安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期5月仿真试卷（二）数学（理）

舒城中学2021届高三仿真试卷（二）

理  数

时间：120分钟  满分：150分

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数 （    ）

A．6   B．    C．   D．-6

2．已知集合，集合，则 （    ）

A．  B．   C．  D．

3．已知：，；：，，则真命题是 （    ）

A．  B．  C．  D．

4．已知平面向量，，且，则 （    ）

A．   B．2    C．   D．3

5．已知抛物线：，过点作抛物线的切线，切点分别为，则两点到轴距离之和的最小值为 （    ）

A．3   B．    C．   D．

6．设，，，则a，b，c的大小顺序为 （    ）

A． B．  C． D．

7．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为              （    ）

A．，  B．，7   C．， D．，

8．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的亭阁建筑，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长之比为              （    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是 （    ）

A．的最小正周期为   B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增   D．的图象关于点对称

10．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理，准晶体结构以及化学等领域都有着直接的应用．已知斐波那契数列满足：，，，若，则              （    ）

A． B． C． D．

11．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为              （    ）

A． B． C．2 D．

12．在和中，，若“”是“和全等”的充分条件，则常数不可以是 （    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为________．

14．以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，，则________．

15．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为________．

16．托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为　    　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

在数列中，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，求．

18. （本小题满分12分）

2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开．会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控．为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：

（1）判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关?

（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列与数学期望．

附：．

临界值表：

19. （本小题满分12分）

如图，四边形ABCD是边长为的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．

（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；

（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．

20. （本小题满分12分）

已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．

21. （本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在正实数t，使得当时，有恒成立，求的值．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因为其形状像心的形状而得名．

在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长．

23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）求证：中至少有一个不小于．

2021届舒城中学高考二模试卷

理科数学

考试时间：120分钟  满分：150分

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一部分  选择题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实

数 （  A  ）

A．6    B．    C．    D．-6

2. 已知集合，集合，则（  D  ）

A.  B.  C.          D.

3．已知：，；：，，则真命题是（  C  ）

A． B． C． D．

4. 已知平面向量，，且，则（  A  ）

A.  B. 2             C.               D. 3

5．已知抛物线：，过点作抛物线的切线，切点分别为，则两点到轴距离之和的最小值为 （  B  ）

A．3                  B．            C．              D．

6．设，，，则a，b，c的大小顺序为（  A  ）

A．         B．       C．       D．

7．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（  D  ）

 A．，          B．，7         C．，       D．，

8.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（  B  ）

A.  B.  C.  D.

9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（  C  ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称

10．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则（  D  ）

A． B． C． D．

11．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为 （  A  ）

A.  B.  C. 2 D.

【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，

左右焦点分别为，

不妨设在第一象限，，得，

在中，，

即，

设椭圆和双曲线的离心率分别为，

设，

取，，

当时，取得最大值为.

12.在和中，，若“”是“和全等”的充分条件，则常数t不可以是（  C  ）

A．1                  B．2                   C．3                  D．4

第二部分  非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为________．

【答案】

14.以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，，则________．

【答案】3

15．A，B，C，D四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是（个人不投自己的票），则仅A一人是最高得票者的概率为________．

【答案】

【解答】若仅A一人是最高得票者，则的票数为．

若的票数为，则；

若的票数为，则三人中有两人投给，剩下的一人与不能投同一个人，

；

所以仅A一人是最高得票者的概率为．

16．托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为　    　．

【答案】

【分析】在中，由余弦定理可得

由托勒密定理可得,即

又所以四边形的面积

三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. （本小题满分12分）

在数列中，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，求．

【详解】（1）证明：因为，所以，

所以，-------3分

又，所以．------5分

故数列是以12为首项，3为公比的等比数列．------6分

（2）由（1）可得，即，-------7分

则，------9分

18．（本小题满分12分）

2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开．会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控．为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：

（1）判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关?

（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列与数学期望．

附：．

临界值表：

【详解】（1）由题意建立列联表如下：

，-----3分

所以有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关．-----5分

（2）由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在40岁以上的有5人，年龄在40岁以下的有3人，则随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．

，    ，

，     ，--------9分

所以随机变量的分布列为

------10分

．                          -------12分

19.（本小题满分12分）

如图，四边形是边长为的菱形，平面，平面，且，分别是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：连接，交于点，连接，则为的中点，

∵是的中点，-----2分

又是的中点------4分

平面，平面，

∴平面平面．   ------5分

（2）取的中点，连接，

在菱形中，为正三角形，

平面,

故以所在直线分别为轴，建立如图示的空间直角坐标系，---6分                                                  

∴-----7分

设平面BDEF的法向量为，即，

令则，------9分

设直线与平面所成角为，

则

故直线与平面所成角的正弦值为．------12分

20.（本小题满分12分）

已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.

【解答】（1）因为的周长为，所以，即.-----2分

又离心率，解得，，.-------4分

∴椭圆的方程为.------5分

（2）设，，，则

将代入消去并整理得，

则，，，----7分

∵四边形为平行四边形，

∴，得，

将点坐标代入椭圆方程得，-----8分

点到直线的距离为，，------10分

∴平行四边形的面积为

.

故平行四边形的面积为定值为.------12分

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若存在正实数t，使得当时，有恒成立，求a的值.

解：（1）时，．

．-----2分

∴切线方程为：．

整理得：．                                  -------4分

（2）．

令，得．

令．

（ⅰ）当时，为上的减函数，．

∴时，，递增．

又此时，故时，，递减．

时，，递增．

∴时，，递增．

由．故时，．

时，．

此时，存在使时，，满足条件．------6分

（ⅱ）当时，，，递增．

此时，．

故存在使得．当时，递增．

∴时，，递减．

即时，，不存在，使时，．-----8分

（ⅲ）当时，，令，得．

∴时，递减，递减．

即时，，不存在，使时，．------10分

（ⅳ）当时，在递减．递减．

故时，，不存在，使时，．

综上所述：．                                               -------12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因为其形状像心的形状而得名．

在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

【详解】(1)由,(为参数),消参数化简得普通方程:,

令,,即化简得,即

即得曲线的极坐标方程为().-----5分

(2)由曲线极坐标方程,得其普通方程为:

联立解得

所以由两点间距离公式得-----10分

23.选修4-5：不等式选讲（本小题满分12分）

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）求证：中至少有一个不小于.

【解析】（1）当时，

无解；解得； 解得

综上，不等式的解集为.-----5分

（2）故中至少有一个不小于. ------10分

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