AED＝∠OED＝45°，EA⊥OD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠OFB＝∠AFE，
∴△BOF∽△EAF，
故A正确；
∵∠DAH＝180°﹣∠BAC＝90°，∠AGH＝90°，
∴∠EAF＝∠CDO＝90°﹣∠AHG，
∴∠BOF＝∠EAF＝∠CDO，
∴△BOF∽△CDO，
故B正确；
∵＝，OB＝OC，
∴＝，
∴＝，
∵∠B＝∠FOD＝45°，
∴△BOF∽△ODF，
∴＝，
∴OB•DF＝OF•OD，
∴OB2≠OF•OD，
故C错误；
∴∠ODF＝∠BOF＝∠CDO，∠FOD＝∠C＝45°，
∴△ODF∽△CDO，
∴＝，
∴OD2＝DF•DC，
故D正确，
故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，满分20分）
11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m的对称轴x＝1，顶点在直线y＝﹣2x+1上，
∴顶点即为抛物线和直线的交点，
把x＝1代入y＝﹣2x+1，得y＝﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴﹣1＝1﹣2+m，
∴m＝0，
故答案为：0．
12．解：把y＝2分别代入双曲线得，x＝﹣，
把y＝2分别代入双曲线可得，x＝，
所以AB＝﹣（﹣）＝2，
所以S△ABC＝×2×（1+2）＝3，
13．解：过C作CE⊥AB于E，

∵BD＝EC＝10米，∠BAC＝60°，
∴AE＝10米，
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝25﹣10＝15（米），
故答案为：15．
14．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠1+∠ABP＝90°，
∵∠1＝∠2．
∴∠2+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵tan∠2＝＝，
设PB＝x，则AP＝2x，
∵AB＝m，
∴x2+（2x）2＝m2，
∴x2＝，
∴△ABP的面积＝AP•BP＝x•2x＝x2＝，
故答案为：；
（2）如图，过点P作PQ⊥AD于点Q，

∵△PAB中的一个锐角的正切值为2，
∴分两种情况：
①当tan∠2＝＝2，
设PB＝2x，则AP＝x，
∵AB＝2，
∴x2+（2x）2＝22，
∴x2＝，
∵PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠2，
∴tan∠APQ＝＝2，
设PQ＝y，
则AQ＝2y，
∴y2+（2y）2＝，
∴y2＝，
∴PQ＝y＝，
∴△PAD的面积＝AD•PQ＝2×＝；
②tan∠ABP＝2，
∵∠PAQ+∠2＝90°，∠ABP+∠2＝90°，
∴∠PAQ＝∠ABP，
∴tan∠PAQ＝＝2，
设PQ＝2a，
则AQ＝a，
∴a2＝，
∴a＝，
∴PQ＝2a＝，
∴△PAD的面积＝AD•PQ＝2×＝．
综上所述：△PAD的面积是或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．解：原式＝|1﹣2|﹣3+1
＝1﹣3+1
＝﹣1．
16．解：（1）如图所示，△ADE即为所求．

（2）∵△ADE与△ABC位似，且位似比为3：1，
∴＝，＝，
又∵C△ABC＝++，S△ABC＝4×2﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×4＝，
∴△ADE的周长为3+3+3，面积为9×＝．
17．解：（1）∵＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2；
（2）当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小．
18．解：（1）把A（﹣2，2）代入得k＝﹣2×2＝﹣4，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（1，a）代入y＝﹣得a＝﹣4，
∴B（1，﹣4），
把A（﹣2，2），B（1，﹣4）代入y＝mx+n得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）不等式的解集为为x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1．
19．解：（1）过F作FH⊥AC于H，∠FCH＝45°，

∴HF＝FC•sin45°＝，
在Rt△AFH中，sinA＝，
∴AF＝；
（2）过F作FM⊥BC于M，
则四边形CMFH是正方形，
∴FH＝FM，
设HF＝FM＝a，
在Rt△AHF中，sinA＝，
∴a＝AF•sin60°＝AF，
在Rt△BFM中，sinB＝，a＝FB•sin30°＝BF，
∴，
∴FB＝AF，
即AF与BF之间的数量关系为FB＝AF．
20．解：（1）根据题意，得w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．
∵﹣10＜0，对称轴为直线x＝50，
∴当x＝50时，w取得最大值为4000，
答：每天获得的最大利润为4000元；
（2）当w＝3000时，﹣10x2+1000x﹣21000＝3000，
解得x1＝40，x2＝60，
答：销售单价应定为40元或60元．
21．解：（1）∵∠EOM＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠BOD＝∠EOA＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A′OM＝108.2°，
∴∠DOB′＝∠A′OE＝108.2°﹣90°＝18.2°．
（2）∵AB＝8米，AO：OB＝1：3，
∴OB＝AB＝×8＝6（米），
∴BC＝OB•sin30°＝3（米），DB′＝OB′•sin18.2°＝6×0.31≈1.86（米），
∴点B从最高点到最低点B′之间的垂直距离为4.86米．
22．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图所示：

①当点P在x轴上方时，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵tan∠BAP＝＝1，
∴PE＝AE，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵AE＝PE＝OE+OA＝OE+1，
设OE＝m，PE＝m+1，
∴点P的坐标为（m，m+1），
∵点P是抛物线上一点，
∴﹣m2+m+2＝m+1，
解得：m1＝2，m2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴点P坐标为（2，3）；
②当点P′在x轴下方时，
过点P′作P′F⊥x轴于点F，
∵tan∠BAP＝＝1，
∴P′F＝AF，
∵OA＝1，
∴AF＝P′F＝OF+OA＝OF+1，
设OF＝n则P′F＝n+1，
∴点P′的坐标为（n，﹣n﹣1），
∵点P′是抛物线上一点，
∴﹣n2+n+2＝﹣n﹣1，
解得：n1＝6，n2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴点P′的坐标为（6，﹣7），
综上所述：点P坐标为（2，3）或（6，﹣7）；
（3）∵直线BC的表达式为y＝mx+c，
B（4，0）），C（0，2），
∴，
解得：，
将m＝﹣，b＝代入方程x2﹣2（b﹣m）x+2n＝0中，
得方程x2﹣4x+2n＝0，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0有两个正实数根，
则Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4n≥0，x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2＝﹣＝4＞0，x1•x2＝＝2n，
∴，
解得：0＜n≤2，
∴n的取值范围为0＜n≤2．
23．（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵AC⊥BF，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴△ACD∽△CBE；
②解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴△FEC∽△BEA，
∴＝，
∵DF＝AB，
∴＝，
∴＝，
设CE＝a，则EA＝3a，
∵∠ABC＝90°，AC⊥BF，
∴BE2＝AE•EC＝3a2，
∴BE＝a，
则tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°；
（2）解：过点F作FH⊥AC于H，
设BC＝2a，则AB＝CD＝3a，
由勾股定理得：AC＝＝a，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝a，
则AF＝＝a，
∵S△AFC＝AC•FH＝CF•AD，
∴×a•FH＝×a×2a，
解得：FH＝a，
则sin∠CAF＝＝＝．