2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2016秋•黄山期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，则椭圆C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a，c＝2，cosA，则b＝（　　）
A． B． C．2 D．3
3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（5分）（2016秋•安徽期末）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（　　）
A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0
B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0
C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0
D．￢p是假命题
5．（5分）（2012春•黄冈期末）函数y（x＞1）的最小值是（　　）
A．22 B．22 C．2 D．2
6．（5分）（2017秋•金安区校级期末）“双曲线渐近线方程为y＝±2x”是“双曲线方程为x2λ（λ为常数且λ≠0）”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）（2017秋•金安区校级期末）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与、不能构成空间基底的向量是（　　）
A． B． C． D．或
8．（5分）（2016秋•桐城市期末）已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|，则x0＝（　　）
A．1 B．﹣1或1 C．2 D．﹣2或2
9．（5分）（2010•江苏模拟）椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）
A．3 B． C． D．
10．（5分）（2017秋•金安区校级期末）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥平面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
11．（5分）（2017秋•金安区校级期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|＝20，则|FH|＝（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
12．（5分）（2018•衡阳二模）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ的过F且垂直于x轴，过点P，Q分别作直线AP，AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，） B．（，+∞） C．（0，） D．（2，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2017秋•金安区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P，Q，双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是　 　．
14．（5分）（2017秋•金安区校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为　 　．
15．（5分）（2017秋•金安区校级期末）若对任意x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立，则实数a值范围是　 　．
16．（5分）（2017秋•金安区校级期末）设F为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点Pi（i＝1，2，3……），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，……组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆的长轴两端点为双曲线E的焦点，且双曲线E的离心率为．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为，求直线l的方程．
18．（12分）（2017秋•金安区校级期末）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且．
（1）若点M为棱CC'的中点，求异面直线AB'与BM所成角的余弦值；
（2）若点M在棱CC'上，且A'M⊥平面AB'D'，求线段CM的长．

19．（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y＝kx与椭圆交于A、B两点．
（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为46，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|k|，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．
20．（12分）（2017秋•金安区校级期末）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB＝2DE，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，∠BAC＝45°，CF＝DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．

21．（12分）（2017秋•金安区校级期末）平面内一动圆P（P在y轴右侧）与圆（x﹣1）2+y2＝1外切，且与y轴相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）已知动直线l过点M（4，0），交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM＝∠BNM．
22．（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆，上顶点为M，焦点为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点，且满足直线MA与直线MB斜率之积为．
（1）若P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PF1F2面积的最大值；
（2）试判断直线AB是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．

2017-2018学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2016秋•黄山期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，则椭圆C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，圆的半径，然后求解椭圆的a，b，即可得到椭圆方程．
【解答】解：椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，可得c，
长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，a＝2，则b＝1，
所求椭圆方程为：．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
2．（5分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a，c＝2，cosA，则b＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】由余弦定理可得cosA，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3＝0，从而解得b的值．
【解答】解：∵a，c＝2，cosA，
∴由余弦定理可得：cosA，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，
∴解得：b＝3或（舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，
∴，
解得a1＝﹣2，d＝4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
4．（5分）（2016秋•安徽期末）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（　　）
A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0
B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0
C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0
D．￢p是假命题
【考点】2J：命题的否定；2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑．
【分析】根据已知中原命题，写出命题的否定，并判断其真假，可得答案．
【解答】解：∵命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，
∴命题p为：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0；
当x＞0时，3x＞1，﹣1≤cosx≤1，
∴3x﹣cosx＞0，
故p是真命题，即¬p是假命题．
故选：D．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，分类讨论思想，难度中档．
5．（5分）（2012春•黄冈期末）函数y（x＞1）的最小值是（　　）
A．22 B．22 C．2 D．2
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】先将函数变形可得y（x﹣1）2，再利用基本不等式可得结论．
【解答】解：y（x﹣1）2
∵x＞1，∴x﹣1＞0
∴（x﹣1）2（当且仅当x1时，取等号）
∴y22
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．
6．（5分）（2017秋•金安区校级期末）“双曲线渐近线方程为y＝±2x”是“双曲线方程为x2λ（λ为常数且λ≠0）”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据双曲线渐近线方程求出a，b的关系，得到双曲线的方程即可．
【解答】解：双曲线渐近线方程为y＝±2x，
即b＝2a，或a＝2b，
故双曲线方程为x2λ（λ为常数且λ≠0），
是充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的方程问题，考查渐近线方程，是一道基础题．
7．（5分）（2017秋•金安区校级期末）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与、不能构成空间基底的向量是（　　）
A． B． C． D．或
【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有
【专题】5H：空间向量及应用．
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
【解答】解：∵（）（）（），
∴与、不能构成空间基底；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．
8．（5分）（2016秋•桐城市期末）已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|，则x0＝（　　）
A．1 B．﹣1或1 C．2 D．﹣2或2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用A（x0，y0）是C上一点，|AF|，列出方程化简求解即可．
【解答】解：抛物线C：x2＝2y的焦点为F（0，），A（x0，y0）是C上一点，|AF|，
可得：，
可得y0，
即y0，解得y0＝2，
可得x0＝±2．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5分）（2010•江苏模拟）椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】IT：点到直线的距离公式；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．
【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P到直线的距离
d；
故选：D．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
10．（5分）（2017秋•金安区校级期末）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥平面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连接DF，得到OF⊥平面PBC，可得∠ODF是OD与平面PBC所成的角．然后求解三角形得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA＝PB＝PC．
取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，
作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC．
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
∵AB＝BC＝PA，∴PO＝1，
在Rt△POC中，D是PC的中点，PC，∴OD，
在Rt△POE中，OE，PE，OF，
在Rt△ODF中，sin∠ODF．
∴直线OD与平面PBC所成角的正弦值为．
故选：C．

【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．
11．（5分）（2017秋•金安区校级期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|＝20，则|FH|＝（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，求得MN的斜率，求MN的垂直平分线方程，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF||MN|，即可得出结论．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），
弦MN的中点为K（x0，y0），
y12＝2px1，y22＝2px2，
相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），
可得则kMN，
∴MN的垂直平分线为y﹣y0（x﹣x0），
令y＝0，则xH＝x0+p，
∴|HF|＝x0，
∵|MN|＝x1+x2+p＝2x0+p，
∴|HF||MN|＝10，
故选：A．
【点评】本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，注意点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题..
12．（5分）（2018•衡阳二模）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ的过F且垂直于x轴，过点P，Q分别作直线AP，AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的距离小于2（a+c），则该双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，） B．（，+∞） C．（0，） D．（2，）
【考点】KM：直线与双曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出直线BQ的方程，令y＝0，可得B的坐标，利用B到直线PQ的距离小于2（a+c），得出a，c的关系，即可求出该双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：由题意，B在x轴上，P（c，），Q（c，），∴kAQ，
∴kBP，
直线BP的方程为y（x﹣c），
令y＝0，可得xc，
∵B到直线PQ的距离小于2（a+c），
∴2（a+c），
∴ba，
∴c，
∴e，
∵e＞1，
∴1，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2017秋•金安区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P，Q，双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是　2　．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
【解答】解：双曲线的a，b＝1，c2，
直线与双曲线的两条渐近线y＝±x联立，
解得P（，），Q（，），F1（﹣2，0）．F2（2，0），
则四边形F1PF2Q的面积是42．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，主要是渐近线方程，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）（2017秋•金安区校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为　　．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出点F到平面A1D1E的距离．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，
A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），
（1，0，0），（1，1，），（﹣1，，），
设平面A1D1E的法向量（x，y，z），
则，取y＝1，得（0，1，2），
∴点F到平面A1D1E的距离为d．
故答案为：．

【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
15．（5分）（2017秋•金安区校级期末）若对任意x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立，则实数a值范围是　．　．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据二次函数的性质，通过a是否为1，可得不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立时，a的取值范围．
【解答】解对于任意的x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0恒成立
当a＝1时，﹣1＜0恒成立；
当，时⇔a∈（，1）．
综上：实数a值范围是．
给答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用．
16．（5分）（2017秋•金安区校级期末）设F为椭圆的右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点Pi（i＝1，2，3……），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，……组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是　[﹣2，0）∪（0，2]　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】若这个等差数列是增数列，a1≥|FP1|＝4，a10≤|FP10|＝22；若这个等差数列是减数列，则a1≤|FP1|＝22，a10≥|FP10|＝4，由此可求出d的取值范围．
【解答】解：若这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝13﹣9＝4，a10≤|FP10|＝13+9＝22，
∴a10＝a1+10d，∴0＜a10﹣a1＝9d≤（13+9）﹣（13﹣9）＝2，
解得0＜d≤2
若这个等差数列是减数列，则a1≤|FP1|＝13+9＝22，a10≥|FP10|＝13﹣9＝4，
∴a10＝a1+9d，∴0＞a10﹣a1＝9d≥（13﹣9）﹣（13+9）＝﹣2，
解得﹣2≤d＜0．
∴d的取值范围为[﹣2，0）∪（0，2]．
故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]．
【点评】本题以椭圆知识为载体考查数列知识，考查发现问题解决问题的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆的长轴两端点为双曲线E的焦点，且双曲线E的离心率为．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为，求直线l的方程．
【考点】K4：椭圆的性质；KM：直线与双曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的顶点坐标求出双曲线E的焦点坐标，然后求解双曲线标准方程；
（2）设出斜率为1的直线l的方程与双曲线E联立，利用韦达定理结合线段AB的中点的横坐标为，即可求直线l的方程．
【解答】解：（1）椭圆的长轴两端点为（±3，0），得c＝3，
又，得a＝2，∴b2＝c2﹣a2＝5．∴双曲线E的方程为．
（2）设直线l的方程为y＝x+t，由得x2﹣8tx﹣4（t2+5）＝0，
∴△＝80（t2+1）＞0，，∴．∴直线方程为．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
18．（12分）（2017秋•金安区校级期末）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且．
（1）若点M为棱CC'的中点，求异面直线AB'与BM所成角的余弦值；
（2）若点M在棱CC'上，且A'M⊥平面AB'D'，求线段CM的长．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）取AC边中点为O，由题意可得OD'⊥AC，OD'⊥OB，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴建立空间直角坐标系，若M为CC'的中点，则可求，，，设异面直线AB'与BM所成的角为θ，利用向量数量积的运行即可计算得解．
（2）设M（0，1，t），则由A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，可得，进而解得A'M⊥平面AB'D'时CM的值．
【解答】解：取AC边中点为O，
∵底面ABC是边长为2的正三角形，
∴OB⊥AC连接OD'，
∵D'是边A'C'的中点，
∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，
以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，，，
（1）若M为CC'的中点，则，，，
设异面直线AB'与BM所成的角为θ，则，，
所以异面直线AB'与BM所成的角得余弦值为，
（2）设M（0，1，t），则，，，
若A'M⊥平面AB'D'，则由A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，
∴，
可得：，
即当时，A'M⊥平面AB'D'．

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直，异面直线及其所成的角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决问题，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
19．（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y＝kx与椭圆交于A、B两点．
（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为46，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|k|，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；44：数形结合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．
（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得•0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2＝12，b2＝3．
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2＝0，x1x2，
易知，AF2⊥BF2，
∵（x1﹣3，y1），（x2﹣3，y2），
∴•（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2
＝（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9＝（1+k2）x1x2+9＝0．
∴9＝0，
将其整理为k21．
∵|k|，∴12＜a2＜18，
解得，
∴离心率．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（12分）（2017秋•金安区校级期末）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB＝2DE，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，∠BAC＝45°，CF＝DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．

【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）连接DG，DC，设DC与GF交于点T．证明四边形DGCF是平行四边形，DG∥FC．TH∥DB，然后证明BD∥平面FGH
（2）以点G为坐标原点，GA，GB，GC所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，求出相关点的坐标；求出平面ACFD的一个法向量，平面FGH的法向量，然后求解平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．
【解答】解：（1）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T．在三棱台DEF﹣ABC中，AB＝2DE，则AC＝2DF，
而G是AC的中点，DF∥AC，则，所以四边形DGCF是平行四边形，T是DC的中点，DG∥FC．
又在△BDC中，H是BC的中点，则TH∥DB，
又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，
故BD∥平面FGH
（2）解：由CF⊥平面ABC，可得DG⊥平面ABC，
又AB⊥BC，∠BAC＝45°，则GB⊥AC，于是GB，GA，GC两两垂直，
以点G为坐标原点，GA，GB，GC所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则DE＝CF＝1，，，，，D（0，0，1），，
平面ACFD的一个法向量为，
设平面FGH的法向量为，则，即，
取x2＝1，则y2＝﹣1，，，，
故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°．

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
21．（12分）（2017秋•金安区校级期末）平面内一动圆P（P在y轴右侧）与圆（x﹣1）2+y2＝1外切，且与y轴相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）已知动直线l过点M（4，0），交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM＝∠BNM．
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设圆心P，根据动圆P与圆（x﹣1）2+y2＝1外切，且与y轴相切．建立关系可得轨迹C的方程
（2）设而不求的思想，结合韦达定理即可证明．
【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0），则，y2＝4x
∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2＝4x（x＞0）．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由于O为MN的中点，则N（﹣4，0）
当直线l垂直于x轴时，由抛物线的对称性知∠ANM＝∠BNM．
当直线l不垂直于x轴时，设l：y＝k（x﹣4），
由，得k2x2﹣4（2k2+1）x+16k2＝0，
∴，x1•x2＝16，
∵，，
∴，∴∠ANM＝∠BNM，
综上，∠ANM＝∠BNM．
【点评】本题考查了轨迹方程是求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．
22．（12分）（2017秋•金安区校级期末）已知椭圆，上顶点为M，焦点为F1，F2，点A，B是椭圆C上异于点M的不同的两点，且满足直线MA与直线MB斜率之积为．
（1）若P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PF1F2面积的最大值；
（2）试判断直线AB是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据三角形的面积公式结合椭圆的性质，即可求出，
（2）由题意，M（0，2），直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得（4m2+3）y2+8mty+4t2﹣12＝0，△＝48（4m2﹣t2+3）＞0①，由于直线MA与直线MB斜率之积为，根与系数的关系代入可得：化简得13t2+64mt+76m2＝0，解得t＝﹣2m或．分别讨论解出即可．
【解答】解：（1）设P（x0，y0），则
∴△PF1F2面积的最大值为．
（2）由题意，M（0，2），直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（4m2+3）y2+8mty+4t2﹣12＝0，△＝48（4m2﹣t2+3）＞0①，
∴，②
∵直线MA与直线MB斜率之积为，
∴，
将②式代入，化简得13t2+64mt+76m2＝0，解得t＝﹣2m或
当t＝﹣2m时，直线AB的方程为：x＝m（y﹣2），过定点（0，2），不符合题意；
当时，直线AB的方程为：，过定点，将代入①式，
解得
∴直线AB过定点．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
3．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
4．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
5．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
⇒a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
6．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为　　
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
7．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝　　
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
8．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A，sin B，sin C；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A，
cos B，
cos C
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
9．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
10．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
11．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
12．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

13．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
14．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
15．直线与椭圆的综合
v．
16．直线与双曲线的综合
v．
17．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

18．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
19．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
20．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
21．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
22．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
23．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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