安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题

舒城中学2017-2018学年高二第一学期期末统考试卷

数     学

（时间120分钟  满分150分）

（命题：孟松  审题：杨龙傲  磨题：王正伟）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若p、q是两个简单命题，“p且q”的是真命题，则必有

A．p假q假        B．p真q真        C．p真q假        D．p假q真

2. 已知，给出命题：“，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)

A．0个　　　　     B．1个            C．2个            D．3个

3.下列求导运算正确的是

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为和,则 =(　　)

A.1∶3 B.1∶1 C.2∶1 D.3∶1

5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为 (　)

A．30°　　   B．45°　　   C．60°　　   D．90°

6. 以下命题（其中表示直线，表示平面）

①若，则      ②若，则

③若，则     ④若，则

   其中正确命题的个数是（   ）

 A.0个            B.1个 C.2个              D.3个

7. 如果函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是(　　)

8.曲线与曲线的（     ）

A.长轴长相等                    B.短轴长相等

C.焦距相等                      D.离心率相等

9.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为(     )

A. m3  　      B. m3           C. m3          D. m3

10.已知动点在椭圆上，若椭圆的右焦点为，点满足，，则的最小值是（   ）

A.              B.            C.            D.

11. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件  　B．必要不充分条件　C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

12.已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为

A．  B．    C．  D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量,且与互相垂直,则的值是      

14. 命题“”的否定是         

15. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为则该三棱锥的外接球的表面积    

16.如图，两个椭圆， 内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，给出下列四个判断：

①到四点的距离之和为定值；

 ②曲线关于直线均对称；③曲线所围区域面积必小于36．

 ④曲线总长度不大于．上述判断中正确命题的序号为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（本题满分10分）

设函数

（I）求函数的单调递增区间和极值；

（II）求函数在上的最大值和最小值。

18.（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面⊥平面，

，，，．

 （I）证明：平面；

（II）求直线与平面所成的角的正切值．

19.（本题满分12分）

已知抛物线上的点到焦点的距离为．

（I）求，的值；

（II）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

20.（本题满分12分）

如图，在四棱柱中，侧棱⊥底面，⊥，，，，且点和分别为和的中点．

(I)求证：平面；

(II)求二面角的正弦值；

21（本题满分12分）

已知函数.

(Ⅰ)若函数的图象在点处的切线与轴平行，求实数的值；

(Ⅱ)讨论的单调性；

22.（本题满分12分）

已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段的垂直平分线与直线交于点．

 (Ⅰ)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点的直线与曲线交于不同的两点和，且满足（为坐标原点），求弦长的取值范围．

舒城中学2017-2018学年高二第一学期期末统考试卷答案

一、选择题：BDBDC     AACCC   AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.       14.   15.     16. ②③

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.(本题满分10分)(1)∴函数的单调递增区间是和 ，

函数的极大值为，极小值为

(2)∴函数在上的最大值是18，最小值是

18.（本题满分12分）（1）在直角梯形中，由，

得，，由，则，

即，又平面平面，从而平面，

所以，又，从而平面。

（2）直线AE与平面ABC所成的角的正切值是. 

19.（本题满分12分）（1），（2）直线过定点

【解析】（1）由抛物线的定义得，，解得，

所以抛物线的方程为，代入点，可解得．

（2）设直线的方程为，，，

联立消元得，则，，

由，得，所以或（舍去），

即，即，所以直线的方程为，

所以直线过定点．

20.（本题满分12分）(1)略        (2)二面角D1－AC－B1的正弦值为.

21.（本题满分12分）

22.（本题满分12分） (Ⅰ) ，所以的轨迹是以为焦点，长半轴长为的椭圆，其方程为.

 (Ⅱ)由题可得直线存在斜率，设其方程为，与椭圆联立可得：

，设直线与曲线交于不同的两点和，

则有，解得.因为,即，解得.

由弦长公式得，设，则