安徽省滁州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

安徽省滁州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．二次函数图象的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（    ）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

3．某段河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，为了估计荆河的宽度，在荆河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R，如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则荆河的宽度PQ为（   ）

A．40m B．120m C．60m D．180m

5．如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（    ）

A．21 B．28 C．34 D．42

7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知，，.则点A到OC的距离等于（    ）

A． B． C． D．

8．某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且点与原点重合，边在轴上，点的横坐标为，现将菱形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为（秒），菱形位于轴右侧部分的面积为，则关于的函数图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，菱形中，是边的中点，是边上一点，连接，．若，，则的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．

二、填空题

11．已知，则_____．

12．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数的图象上，则点C的坐标为__．

13．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．

三、解答题

14．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，（如图），抛物线经过点.

（1）如果抛物线经过线段上另一点，且，则这条抛物线表达式为__________；

（2）如果抛物线的顶点位于内，则的取值范围是___________.

15．如图，已知拋物线的顶点为，矩形的顶点，在抛物线上，点，在轴上，交轴于点，且矩形的面积为8，求抛物线的表达式.

16．如图，在△ABC中，，，，求AB的长．

17．如图，点是正方形边上一点，是边延长线上一点，若，，．求的长．

18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为；

(2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；

(3)判断和是位似图形吗?若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标．

19．如图，修筑铁路时需打通小山修一条隧道.测绘时用一架无人机沿直线飞行，飞行高度为1200米，在处测得隧道一端处的俯角为37°，飞行2800米后到达处测得隧道另一端处的俯角为76°，已知，，，四点在同一平面内，且，求隧道的长．（参考数据：，，，）

20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．

（1）求证：DF是的切线；

（2）求线段OF的长度．

21．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且．

（1）求k的值及线段的长；

（2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标．

22．已知二次函数y=ax+ax+c（a≠0）．

(1)若它的图象经过点（-1，0）、（1，2），求函数的表达式；

(2)若a＜0，当-1≤x<4时，求函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；

(3)若a=1、c=-2，点（m，n）在直线y=x-2上，求当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值．

23．如图（1），在中，，，是的中线，，且点在的延长线上，点在的延长线上，交于点，交的延长线于点．

(1)求证：；

(2)如图（2），若点是的中点．

①求的值；

②写出和的面积之比，并说明理由．

参考答案：

1．A

【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.

【详解】∵，

∴二次函数图象顶点坐标为：.

故答案为A.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．

2．D

【分析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.

【详解】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，

∵S△ABO==2，

∴，

∴mn=-4，

又∵点A在反比例函数(<0)的图象上，

∴n=，

∴k=mn=-4，

故选D.

【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键.

3．B

【分析】根据坡比的定义，由坡比为得到，则，再由勾股定理即可得到，从而得到答案．

【详解】解：在中，堤高，迎水坡的坡比为，

，则，

由勾股定理得到，

故选：B．

【点睛】本题考查解直角三角形，涉及坡比定义及勾股定理求线段长，熟记坡比定义是解决问题的关键．

4．B

【分析】由题意可知：QR∥ST，所以△PQR∽△PST，由相似三角形的性质可知，列出方程即可求出PQ的长度

【详解】由题意可知：QR∥ST，

∴△PQR∽△PST，

∴

设PQ=x，

∴ ，

解得：x=120

故PQ=120m

故选B．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的对应边的比相等求出PQ的长度．

5．B

【分析】首先，根据圆周角定理，由得到，再根据是的直径，得到，由直角三角形中两个锐角互余即可得到．

【详解】解：，

，

是的直径，

，

在中，，

故选：B．

【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理及其推论、直角三角形性质等知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角为直角是解决问题的关键．

6．C

【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CF，AB=CD，

∴△ABE∽△DFE，

∴，

∵，

∴AE=6，AB=8，

∴AD=AE+DE=6+3=9，

∴的周长为：（8+9）×2=34．

故选：C．

【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．

7．C

【分析】根据矩形的性质可得BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，再根据三角函数可得答案.

【详解】过点A作AE⊥OB于点E，

因为四边形ABCD是矩形，且AB＝a，AD＝b

所以BC＝AD＝b，∠ABC＝90°

所以∠BAE＝∠CBO＝x

因为，

所以，

所以点A到OC的距离

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和三角函数.

8．B

【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案；

【详解】解：设利润为w，由题意可得，

，

∵，，

∴当时w最大，

故选B；

【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解．

9．A

【分析】过点作轴的垂线，垂足为点，如图所示，由菱形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当时；②当时；③当时；④当时；四种情况，作图求解关于的函数解析式，作出图像即可得到答案．

【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为点，如图所示：

菱形的边长为4，且点与原点重合，边在轴上，点的横坐标为，

，

，

，，

①当时，如图（1）所示：

；

②当时，如图（2）所示：

；

③当时，如图（3）所示：

，，

，

，

，

，

，

；

当时，；

综上所述，

第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于轴的射线，

故选：A．

【点睛】本题考查求函数解析式及判断函数图像，涉及菱形性质、勾股定理、含直角三角形的三边关系、函数解析式及图像，题目综合性强，难度较大，根据题意分类讨论求出关于的函数解析式是解决问题的关键．

10．C

【分析】延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，，得到，再证明出即可求解．

【详解】解：延长交的延长线于点，

四边形是菱形，

，

，

，

是的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

又，

，

，

又，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解．

11．.

【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．

【详解】解：∵，

∴a＝

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．

12．（3，6）．

【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2），

∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），

∵点B与点D在反比例函数的图象上，

∴y=6，x=3，

∴点C的坐标为（3，6）．

故答案为（3，6）．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．

13．##

【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．

【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：

∵CB与相切于点B，

∴，

∴，

∴四边形ACBD为矩形，

∴，，

设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，

即r2＝（r−6）2＋82，

解得：，

即的半径为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．

14．         

【分析】（1）利用勾股定理求出，过点C作轴于点D，证明，求出即可；

（2）根据抛物线经过点A求出抛物线的对称轴为直线，得到此时与直线交点的纵坐标为2.5，即可列得不等式组求出答案．

【详解】解：（1）令中，得；令得，

∴，

∴，

∴，

过点C作轴于点D，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴，

∴，

将，代入，得

，解得，

∴；

故答案为：；

（2）∵抛物线经过点，

∴，

得，

∴对称轴为直线，

当时，，

∵抛物线的顶点位于内，

∴，即，

解得，

故答案为：．

【点睛】此题考查了二次函数与图形的综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．

15．

【分析】由抛物线的顶点可知该拋物线的对称轴为轴，设抛物线表达式为，根据题意求得点，把点代入即可求解．

【详解】解：由抛物线的顶点可知该拋物线的对称轴为轴，

四边形为矩形，

点，为拋物线上的对称点，

矩形的面积为8，，

，

故点的坐标为，

设抛物线表达式为，把点代入，

得，解得

抛物线的表达式为

【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．

16．AB=9+4.

【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=9，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．

【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．

∵在Rt△CDA中，∠A=30°，

∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cos30°=9，

∵在Rt△CDB中，

∴BD===4．

∴AB=AD+DB=9+4.

【点睛】本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键．

17．

【分析】根据正方形的性质及勾股定理求出的长度，再通过证明，根据相似三角形的性质求解即可．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴，，

，，

，

∵，

∴，

，

，

，

，

，

即，

∴，

．

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并能够综合运用是解题的关键．

18．(1)作图见解析

(2)作图见解析

(3)是位似图形，点为所求位似中心，见解析，点的坐标为

【分析】（1）根据位似图形的作法，按要求即可得到答案；

（2）根据点的平移法则，将三角形顶点平移后连接各个顶点即可得到答案；

（3）根据位似图形的定义与性质做出判断，并得到位似中心点及其坐标．

【详解】（1）解：如图所示：

即为所作图形；

（2）解：如图所示：

即为所作图形；

（3）解：和是位似图形，如图所示：

点为所求位似中心，点的坐标为．

【点睛】本题考查复杂作图-位似图形、图形平移，熟记位似图形的定义与性质、点的平移法则是解决问题的关键．

19．隧道的长约为1500米

【分析】作，，垂足分别为，，则，在中  得到，；在中得到，从而有．

【详解】解：作，，垂足分别为，，如图所示：

，

在中，，则，

（米），

在中，，则，

（米），

答：隧道的长约为1500米．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用题，读懂题意，根据条件选择恰当的三角函数求出相应线段长是解决问题的关键．

20．（1）见解析；（2）．

【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；

（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．

【详解】（1）证明：连接OD

∵是等边三角形

∴

∵

∴是等边三角形

∴

∴OD//AB

∵

∴

∴

∴DF是的切线；

（2）∵OD//AB，

∴OD为的中位线

∴

∵，

∴

∴

由勾股定理，得：

∴在中，．

【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

21．（1），的长为3；（2）（0，10）．

【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解；

（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．

【详解】解：（1）∵，，

∴A点纵坐标为4，代入，得，解得，

则A点坐标为（8,4），代入，得，解得，

设BC为a，则，

，

解得，，则的长为3；

（2）设P点坐标为（0，m），

的面积=，的面积=，

由题意得，，

解得，，

P点坐标为（0，10）．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程．

22．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）把两个点的坐标代入解析式得到二元一次方程组并求解即可．

（2）根据a的正负确定二次函数图象开口方向，根据解析式求出二次函数的对称轴，再结合x的范围求解即可．

（3）根据点（m，n）及其所在直线用m来表示n，再用m表示出当x=m，n时的二次函数的函数值和，最后根据二次函数的最值求解即可．

【详解】（1）解：把（-1，0）、（1，2）代入二次函数解析式得

解得

所以二次函数的表达式为．

（2）解：∵a<0，

∴二次函数图象开口方向向下．

∵二次函数解析式为y=ax+ax+c（a≠0），

∴二次函数的对称轴为直线．

∵-1≤x<4，

∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．

∴函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

（3）解：∵二次函数的解析式为y=ax+ax+c（a≠0），a=1，c=-2，

∴二次函数的解析式为．

∵点（m，n）在直线y=x-2上，

∴．

∴当x=m时，；当x=n时，．

设x=m，n时的二次函数的函数值和是S．

∴．

∴当时，S取得最小值是．

∴当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值是．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握这些知识点是解题关键．

23．(1)证明见解析

(2)①；②，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件，由等腰直角三角形的性质得到，，利用两个三角形全等判定定理得到，再利用全等三角形的性质对应边相等即可得证；

（2）①作，如图所示，得到，设，则，，，进而，根据利用相似比即可得到的值；②由前面所得及题中已知可得到，从而根据相似三角形性质得到．

【详解】（1）证明：在中，，，是的中线，

，，，

，

，，

，

，

，，

，

在和中，

，

；

（2）解：①作，如图所示：

，为中点，

，

，

，

设，则，，，

，，

，

，，

，

，

，

；

②，

理由如下：如图所示：

由①知，，

又，是等腰直角三角形，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

由（1）知，，

，

，

，

．

【点睛】本题考查三角形综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质、两个三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握有关等腰直角三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质、两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．