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    3.4还原构造函数5大模型(精练)-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)

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    3.4  还原构造函数5大模型

    【题型解读】

    题型一 原函数加减型

    1.2022·山东济南历城二中高月考)定义在R上的可导函数满足,若,则m的取值范围是(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】令,则,则R上单减,又等价于,即,由单调性得,解得.故选:B.

    2.2022·石嘴山市第三中学期末设函数上存在导函数,且有;若,则实数的取值范围为(       

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】令,则所以上单调递增

    ,得,即,又因为,所以

    所以,所以,解得.故选:D

    32022·天津·崇化中期中已知是定义在上的奇函数,是函数的导函数且在,若,则实数的取值范围为(   

    A. B.

    C. D.

    【答案】B

    【解析】设,则

    上,,则,即函数上单调递减,

    是定义在上的奇函数,则函数上的奇函数,故上单调递减,

    ,即

    可得:,解得:

    故选:B.

    4. 2022·河南高三月考)已知奇函数R上的导函数为,且当时,,则不等式的解集为(   

    A. B. C. D.

    【答案】C

    【解析】因,即,令,则上递减,

    R上的奇函数,则也是R上的奇函数,从而有R上单调递减,

    显然,则有

    R上单调递减得

    所以所求不等式的解集为.故选:C

    5. (2022·江苏南通市高三模拟)已知定义在上的函数满足,对恒有,则的解集为(   

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】令,则

    又因为对恒有

    所以成立,

    所以在R上单减.

    ,所以的解集为故选:B

    题型 原函数相乘型

    1.2022·山东青岛高三期末)若定义在上的函数满足,则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为(   

    A. B.

    C. D.

    【答案】C

    【解析】令

    所以上单调递增,

    又因为

    所以

    即不等式的解集是

    故选:C

    2.2022·天津市南开中学模考已知函数满足(其中的导数),,则abc的大小关系为(   

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】令,则

    上单调递增.

    ,即

    .

    故选:D.

    32022·天津市南开中学月考已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则不等式的解集为(       

    A B C D

    【答案】A

    【解析】令,因为当时,,所以上单调递减.

    是定义在上的奇函数,所以

    所以为偶函数,所以上单调递增.

    又不等式可化为,即,所以,得.故选:A.

    4. 2022·安徽省江淮名校期末已知偶函数的定义域为R,导函数为,若对任意,都有成立,则下列结论正确的是(       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】令,则,则A错误;

    ,则

    时,由

    ,则上单调递增,

    又因为偶函数的定义域为R

    为偶函数,上单调递增,

    ,故B错误;

    ,故C正确;

    由题意,不妨假设(c为常数)符合题意,此时,故D错误.故选:C.

    5. (2022·江西上饶市·高三月考)若函数是奇函数的导函数,且满足当时,,则的解集为(   

    A. B. C. D.

    【答案】A

    【解析】设

    可知函数时单调递增,

    ,可知函数小于零,且,可知

    同理在上,

    可知函数均有

    为奇函数,

    则在区间上,都有

    可知不等式的解集为

    故选:A.

    6. 2022·广东广州·三模)已知定义在上的函数满足为偶函数,且当,有,若,则不等式的解集是(       

    A B C D

    【答案】A

    【解析】因为定义在上的函数满足为偶函数,

    所以函数关于直线对称,即.

    因为当,有,即

    故令,则上单调递增,

    因为

    所以关于点对称,

    所以上单调递增,

    因为,所以

    所以,当时,,所以.

    时,,所以,即无解.

    所以,不等式的解集是

    故选:A

    7. (2022·河南高模拟 已知函数的定义域为,其导函数是,且.若,则不等式的解集是(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】构造函数,其中

    故函数上为增函数,且

    因为,由可得,即,解得.故选:B.

    题型 原函数相除型

    1.(2022·河南高期末)已知偶函数的导函数为,且满足,当时,,则的解集为(   

    A. B.

    C. D.

    【答案】B

    【解析】根据题意,设函数

    时,

    所以函数上单调递减,

    为偶函数,所以

    所以函数为奇函数,

    则函数上也单调递减,

    ,所以,得

    的函数值大于零,的函数值小于零.

    又因为

    所以当,由可得,即

    ,由可得,即

    的函数值大于零.故选:B

    2.2022·广东汕尾·期末)已知定义在R上的函数的导函数为,且满足,则不等式的解集为(   

    A. B. C. D.

    【答案】D

    【解析】由题可设,又

    所以函数R上单调递增,

    将不等式转化为

    所以,即

    ,故得,所以不等式的解集为,故选:D.

    3.(2022·广东·期末)已知的定义域是的导函数,且满足,则不等式的解集是(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】令,则,所以函数在区间上单调递增,所以,解之得,即原不等式的解集为,故选:B.

    4.(2022·全国单元测试)设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】设,则

    时,

    时,,即上单调递减.

    由于是奇函数,所以,是偶函数,所以上单调递增.

    ,所以当时,

    时,.

    所以当时,.故选:B.

    5. (2021·河南新乡市·高三一模)已知函数的导函数为,定义域为,且满足,则不等式成立时m的取值范围为__________.

    【答案】

    【解析】由题意,函数的定义域为

    因为,可得

    ,可得,所以函数上单调递减,

    又由,所以,且

    ,解得,即m的取值范围为.

    故答案为:.

    题型 与三角函数组合型

    1.2022·黑龙江工农·鹤岗一中高期末)已知奇函数的导函数为,且上恒有成立,则下列不等式成立的(   

    A. B.

    C. D.

    【答案】B

    【解析】构造函数,由上恒有

    上为增函数,

    又由为偶函数,

    ,故A错误.

    偶函数上为增函数,上为减函数,

    ,故B正确;

    ,故C错误;

    ,故D错误.

    故选:B.

    2.2022·湖南师范大学附中模考已知函数满足:,且.若角满足不等式,则的取值范围是(   

    A. B. C. D.

    【答案】B

    【解析】令

    因为

    所以R上的单调减函数,

    又因为

    所以

    ,即

    所以函数为奇函数,

    即为

    化简得

    ,即

    由单调性有

    解得

    故选:B.

    3.(2022·全国高课时练习)已知奇函数的导函数为,且上恒有成立,则下列不等式成立的(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】构造函数,由上恒有成立,即上为增函数,又由为偶函数,,故A错误.

    偶函数上为增函数,上为减函数,

    ,故B正确;

    ,故C错误;

    ,故D错误.

    故选:B

    4. 2022·辽宁省高模拟奇函数定义域为,其导函数是.时,有,则关于x的不等式的解集为(  )

    A.(π B

    C D

    【答案】D

    【解析】令,因为当时,有

    所以,当时,

    所以,函数(内为单调递减函数,

    所以,当时,关于的不等式可化为,即

    所以

    时,,则关于的不等式可化为,即

    因为函数为奇函数,故,也即所以,即

    所以,.综上,原不等式的解集.故选:D

    题型 看题干结构型

    1.2022·辽宁省实验中学分校高期末),则(       

    A B C D

    【答案】D

    【解析】设,可得,令,解得

    时,单调递减;当时,单调递增,

    所以,即

    ,所以最小,

    又由,因为,所以,所以

    综上可得:.故选:D.

    2.2022·全国·华中师大一附中模拟预测),则的大小关系是(       

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】构造函数,其中,则

    时,,所以,函数上单调递增,

    因为,则,即,即

    所以,

    因为,故,即,即

    因此,.

    故选:D.

    3. 2022·辽宁大连·二模)设,则(       

    A B C D

    【答案】A

    【解析】设,则

    ,则

    所以当时,单调递增;

    时,单调递减;

    ,所以.故选:A.

    4. 2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末下列结论正确的是(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】构造函数,其中,则

    时,,此时函数单调递增,

    时,,此时函数单调递减,

    对于A选项,,则,即,所以,A错误;

    对于B选项,,则,即,所以B正确;

    对于C选项,,则,即

    所以,,所以,C错误;

    对于D选项,,则,即,所以,D错误.

    故选:B.

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