2021-2022学年天津市实验中学滨海学校高一上学期期中质量监测数学试题（黄南民族班）Word版含解析

  2021-2022年度第一学期高一年级期中考试（数学）试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1. 设全集，，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出，再求出即可得解.

【详解】，

.

故选：D

【点睛】本题考查了集合补集运算和交集运算，属于基础题.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】利用全称量词的命题的否定解答.

【详解】解：因为全称量词的命题是存在量词的命题，

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：D

3. 已知，，则下列命题中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过反例可得B、C、D错误，利用不等式的性质可证明A成立，故可得正确的选项.

【详解】因为，，由同向不等式的可加性得，故A正确.

取，，则，成立，

但，故B错误.

而，故C错误，

又，故D错误，

故选：A.

【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明不等式不成立，只需一个反例即可，本题属于基础题.

4. 幂函数的图象过点，那么函数单调递增区间是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出函数解析式，再求的单调递增区间．

【详解】幂函数的图象过点，

则，解得，

，

的单调递增区间是．

故选B．

【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

5. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性以及在上的单调性，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数.对于B选项，既是偶函数又在上单调递增.对于C选项，函数是偶函数，但在上递减.对于D选项，函数是非奇非偶函数.故本小题选B.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

6. 已知，若，则实数的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由单调性的性质可知在上为增函数，从而可知，进而可求出实数的取值范围.

【详解】解：因为在在上为增函数，所以在上为增函数，

则，解得：，

即a的取值范围为，

故选: C.

【点睛】本题考查了函数单调性的判断，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是判断函数的单调性.

7. 关于x的不等式的解集为或，则 （    ）

A. -5 B. -1 C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用一元二次不等式的解集与对应的一元二次方程根的关系，再借助韦达定理求解即得.

【详解】因关于x的不等式的解集为或，

则关于x的方程的二根为-3，1，于是得，解得，

所以.

故选：B

8. 已知函数，则 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】令可得，求得后代入解析式中即可求得结果.

【详解】设，则且

，

故选：D

9. 设，“命题”是“命题”的（     ）

A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据充分、必要条件的概念理解，可得结果.

【详解】由，则或

所以“”可推出“或”

但“或”不能推出“”

故命题是命题充分且不必要条件

故选：A

【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.

10. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为 （    ）

A. [0,4] B. [0,4)

C. (0,4) D.

【答案】B

【解析】

【分析】讨论或，利用一元二次不等式恒成立即可求解.

【详解】当时，恒成立；

当时，则，解得，

综上所述，实数a的取值范围为[0,4).

故选：B

11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】∵是定义在上奇函数，当时，，∴当时，，当时，，当时，，∴不等式的解集为，故选.

12. 已知函数，若对任意，，且，有成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得在为增函数，分段函数两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解.

【详解】∵对任意的，，总有成立，

不妨设，

∴函数在定义域上是增函数，

∴，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

13. 求函数的定义域_________.

【答案】##

【解析】

【分析】由解析式可得，解不等式即可求解.

【详解】由题意可得，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14. 已知函数，则的值是_____.

【答案】##

【解析】

【分析】利用分段函数解析式，代入求解即可.

【详解】由，

则，

所以.

故答案为：

15. 设，为正数，若，当取最小值时的值为__________.

【答案】.

【解析】

【分析】，利用基本不等式可得.

【详解】,

当且仅当，及时，“=”成立，

把代入得，，

故答案为：.

【点睛】已知两个数的和，求两个数的倒数和，我们常采用相乘的办法解决，此题考基本不等式的应用，属于简单题.

16. 若函数在区间上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________.

【答案】.

【解析】

【分析】求得函数的对称轴方程，进而可得结果.

【详解】显然，函数的对称轴方程为，依题意可得，解得.

故答案为：.

17. 为定义在的奇函数，当时，则的解析式为_____.

【答案】

【解析】

【分析】求出的解析式，即得解.

【详解】解：当时，.

当时，.

所以的解析式为.

故答案为：

18. 已知函数为定义在上的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围_____.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数为定义在上的偶函数，由，解得t，进而将不等式，转化为，利用函数在上单调递增求解.

【详解】因为函数为定义在上的偶函数，

所以，解得，

所以不等式即为，

又因函数在上单调递减，

所以函数在上单调递增，

所以，即，

解得，

故答案为：

三、解答题（本大题共4小题，共60分）

19. 已知集合，集合.

（1）若a=3，求A∩B和A∪B；

（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】

（1）化简集合，当a=3时，化简集合B，根据交集、并集运算即可；

（2）化简集合，得到集合是集合的真子集，解不等式组即得解.

【详解】（1）.

因为，所以，

因此，；

（2），，

因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，

因此有，等号不同时成立，

解得.

20. 已知函数 .

（1）当时，求函数的最大值和最小值；

（2）求函数在区间上最小值.

【答案】（1）最大值为，最小值为.   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，，再根据二次函数的性质即可求得最值；

（2）求出的对称轴，再讨论，，三种情况讨论的最小值即可求解.

【小问1详解】

当时，，对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以函数的最大值为，最小值为.

【小问2详解】

的对称轴为，

当即时，在区间上单调递减，

，此时，

当即时，

，

当即时，在区间上单调递增，

，，

综上所述：.

21. 设函数.

（1）若，解不等式；

（2）若，解关于的不等式.

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）利用二次不等式的解法可解原不等式，即可得解；

（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法解原不等式即可得解.

【小问1详解】

解：当时，由，可得，解得，

故当时，不等式的解集为.

【小问2详解】

解：由可得.

①当时，原不等式即为，解得；

②当时，方程的两根分别为，.

当时，，解原不等式可得或；

当时，，解原不等式可得；

当时，原不等式即为，该不等式的解集为；

当时，，解原不等式可得.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

22. 已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求函数的解析式；

（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；

（3）解不等式．

【答案】（1）；（2） 在上是增函数，证明详见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）根据函数是奇函数得，再由可得的值，从而得函数的解析式；

（2）设，作差得，即可得解；

（3）由函数是奇函数和（2）的结论，建立不等式组，解之得解.

【详解】（1）由 ，知：．又，

（2） 在上是增函数，证明如下：

设，则

又 ，∴ ，

从而 ，即

所以 在上是增函数.

（3）由题意知：由 , 得，即为

由（2）知： 在上是增函数，

所以 即为 ，解得：

又∵，且

所以且，即.

不等式解集为，

故得解.

【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法，求解不等式时注意考虑函数的定义域，属于中档题.