九年级上册数学24.4 弧长和扇形的面积期末试题分类选编附答案

这是一份九年级上册数学24.4 弧长和扇形的面积期末试题分类选编附答案，共25页。
九年级上册数学24.4 弧长和扇形的面积期末试题分类选编附答案
1．（2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末）如图，在中，，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（     ）

A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古通辽·九年级期末）如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是(       )

A．2π B．π C． D．6π
3．（2022·内蒙古通辽·九年级期末）如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　）

A．2 B．2π C．π D．π
4．（2022·内蒙古呼和浩特·九年级期末）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为_____．
5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·九年级期末）已知圆锥的侧面展开图的面积是，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是______．
6．（2022·内蒙古通辽·九年级期末）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是_____．
7．（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗教学研究室九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________．（结果保留π）

8．（2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．
9．（2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．将△ABC绕点B逆时针旋转45°，得△A′BC′，则阴影部分的面积为 _____．


10．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为______．


11．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，从一块直径是m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将其围成一个圆锥，圆锥底面圆的半径是__________m．     

12．（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°，现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时点B走过的距离为____________．（结果保留л）．

13．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级期末）扇形半径为3cm，弧长为πcm，则扇形圆心角的度数为_____．
14．（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图所示，在中，，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且，则图中阴影部分的面积是___．

15．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．

16．（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗教学研究室九年级期末）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

17．（2022·内蒙古·化德县第三中学九年级期末）如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A按顺时针方向旋转后得到，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是_______．

18．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC=AC，连接线段AB，与⊙O交于点D，若AC=4cm，则阴影部分的面积为=_________

19．（2022·内蒙古通辽·九年级期末）如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．

20．（2022·内蒙古通辽·九年级期末）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm．

21．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， △ABO的三个顶点坐标分别为A(-1，3)，B(-4，3)，O(0，0)．

(1)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1O；
(2)在（1）的条件下，求点A旋转到点A1所经过的路径长（结果保留π）．





22．（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗教学研究室九年级期末）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝6．
（1）试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的△AB1C1；
（2）求点B旋转到B1所经过的路径长；（结果保留π）
（3）若点B的坐标为（－5，5），试建立合适的直角坐标系，并写出A，C两点的坐标；
（4）作出与△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2三点的坐标．



23．（2022·内蒙古·化德县第三中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．
（1）求证：ODAC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求阴影部分的面积．





24．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室九年级期末）如图，正三角形的边长为分别为的中点，以三点为圆心，长为半径作圆，求图中阴影部分的面积．











25．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在¨ ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．

(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．





26．（2022·内蒙古鄂尔多斯·九年级期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．

（1）画出△OAB绕原点顺时针旋转后得到的△，并写出点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的扇形的面积．

27．（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗教学研究室九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）求证：∠C=2∠DBE．
（3）若EA=AO=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

参考答案：
1．D【解析】利用勾股定理可求出AC的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD即可得答案．
∵，
∴∠A+∠B=90°，
∵，，
∴=1，
∴S阴影=S△ABC-S扇形BEF-S扇形ACD
=BC·AC-
=×1×2-
=1-，
故选：D．
本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
2．A∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴阴影部分的面积==2π．
故选A．
3．C【解析】根据勾股定理得到OA，然后根据边AB扫过的面积==解答即可得到结论．
如图，连接OA、OC．
∵AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴OA==，∴边AB扫过的面积=== =．

故选C．
本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
4．60π【解析】利用圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
解：圆锥的侧面积S=πrl=π×10×6=60π．
故答案为：60π．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
5．2【解析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．
解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．
由题意，，
解得r=12或-12（舍弃），
∵扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，
∴，
解得R=2，
故答案为：2．
本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．4π．试题分析：直接利用弧长公式求出即可．
试题解析：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，
∴扇形的弧长是：=4π．
考点：弧长的计算．
7．．解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
又∵AC=1，
∴弧CD的长为
故答案为：．
本题考查弧长的计算；含30度角的直角三角形．
8．          216【解析】根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角．
如图，由题意可知，AB=10，AO=8，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，
则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长，
∴底面的周长为：，
根据弧长公式可得：，解得：，
故答案为：；216．

本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键．
9．2π【解析】根据勾股定理求出BC，分别求出△A′BC′的面积、扇形C′BC的面积、扇形A′BA的面积、△ABC的面积，即可求出答案．
解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，
由勾股定理得：BC=，
∴阴影部分的面积S=△A′BC′的面积+扇形C′BC的面积-扇形A′BA的面积-△ABC的面积
==2π，
故答案为：2π．
本题考查了旋转的性质和勾股定理、扇形的面积计算等知识点，能分别求出每部分的面积是解此题的关键．
10．2π【解析】先在△ABC中利用勾股定理求出BC＝，再根据旋转的性质得出△ABC≌△A′B′C，然后根据阴影部分的面积＝（扇形CBB'的面积−△CA'B'的面积）＋（△ABC的面积−扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝，
∵把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，
∴∠ACB＝∠A′C B′＝45°，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝4，∠C A′B′＝∠CAB＝90°，
∴阴影部分的面积＝− ×4×4＋×4×4−＝2π，
故答案为2π．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理以及扇形面积公式的应用．
11．【解析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．
解：连接BC、AO，
∵⊙O的直径为m，
∴半径是m，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴BC⊥AO，AO＝BO＝m，
在Rt△ABO中，AB＝m，
∴圆锥底面圆的弧长，
设圆锥底面圆的半径是r，
则，
∴m，
故答案为：．

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．【解析】根据点A的坐标（-2，0），可得OA=2，再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长，再通过弧长公式即可求解．
解：∵点A的坐标（-2，0），
∴OA=2，
∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB=OA=1，
∵将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，
∴∠BOB’=∠AOA’=90°，
∴点B走过的距离为：．
故答案为：．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
13．60°试题解析：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为πcm，
∴=π，
解得：n=60，
故答案为60°．
14．【解析】连接AD，根据切线的性质得，则，再根据扇形的面积公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径），计算出扇形AEF的面积，然后再利用计算即可．
解：连接AD，如图，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴，
∴，
∴

．
故答案为：．

本题考查切线的性质、扇形面积的计算．解题的关键是学会用分割法求面积．
15．【解析】如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可．
解：如图，连接BO，CO，OA．

由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴，
∴△OBC的面积=△ABC的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积= ．
故答案为：
本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．
16．过D点作DF⊥AB于点F．

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2．
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=.
故答案为：.
17．【解析】根据，即可求得线段BC所扫过部分即阴影部分的面积．
∵绕点A按顺时针方向旋转后得到
∴
∵，
∴由勾股定理得：
∵
∴


故答案为：
本题是求复合图形的面积，考查了扇形面积的计算，勾股定理，图形旋转的性质等知识，关键是把阴影部分面积转化为两个扇形面积之差．
18．【解析】阴影部分面积等于，根据切线的性质、圆周角定理和等腰直角三角形的性质分别求出相关线段的长是或角的度数是解题关键．
解：连接OD，CD，
∵AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，∠ADC=90°，
∵BC=AC=4cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠CAD=45°，AO=OC=OD=2cm，OD⊥AC，
∴∠COD=2∠CAD=90°，
，
故答案为：．

本题主要考查求不规则图形的面积，切线的性质，圆周角定理等．掌握割补法是解题关键．
19．24【解析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
解：S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积





=24．
故答案为：24．
此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
20．【解析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高．
圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm
∴圆锥的底面半径为=2，
故圆锥的高为=4cm
故答案为：4
此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式．
21．(1)作图见解析
(2)
【解析】（1）先画出A点和B点绕点O顺时针旋转90°的对应点，再连接A1B1、B1O、A1O即可；
（2）点A旋转到点A1所经过的路径是一段弧，圆弧对应的半径OA=，圆心角∠AOA1=90°，根据圆弧的计算公式即可得出答案．
（1）
如图，△A1B1O即为所求

（2）
依题意：∠AOA1=90°，OA=
∴点A旋转到A1所经过的路径长为：
本题考查了旋转作图，熟练掌握性质是本题的关键．
22．（1）见解析；（2）；（3）图见解析，A（－2，－1），C（－5，－1）；（4）图见解析，A2（2，1），B2（5，－5），C2（5，1）．【解析】（1）A不变，以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键点C、B的对应点顺次连接即可；
（2）如图所示，点B旋转到B1所经过的路径长即为的长，先用勾股定理求出AB的长，再利用弧长公式求解即可；
（3）把B点向右5个单位，再向下5个单位即为坐标原点，建立坐标系即可；
（4）连接AO并延长AO到A2，使A2O=AO，得到A的对应点，同法得到其他各点的对应点即可．
解：（1）如图所示，即为所求：

（2）由题意可知
在Rt△ABC中，
∴点B旋转到B1所经过的路径长；

（3）如图所示，A（－2，－1），C（－5，－1）．

（4）如图所示：A2（2，1）、B2（5，﹣5）、C2（5，1）．

本题主要考查了旋转作图，根据点的坐标建立平面直角坐标系，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）见解析；（2）【解析】（1）连接OC，利用三线合一和直径所对的圆周角是直角进行求证即可；
（2）连接OC，先求出∠EBO=30°，得到∠COA=60°，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
解：（1）如图连接OC，
∵OC=OB，点E为BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=∠BEO=90°，
∴OD∥AC；

（2）连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-2，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴∠ABC=30°，
∴∠COA=60°，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵△BOC与△AOC等底同高，
∴，
∴．
本题主要考查了，平行线的判定，三线合一定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形，扇形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．a2－【解析】如图，连接证明 再求解 再求解的面积与扇形面积，从而可得答案.
解：如图，连接

正三角形的边长为分别为的中点，


S△ABC＝a＝a2，
S扇形FBD＝×π（）2＝×＝，
∴S阴影＝ S△ABC－3S扇形FBD＝a2－3×＝a2－．
本题考查的是等边三角形的性质，圆的基本性质，扇形面积的计算，掌握等边三角形面积的计算与扇形面积的计算是解题的关键.
25．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）
证明：连接OB

∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°
∴∠ABE=120°
∵AB=EB
∴∠E=∠BAE=30°
∵OA=OB
∴∠ABO=∠OAB=30°
∴∠OBC=30°+60°= 90°
∴OB⊥CE
∵OB是半径     
∴EC是⊙O的切线．
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2
过O作OH⊥AM于H

则四边形OBCH是矩形
∴OH=BC=2，OH∥EC
∴∠AOH=∠E=30°
∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°
∵OA=OM，∠OAH=60°
∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°
∴．
本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
26．（1）图见解析，点A1坐标是（1，-4）；（2）【解析】（1）据网格结构找出点A、B绕点O按照顺时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次O、A1、B1连接即可，再根据平面直角坐标系写出A1点的坐标；
（2）利用扇形的面积公式求解即可，利用网格结构可得出．
（1）

点A1坐标是（1，-4）
（2）根据题意可得出：
∴线段在旋转过程中扫过的扇形的面积为：．
本题考查的知识点是旋转变换以及扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线;
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形BOD-S△BOD，即可求得答案．
（1）证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线．
（2）如图，∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，
由（1）得：OD⊥EC于点D，
∴∠E+∠C=∠E+∠DOE＝90°,
∴∠C=∠DOE＝2∠DBE．
（3）作OF⊥DB于点F,连接AD，
由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜边的中线，
∴AD=AO=OD,∴∠DOA=60°，∴∠OBD=30°，
又∵OB=AO=2，OF⊥BD，∴ OF=1，BF=，
∴BD=2BF=2，∠BOD=180°-∠DOA =120°，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD．