【校级联考】安徽省安庆市2018届高三下学期五校联盟考试数学（文）试题（解析版）

五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考

数 学 试 卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，.R表示实数集，则下列结论正确的是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数的定义域，化简集合，由一元二次不等式的解法化简集合，求出，根据子集的定义可得结果.

【详解】 ，

或，

，

显然，

即，故选C.

【点睛】集合的基本运算的关注点：

（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；

（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；

（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．

2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于(    )

A. 第一象限    B. 第二象限

C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】A

【解析】

由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.

3.正项等差数列的前和为，已知，则=（     ）

A. 35    B. 36    C. 45    D. 54

【答案】C

【解析】

【分析】

由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.

【详解】正项等差数列的前项和，

，

，

解得或（舍），

，故选C.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.

4.小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒,则区间长度为30 ,十字路口的交通信号路灯区间长度为90，由几何概型概率公式可得结果.

【详解】十字路口的交通信号灯，绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒，区间长度为90 ,

根据交通规则可得小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒，

应该是从绿灯熄灭以后的30秒内到达路口，即区间长度为30 ,

小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率为,故选D.

【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

5.设则（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由指数函数的单调性和对数函数的单调性,我们可以判断出与的大小关系，进而得到结论.

【详解】，

，即，

且，即，

，即，

故，故选C.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（　　）

A. 90    B. 72    C. 68    D. 60

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图可知：该几何体是由一个长方体和四棱锥组成的组合体，分别计算他们的体积，相加可得结果.

【详解】由已知中的三视图可知：该几何体是由一个长方体和四棱锥组成的组合体，

其中长方体的体积为：,

四棱锥的体积为：，

故组合体的体积，故选B.

【点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2) 求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3) 求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.

7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

试题分析：程序框图的执行过程如下：，循环结束，故可填入的条件为．故选C．

考点：程序框图．

视频

8.把函数的图象向左平（）个单位，得到一个偶函数，则的最小值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

函数.

图象向左平（）个单位，

得到为偶函数，

所以.

.,的最小值为.

故选D.

点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.

首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；

其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.

9.已知抛物线的焦点为，定点.若射线与抛物线C相交于点（点在、中间），与抛物线C的准线交于点，则(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

求出抛物线的焦点的坐标，从而得到的斜率，过作于 , 根据抛物线定义得中，根据，从而得到，进而算出，由此即可得到的值.

【详解】抛物线的焦点为，点坐标为，

抛物线的准线方程为，直线的斜率为，

过作于，根据抛物线定义得，

中，，，

可得，得，

因此可得，故选B.

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线的斜率公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

10.已知中，，，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D. 0

【答案】B

【解析】

如图，建立平面直角坐标系，设，，

，，

，

故选；B

11.设函数，，则函数的零点个数是（   ）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

【答案】B

【解析】

函数的零点个数就是函数的图象和函数的图象的交点个数，分别画出函数的图象和函数的图象,如图，由图知，它们的交点个数是，函数的零点个数是,故选B.

【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .

12.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是（ ）.

A.     B. 2    C. 4    D. 8

【答案】B

【解析】

试题分析：设则有即的最大值为2.

考点：基本不等式

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.

【答案】甲.

【解析】

【分析】

甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高

【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，

而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．

从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．

故答案为：甲

【点睛】画茎叶图时的注意事项

（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；

（2）将茎上的数字按大小次序排成一列。

（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧。

（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较。

14.设实数满足，则的最小值为_________.

【答案】4.

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】画出表示的可行域，如图，

由可得，

将变形为，

平移直线，

由图可知当直经过点时，

直线在轴上的截距最小，

最小值为，故答案为.

【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15.已知椭圆 与双曲线 有公共的左、右焦点,它们在第一象限交于点,其离心率分别为,以为直径的圆恰好过点,则________.

【答案】.

【解析】

【分析】

由椭圆定义与双曲线的定义，求得，利用勾股定理可得，从而可得结果.

【详解】由椭圆定义得，①

在第一象限，由双曲线定义得，②

由①②得，

因为为直径的圆恰好过点,

所以，，

，

，

，即，故答案为2.

【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的定义、简单性质与离心率，属于中档题.求解与圆锥曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、焦距等圆锥曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式.

16.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

；

根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是43，则________.

【答案】13.

【解析】

【分析】

通过已知条件,归纳总结一般的结论（猜想) , 通过前三个已知的等式的规律，得，通过三个等式的规律，得，则.

【详解】由；

观察得，

，

故，；

由；

观察得

，

，

故，

，则，故答案为13.

【点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于难题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知函数=．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若,，求.

【答案】（1）函数的单调递增区间是（2）b=c=2

【解析】

【分析】

（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）由,求得，利用余弦定理，结合，列方程组可求得的值.

【详解】(1)∵ =sin(3π+x)·cos(π−x)+cos2(+x)，

∴ (−cos x)+(−sin x)

=，

由 2kπ−2x-2kπ+，k∈Z，

可得函数的单调递增区间是k∈Z．

(2)由,得，sin(2A-)+=，

∵0<A<π，∴0<2A<2π，

∵a=2，b+c=4　①，

根据余弦定理得，

4=+−2bccos A=+−bc=(b+c)−3bc=16−3bc，

∴bc=4　②，

联立①②得，b=c=2．．

【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

18.如图1所示，平面多边形中，四边形为正方形，∥,沿着将图形折成图2，其中 为的中点.

  （Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

【答案】(1)见解析；(2)1.

【解析】

试题分析:(1) 由题可知，，，且，由线面垂直的判定定理可得平面,进而得到,又,可证出平面，则;(2)将四棱锥分割,, 因为，且，所以，所以，计算三棱锥E-ABD的体积即可.

试题解析:

（1）证明：由题可知，，，且，，平面，

所以平面．

因为平面，所以．

因为，是的中点，所以．

又，，平面，所以平面，

又因为平面，所以．

（2）解：，其中．

因为，且，所以，

所以．

点睛: 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

19.随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？

（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

试题分析：（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，
（2）根据分层抽样即可求出经常使用共享单车和偶尔或不用共享单车的人数，）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．

试题解析：

（1）由列联表可知：，

因为，

所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关．

（2）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）．

设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，．

则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种，

其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，

故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．

点睛：古典概型的概率求解步骤

(1)判断试验是否为古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型；

(2)计算基本事件的总数n；

(3)计算事件A包含的基本事件的个数m；

(4)计算事件A的概率.

20.如图,椭圆：的左、右焦点分别为,椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为.                                                            

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用椭圆的定义和离心率公式、以及a，b，c的关系，求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为代入椭圆的方程,消去并整理得，利用韦达定理表示，从而得到定点，检验直线l的斜率不存在时也适合题意.

,．

【详解】（Ⅰ）由题设得2a+2c=6,又e==,解得a=2，c=1,∴b=.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）右焦点为（1，0），当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,

设A（x1，y1），B（x2，y2）,把,代入椭圆的方程,消去并整理得,

,则,

可得.设点,

那么 ,

,

若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,

此时,

当直线l的斜率不存在时,此时直线l的方程为x=1,把x=1代入椭圆方程解得,

此时,,

综上,在轴上存在定点,使得为定值.

【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法

（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；

（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

21.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.

【答案】（1）当时，的增区间为；当时，的增区间为，的减区间为；    （2）的取值范围是

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集

试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为

若，则，所以在单调递增

若，则当时，；当时，。所以在单调递增，在单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为

因此等价于

令，则在单调递增，

于是，当时，；当时，

因此，的取值范围是

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值.

【答案】（1），（2）

【解析】

【试题分析】（1）对于，利用，化简得，对于，展开后利用极坐标与直角坐标转化公式，化简的.（2）直接利用点到直线距离公式，求出距离，并用辅助角公式化简，利用三角函数最值求得距离的最小值.

【试题解析】

解:（1）由曲线：得

即：曲线的普通方程为：

由曲线：得：

即:曲线的直角坐标方程为：

（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为

所以当时，的最小值为

23.选修45：不等式选讲：设函数.

（Ⅰ）求不等式的解集;

（Ⅱ）若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（Ⅱ）恒成立,等价于小于最小值，求出分段函数每段函数的最小值，比较大小即可求得最小值，从而可得结果.

【详解】（Ⅰ）)由题意,

当时,,解得,∴;

当时,,解得,∴;

当时, ,解得,∴;

综上,不等式的解集为.

（Ⅱ）当时,, ;

当时,;

当时, .

所以.

不等式恒成立等价于,即,

解得.

【点睛】绝对值不等式的常见解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．