山东省威海市经济开发区新都中学2022-2023学年九年级数学上学期第三次月考测试题+

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山东省威海市经济开发区新都中学
2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
2．关于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于原点对称 B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限 D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝3
3．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）

A．（）米 B．12米 C．（）米 D．10米
4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得△AED，连接CE，则点E到BC的距离为（　　）

A． B． C． D．2
5．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（　　）

A． B． C． D．1

6．若点A（x1，m），B（x2，n）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a为常数，且a＞0）的图象上，且x1＜x2＜1则m和n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．以上答案都不对
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：
①a＜0，c＞0，b＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b＞am2+bm；
④b+2a＝0；⑤﹣a+c＞0．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动，且保持AE＝CF．连接DE、DF、EF得到下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面积的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正确的结论是（　　）

A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（　　）

A．55° B．65° C．110° D．125°
11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以B为圆心，以BC为半径画圆交边AB于点E，点P是弧CE上的一个动点，连结PD，PA，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，一段抛物线（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，交x轴于A3，一直进行下去，直至得到C506，则抛物线C506的顶点坐标是（　　）

A．（2020，3） B．（2020，﹣3） C．（2022，3） D．（2022，﹣3）
二、填空题
13．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为　 　海里（结果保留根号）．

14．已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为　 　．
15．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为　 　米．

16．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，若△OAB恰为等边三角形，则的长度为 　 　．

17．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为 　 　．


18．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连接PA、PB．则△PAB面积的最小值是　 　．

三、解答题
19．计算：
（1）sin60°+4cos230°﹣sin45°tan60°；
（2）．
20．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．

21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．


22．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号）

23．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

24．已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE＝．
（1）求证：AM•MB＝EM•MC；
（2）求EM的长；
（3）求sin∠EOB的值．



25．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．


参考答案
一、单选题
1．解：如图：

设BC＝5x，
∵tanA＝，
∴AC＝12x，AB＝＝13x，
∴cosA＝＝＝．
故选：D．
2．解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象关于原点轴对称，故选项A正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误；
该函数图象为别位于第一、三象限，故选项C正确；
若点M（a，b）在其图象上，则ab＝3，故选项D正确；
故选：B．
3．解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CEF＝30°，作CF⊥BD于F，
在Rt△CEF中，∠CEF＝30°，CE＝4m，
∴CF＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米），
在Rt△CFD中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
即CF＝2（米），CF：DF＝1：2，
∴DF＝4（米），
∴BD＝BE+EF+FD＝8+2+4＝12+2（米）
在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12+2）＝（+6）米．
故选：A．

4．解：如图，连接EB，过点E作EH⊥BC于H，

∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝CD＝2.5，
∵将△ABD沿AD翻折得△AED，
∴AE＝AB＝3，BD＝DE＝CD，
∴∠CEB＝90°，AD垂直平分BE，
∴EO＝BO，
∵S△ADB＝S△ABC＝××3×4＝3，
∴××BO＝3，
∴BO＝，
∴BE＝，
∴DO＝＝＝，
∵sin∠DBO＝＝＝，
∴EH＝，
故选：A．
5．解：作AD⊥BC于D，如图所示：
由勾股定理得：BC＝＝，AB＝＝，
∵△ABC的面积＝BC×AD＝×3×1﹣×1×1，
∴××AD＝×3×1﹣×1×1，
解得：AD＝，
∴sin∠ABC＝＝＝；
故选：B．

6．解：y＝ax2﹣2ax+5＝a（x﹣1）2+5﹣a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵x1＜x2＜1，a＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴m＞n，
故选：A．
7．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，②正确．
∵当x＝1时，函数有最大值a+b+c，
∴对于任意的实数m都有am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥am2+bm，故③错误．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b+2a＝0，故④正确．
∵a＜0，c＞0，
∴﹣a+c＞0，故⑤正确．
故选：C．
8．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；
②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．
对照四个选项可知C正确．
故选：C．
9．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB；
∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DF最小时，EF也最小；
即当DF⊥BC时，DF最小，此时DF＝BC＝2．
∴EF＝DF＝2．故此选项错误；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF＝S△ADE，
∴S四边形CEDF＝S△ADC．
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝＝4，
∴AD＝CD＝2，
此时S△CEF＝S四边形CEDF﹣S△DEF＝S△ADC﹣S△DEF＝﹣×2×2＝4﹣2＝2．故此选项正确；
故正确的有①②，
故选：B．

10．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故选：C．
11．解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，BC＝AD＝2，
在AB上截取BE＝1，则AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∴，
∵∠PBE＝∠ABP，
∴△BPE∽△BAP，
∴，
∴PE＝，
∴＝PE+DP，
∴当D、P、E共线时，PE+DP最小，
∵DE＝＝＝，
∴的最小值为：，
故答案为：C．
12．解：当y＝0时，﹣x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝4，
∴A1（4，0），
∵将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2，将C2绕A2旋转180得到C3，
∴A2（4×2，0），A3（4×3，0），
∴A505（4×505，0），A506（4×506，0），即A505（2020，0），A506（2024，0），
∵抛物线C506的开口向上，
∴抛物线C506的解析式为y＝（x﹣2020）（x﹣2024），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2022，
当x＝2022时，y＝（2022﹣2020）（2022﹣2024）＝﹣3，
∴抛物线C506的顶点坐标是（2022，﹣3）．
故选：D．
二、填空题
13．解：根据题意得：PC＝4海里，∠PBC＝90°﹣45°＝45°，∠PAC＝90°﹣60°＝30°，
在直角三角形APC中，∵∠PAC＝30°，∠C＝90°，
∴AC＝PC＝4（海里），
在直角三角形BPC中，∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，
∴BC＝PC＝4海里，
∴AB＝AC﹣BC＝（4﹣4）海里；
故答案为：（4﹣4）．
14．解：当y＝0，则0＝x2﹣4x+3，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
y＝x2﹣4x+3
＝（x﹣2）2﹣1，
∴M点坐标为：（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，
∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
∴平移后的解析式为：y＝（x+1）2＝x2+2x+1．
故答案为：y＝x2+2x+1．
15．解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上，
把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：
0＝﹣（22﹣11）2+k，
解得：k＝13，
∴y＝﹣（x﹣11）2+13，
∵P和P′关于x轴对称，
∴PP′＝2×13＝26（米），
故答案为：26．
16．解：如图，设直线y＝﹣x+2交坐标轴于点C、D，作OE⊥CD于点E，
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，
∴点C的坐标为（0，2），点D（2，0），
∴CD＝2，
∵S△COD＝CD•OE＝OC•OD，
∴OE＝，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝＝＝，
∴的长度为：＝．
故答案为：．

17．解：连接AO，BO，CO．

∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故答案为：12．
18．解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC．

由题意：A（4，0），B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，
则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，
∴5×CM＝20，
∴CM＝4，
∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是4﹣2＝2，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×2＝5，
故答案为5．
三、解答题
19．解：（1）sin60°+4cos230°﹣sin45°tan60°
＝×+4×（）2﹣×
＝+4×﹣
＝3；
（2）
＝×（）2﹣
＝×﹣
＝﹣
＝．
20．解：（1）把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，
则y＝．
把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y＝kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，
解得，
则所求一次函数的表达式为y＝﹣x+7．
（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE＝|m﹣7|．
∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5．
∴|m﹣7|＝1．
∴m1＝6，m2＝8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．

21．解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+2）2＝（2）2+R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4．

22．解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：

则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝6+20（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝6+20（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9＝29+6（米）．
故大楼AB的高度大约是29+6米．
23．解：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAO；
（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC＝∠DAO＝105°，
∵∠E＝30°，
∴∠OCE＝45°；
②作OG⊥CE于点G，

则CG＝FG＝OG，
∵OC＝2，∠OCE＝45°，
∴CG＝OG＝2，
∴FG＝2，
在Rt△OGE中，∠E＝30°，
∴GE＝2，
∴．
24．（1）证明：连接AC、EB，
∵∠A＝∠BEC，∠B＝∠ACM，
∴△AMC∽△EMB，
∴，
∴AM•BM＝EM•CM；
（2）解：∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE2+EC2＝DC2，
∵DE＝，CD＝8，且EC为正数，
∴EC＝7，
∵M为OB的中点，
∴BM＝2，AM＝6，
∵AM•BM＝EM•CM＝EM（EC﹣EM）＝EM（7﹣EM）＝12，且EM＞MC，
∴EM＝4；
（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵OE＝4，EM＝4，
∴OE＝EM，
∴OF＝FM＝1，
∴EF＝，
∴sin∠EOB＝．


25．解（1）∵x2+4x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m＝﹣1，n＝﹣3，
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标D（1，﹣4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB＝OC＝3，
∴BE＝DE＝1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，

∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ＝，
∴QF＝1，
当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，
PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S＝PM×QF＝（﹣t2﹣3t）＝﹣t2+t，
如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，
PM＝t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），
∴S＝PM×QF＝（t2﹣3t）＝t2﹣t