安徽省芜湖市南陵县中联中学2022-2023学年九年级上学期数学第三次月考测试题(含答案)

安徽省芜湖市南陵县中联中学

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）

一.选择题（满分40分）

1．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点在第几象限（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．关于x的方程3x2+bx﹣2＝0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．无实数根 D．不能确定

3．在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），则OP的最小值是（　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4

5．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝28°，过点C的切线交AB的延长线于点E，则∠E的大小为（　　）

A．28° B．34° C．44° D．62°

6．“读书破万卷，下笔如有神．”在某中学开展的课外阅读活动中，要求七，八、九三个年级学生的人均阅读量逐次增加，而且增长率相同，已知七年级学生的人均阅读量为每年100万字，九年级学生的人均阅读量为每年144万字，则该校八年级学生的人均阅读量为每年（　　）

A．110万字 B．120万字 C．122万字 D．125万字

7．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形的面积是（　　）

A．12π B．8π C．4π D．2π

8．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞5

9．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点DE在⊙O上．四边形BCDE为平行四边形，则平行四边形BCDE的面积是（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2

10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　）

A． B． C． D．

二.填空题（满分20分）

11．方程（x﹣3）（x+2）＝0的根是　   　．

12．“地球绕着太阳转”是 　   　事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．

13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），且顶点在直线x＝1上，则的值为 　   　．

14．已知，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心．

（1）若∠BIC＝115°，则∠BOC＝　   　；

（2）若∠BOC＝140°，则∠BIC＝　   　．

三.解答题（满分90分）

15．已知x＝3是关于x的方程x2﹣ax﹣4＝0的一个根，求另一个根和a的值．

16．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）均在抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）上．

（1）求此抛物线的对称轴；

（2）利用图象，直接写出y1，y2，y3的大小关系．

17．如图，在平面直角坐标系中，格点△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．

（1）在图中作出点E，并写出点E的坐标；

（2）将△ABC绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

18．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，求这个小孔的直径AB的长．

19．如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，点D是在直线BC上方的抛物线上一动点，连接BD，CD，AC．

（1）求b、c的值；

（2）设四边形ACDB的面积为S，求S的最大值．

20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，连接AC．

（1）若AC平分∠BAD，求证：EC是⊙O的切线；

（2）若EC是⊙O的切线，∠B＝54°，求∠ACD的度数．

21．新冠疫情防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小红两位同学将随机通过测温通道进入校园．

（1）小明从B测温通道通过的概率是 　   　．

（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小红从同一个测温通道通过的概率．

22．一商店出售某种商品，每天所获的利润y（元）与商品的售价x（元/件）之间关系式是y＝﹣x2+50x﹣225．

（1）当售价为多少时，可使每天获得利润最大，最大利润是多少？

（2）该商品的成本价是每件多少元？

（3）该商品售价在什么范围内时，商店每天所获利润随价格的降低而增多？

23．如图，已知AB是⊙O的直径，AC和BC分别交⊙O于D、E两点，AE与BD相交于点P，连接DE．

（1）若AB＝AC，求证：DE＝BE；

（2）若点D是半圆AB的中点，求证：

①△APD≌△BCD；②AE＝DE+BE．

参考答案

一.选择题（满分40分）

1．解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点为（﹣1，﹣2），

∴顶点在第三象限．

故选：C．

2．解：Δ＝b2﹣4×3×（﹣2）＝b2+24，

∵b2≥0，

∴b2+24＞0，

即Δ＞0，

∴关于x的方程3x2+bx﹣2＝0有两个不相等的实数根．

故选：B．

3．解：∵一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球，

∴球的总数＝3+4＝7，

∴从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为．

故选：C．

4．解：作OC⊥AB于点C，连接OA，如图所示：

则AC＝AB＝4，

∵OA＝5，

∴OC＝＝＝3，

则OP的最小值是3；

故选：B．

5．解：连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∴OC⊥CE，

即∠OCE＝90°，

∵∠COB＝2∠CDB＝56°，

∴∠E＝90°﹣∠COB＝34°．

故选：B．

6．解：设该校学生七年级至九年级人均阅读量的人均阅读年增长率为x，

根据题意，得：100（1+x）2＝144，

解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去），

∴该校八年级学生的人均阅读量为每年：100×（1+20%）＝120（万字），

故选：B．

7．解：∵该扇形的圆心角是120°，半径为6，

∴该扇形的面积＝＝12π．

故选：A．

8．解：由图象得：对称轴是直线x＝2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．

利用图象可知：

ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，

∴x＜﹣1或x＞5．

故选：D．

9．解：连接BD、OC，如图，

∵四边形BCDE为平行四边形，

∴∠E＝∠BCD，

∵∠E+∠BCD＝180°，

∴∠E＝∠BCD＝90°，

∴BD为⊙O的直径，

∴BD＝4，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∴∠BOC＝2∠A＝120°，

而OB＝OC，

∴∠CBD＝30°，

在Rt△BCD中，CD＝BD＝2，BC＝CD＝2，

∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝4．

故选：A．

10．解：①当0≤t≤4时，S＝×t×t＝t2，即S＝t2．

该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．

故B、C错误；

②当4＜t≤8时，S＝16﹣×（8﹣t）×（8﹣t）＝﹣t2+8t﹣16．

该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．

故A错误．

故选：D．

二.填空题（满分20分）

11．解：∵（x﹣3）（x+2）＝0．

∴x﹣3＝0或x+2＝0，

解得：x＝3或x＝﹣2，

故答案为：x＝3或x＝﹣2．

12．解：“地球绕着太阳转”是必然事件，

故答案为：必然．

13．解：∵顶点在直线x＝1上，

∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，

∴﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c＝0，

∴a+2a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴＝＝．

故答案为：．

14．解：（1）如图，∵△ABC的内心为点I，

∴∠ABI＝∠CBI（设为α），∠ACI＝∠BCI（设为β），

∵∠BIC＝115°，

∴α+β＝180°﹣115°＝65°，

∴∠A＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣130°＝50°，

∴∠BOC＝2∠A＝100°，

故答案为：100°；

（2）如图，∵点O为△ABC的外心，

∴∠A＝∠BOC＝70°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，

∵点I为△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，

∴∠BIC＝180°﹣55°＝125°，

故答案为：125°．

三.解答题（满分90分）

15．解：设方程的另一个根为α，

则3α＝﹣4，

解得α＝﹣，

则a＝3﹣＝，

所以方程另一个根为﹣，a的值为．

16．解：（1）∵x＝﹣＝1，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1；

（2）∵a＜0，

∴抛物线的开口向下，

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴当x＜1时，y随x增大而增大，x≥1时，y随x增大而减小，

∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）均在抛物线上，

∴y3＜y1＜y2．

17．解：（1）如图所示，点E（0，﹣1）；

（2）如图所示：

18．解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，连接OA，如图所示，

可得C为AB的中点，即AC＝BC，

∵钢珠的直径为10mm，

∴OA＝5mm，OC＝8﹣5＝3mm，

在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝4mm，

则AB＝2AC＝8mm．

19．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，

∴B（4，0），C（0，4），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，C两点，

∴，

解得，

∴b＝3，c＝4；

（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4，

令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），

S四边形ABCD＝S△ABC+S△BCD，

∵△ABC的面积为定值，

∴当△BCD的面积最大时，S最大，

过点D作DE⊥x轴交BC于E，

设点D坐标为（m，﹣m2+3m+4）（0＜m＜3），则E（m，﹣m+4），

∴DE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，

∴S△BCD＝（﹣m2+4m）×4＝﹣2（m﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴当m＝2时，S△BCD最大，最大值为8，

∵S△ABC＝×4×5＝10，

∴S的最大值为10+8＝18．

20．（1）证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠OAC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵AE⊥EC，

∴OC⊥EC，

∵OC为⊙O的半径，

∴EC是⊙O的切线；

（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC+∠B＝180°，

∵∠B＝54°，

∴∠ACD＝180°﹣54°＝126°，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠B＝54°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO＝90°﹣54°＝36°，

∵EC是⊙O的切线，

∴OC⊥EC，

∵AE⊥EC，

∴OC∥AE，

∴∠DAC＝∠OCA＝36°，

∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣126°﹣36°＝28°．

21．解：（1）小明从B测温通道通过的概率是，

故答案为：；

（2）列表格如下：

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一个测温通道通过的有3种可能，

所以小明和小红从同一个测温通道通过的概率为＝．

22．解：（1）∵y＝﹣x2+50x﹣225＝﹣（x﹣25）2+400，

∴当x＝25时，可使每天获得利润最大，最大利润是400元，

答：当售价为25元时，可使每天获得利润最大，最大利润是400元；

（2）当y＝0时，

0＝﹣x2+50x﹣225，

解得，x1＝5，x2＝45（舍去），

答：该商品的成本价是每件5元；

（3）∵y＝﹣x2+50x﹣225＝﹣（x﹣25）2+400，

∴当5＜x＜25时，y随x的增大而增大，也就是说y随x的减小而减小，

当25＜x＜45时，y随x的增大而减小，也就是说y随x的减小而增大，

答：该商品售价在25＜x＜45时，商店每天所获利润随价格的降低而增多．

23．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AE平分∠BAC，

∴，

∴DE＝BE；

（2）①连接OD，

∵点D是半圆AB的中点，

∴∠AOD＝90°，

∴∠ABD＝∠AOD＝45°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°，

∴AD＝BD，

∵∠DAP＝∠DBC，

∴△APD≌△BCD（ASA）；

②过点D作DF⊥DE交AE于F，

∵∠AED＝∠ABD＝45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴EF＝DE，

∵∠ADB＝∠EDF＝90°，

∴∠ADB﹣∠PDF＝∠EDF﹣∠PDF，

∴∠ADF＝∠BDE，

∵∠DAP＝∠DBC，AD＝BD，

∴△AFD≌△BED（ASA），

∴BE＝AF，

∴AE＝EF+AF＝DE+BE．