天津市实验中学滨海学校2021-2022学年高三上学期期中质量监测数学试题

2021-2022年度第一学期高三年级期中质量监测（数学）解析

参考答案

1．C

【分析】

利用集合的补集和交集运算求解.

【详解】

因为或，

所以，

又因为

所以，

故选：C

2．A

【分析】

由两直线互相垂直，知，由此能求出实数的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】

解：直线与互相垂直，

，

解得或．

因为或时，不一定成立，

因为时，或一定成立.

“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件.

故选：A

3．B

【分析】

首先利用函数的奇偶性排除A选项，然后结合时，的函数值的正负排除D选项，进而根据时，的单调性排除C选项，进而求出结果.

【详解】

，则为奇函数，排除A；当时，，排除D；

当时，，，当时，，所以的单调递减，排除C．

故选：B．

4．B

【分析】

利用对数函数的单调性，借助中间值，即得解

【详解】

由题意，

，且

故

故选：B

5．A

【分析】

由是定义在上的奇函数，且在时，单调递减，所以在上为减函数，利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

易知函数在上为减函数．

不等式可化为，

所以，解得．

故选：A

6．A

【分析】

先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案

【详解】

由，得，

所以圆的圆心，半径，

由，得，

所以圆的圆心，半径，

所以，

所以两圆内切，

故选：A

7．B

【分析】

利用正弦定理，可求解外接圆的半径，利用外接球的表面积，可得外接球的半径，借助勾股定理，可得，利用三棱柱体积公式，即得解

【详解】

在中，，，所以，

则其外接圆的半径，

因为外接球的表面积为，所以外接球的半径，

由，得．

则．

故选：B

8．A

【分析】

结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果.

【详解】

取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，

在中结合余弦定理可得，

故，即，所以，因此，

故选：A.

9．C

【分析】

作出函数的图象，换元，问题转化为解得个数，分类讨论，结合二次方程根个数的判断及数形结合求解.

【详解】

函数的图象如图，

令，则函数的零点即方程组的解．

设，则．

若，则，有两个零点，且由

知，此时方程组有2个解；

若，则，有一个零点，此时方程组有1个解；

若，则，没有零点，此时方程组无解；

若，则，有一个零点，此时方程组有2个解；

若，则，有两个零点，且由

知，此时方程组有4个解，

故选：C

二、填空

10．2

【分析】

由题意，，利用复数的除法运算可化简得到，利用模长公式即得解

【详解】

由题意，

故答案为：2

11．

【分析】

写出展开式中的通项，令的指数为，结合已知条件可求得实数的值.

【详解】

的展开式通项为，

令，可得，所以，，解得.

故答案为：.

12．0或

【分析】

求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，圆心到直线的距离和弦长之间的关系求出k的值，进而求出直线l的倾斜角．

【详解】

直线，即，
可得圆心到直线l的距离，
圆的半径r＝2，
所以弦长，
由题意

整理可得：，
解得或
所以倾斜角为0或；
故答案为：0或.

13．;    .   

【分析】

至多游览一个意味着没游览或者只游览了一个，分别求出这两种情况的概率，相加即为至多游览一个景点的概率；求出时的概率，列随机变量的分布列，从而可求出数学期望.

【详解】

解：若游客没游览景点，概率为；若游客只游览一个景点，则概率为

，

所以游客至多游览一个景点的概率为；

由题意知，，且，，

，

，，

随机变量的分布列为

则

故答案为:;.

【点睛】

方法点睛:

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.

14．2

【分析】

将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.

【详解】

因，则，

而，当且仅当时取“=”，则，

所以实数的最小值为2.

故答案为：2

15．

【分析】

建立平面直角坐标系，作，求得点的坐标，由点的坐标可得，，利用平面向量数量积的坐标运算和二次函数求值域的方法可得的取值范围.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

作，

，

，

，

，

同理可得：

，

.

.

故的取值范围是.

【点睛】

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

三、解答题

16．（1）；（2），．

【分析】

（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的性质即可求解.

（2）利用正弦函数的性质可得，解不等式即可求解.

【详解】

（1）

，

．

（2）

设，

又，与集合取交集可得.

的单调递增区间为，

17．（1），；（2）.

【分析】

（1）先求，再建立方程组，最后求解出，即可；

（2）先判断出得到，再求，最后求即可.

【详解】

解：（1）因为，，所以，

因为的面积为，所以，即

因为，，由余弦定理得：，即，

因为，解得：，，

（2）因为，，，

所以，,

由正弦定理：，即，解得：，

所以

所以

【点睛】

本题考查二倍角的余弦公式、三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理，是中档题.

18．（1）证明见解析（2）（3）

【分析】

（1）建立以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；

（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用数量积公式求解即可；

（3）假设棱上存在点，使平面，由求解即可.

【详解】

证明：（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
 

设，则，，，

则，，，

设是平面的一个法向量，

则由，得，取，得.

，，

又平面，

平面.

（2）解：由（1）知是平面的一个法向量，

又是平面的一个法向量.

设二面角的平面角为，由图可知，,

故二面角的平面角的余弦值为.

（3）假设棱上存在点，使平面，

设，

则，

，，，

由得，

解得，

，

则.

19．（1）；（2）2.

【分析】

（1）由离心率的值及右顶点到直线的距离为3和，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；

（2）设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值．

【详解】

（1）由椭圆的方程可得右顶点，所以右顶点到直线的距离为，可得：，

由离心率，可得，所以，

所以椭圆的方程为：；

（2）由题意显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：，，

所以，

设，

取等号时，，即斜率不存在，

这时，

当，，则，

所以

令，，则恒成立，

所以在单调递增，无最小值，也无最大值，

所以无最大值，

综上所述当且仅当，即时，所以面积的最大值为2．

【点睛】

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，考查了利用韦达定理搭桥建立各个变量之间的关系，从而求得圆锥曲线的最值问题，计算量相对较大，属于较难题.

20．（1）；
（2）当a≤时，f(x)在(0,+∞)上单调递减.

当时，f(x)在上单调递增，在上单调递减；

若时，f(x)在与上单调递减，在上单调递增.；

（3）证明见解析.

【分析】

（1）求出、，代入切线方程：即可；（2）先求定义域，求导后导函数是含参的二次函数，利用根的判别式与两根的分布情况进行分类讨论；（3）结合条件进行放缩，然后在不等式两边同除以x构造一个新函数进行证明（利用两个函数的凹凸性）.

【详解】

（1）解：当时，，

则，，，

所求切线方程为，即.

（2）解：的定义域为，，

对于二次方程，有.

当时，恒成立，在上单调递减.

当时，方程有两根，，

若，，，在上单调递增，在上单调递减；

若，，在与上单调递减，在上单调递增.

（3）证明：要证，即证，因为，，所以.

当时，不等式显然成立.

当时，因为，所以只需证，

即证.令，则，

由得；由，得.所以在上为增函数，在上为减函数，所以.

，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以，

所以恒成立，即.

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.