3.4还原构造函数5大模型（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.4  还原构造函数5大模型

【题型解读】

【题型一　原函数加减型】

1.（2022·山东济南历城二中高三月考）定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则，则在R上单减，又等价于，即，由单调性得，解得.故选：B.

2.（2022·石嘴山市第三中学期末）设函数在上存在导函数，且有，；若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，则，所以在上单调递增

由，得，即，又因为，所以，

所以，所以，解得.故选：D

3．（2022·天津·崇化中学期中）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，则

又上，，则，即函数在上单调递减，

又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，

又

，即

可得：，解得：

故选：B.

4. （2022·河南高三月考）已知奇函数在R上的导函数为，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因，即，令，则，在上递减，

又是R上的奇函数，则也是R上的奇函数，从而有在R上单调递减，

显然，则有

由在R上单调递减得，

所以所求不等式的解集为.故选：C

5. （2022·江苏南通市高三模拟）已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

又因为对恒有

所以恒成立，

所以在R上单减.

又，所以的解集为故选：B

【题型二　原函数相乘型】

1.（2022·山东青岛高三期末）若定义在上的函数满足，，则不等式 (其中为自然对数的底数)的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令，

则，

所以在上单调递增，

又因为，

所以，

即不等式的解集是，

故选：C

2.（2022·天津市南开中学模考）已知函数满足(其中是的导数)，令，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，则，

故在上单调递增.

，即，

，

.

故选：D.

3．（2022·天津市南开中学月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，因为当时，，所以在上单调递减．

又是定义在上的奇函数，所以，

所以为偶函数，所以在上单调递增．

又不等式可化为，即，所以且，得或．故选：A.

4. （2022·安徽省江淮名校期末）已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，则A错误；

令，则，

当时，由，

，则在上单调递增，

又因为偶函数的定义域为R，

∴为偶函数，在上单调递增，

，，故B错误；

，，故C正确；

由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.故选：C.

5. （2022·江西上饶市·高三月考）若函数是奇函数的导函数，且满足当时，，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，，

可知函数在时单调递增，

又，可知函数在小于零，且，可知，

同理在上，，

可知函数在和均有，

又为奇函数，

则在区间和上，都有，

由得或，

可知不等式的解集为．

故选：A．

6. （2022·广东广州·三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为定义在上的函数满足为偶函数，

所以函数关于直线对称，即.

因为当，有，即，

故令，则在上单调递增，

因为，

所以关于点对称，

所以在上单调递增，

因为，所以

所以，当时，，所以.

当时，，所以且，即无解.

所以，不等式的解集是

故选：A

7. （2022·河南高三模拟） 已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，其中，

则，

故函数在上为增函数，且，

因为，由可得，即，解得.故选：B.

【题型三　原函数相除型】

1.（2022·河南高三期末）已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，设函数，

当时，，

所以函数在上单调递减，

又为偶函数，所以，

所以函数为奇函数，

则函数在上也单调递减，

又，所以，得，

故在和的函数值大于零，在和的函数值小于零．

又因为，

所以当时，由可得，即；

当时，由可得，即．

故在的函数值大于零．故选：B

2.（2022·广东汕尾·高三期末）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可设，又，

则，

所以函数在R上单调递增，，

将不等式转化为，

所以，即，

有，故得，所以不等式的解集为，故选：D.

3．（2022·广东·高三期末）已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，故选：B.

4．（2022·全国单元测试）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

∵ 当时，，

当时，，即在上单调递减.

由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递增.

又，所以当或时，；

当或时，.

所以当或时，.故选：B.

5. （2021·河南新乡市·高三一模）已知函数的导函数为，定义域为，且满足，则不等式恒成立时m的取值范围为__________.

【答案】

【解析】由题意，函数的定义域为，

因为，可得，

设，可得，所以函数在上单调递减，

又由，所以，且，

则，解得，即m的取值范围为.

故答案为：.

【题型四　与三角函数组合型】

1.（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，由在上恒有，

，

在上为增函数，

又由，为偶函数，

，，，

，故A错误.

偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，，

，，故B正确；

，，，，故C错误；

，，，，故D错误.

故选：B.

2.（2022·湖南师范大学附中模考）已知函数满足：，，且.若角满足不等式，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令

因为，

所以为R上的单调减函数，

又因为，

所以，

即，即，

所以函数为奇函数，

故，

即为，

化简得，

即，即，

由单调性有，

解得，

故选:B.

3.（2022·全国高三课时练习）已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.

偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，故B正确；

，，故C错误；

，，故D错误.

故选：B

4. （2022·辽宁省高三模拟）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　）

A．（，π） B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，因为当时，有，

所以，当时，，

所以，函数在(内为单调递减函数，

所以，当时，关于的不等式可化为，即，

所以；

当时，，则关于的不等式可化为，即

因为函数为奇函数，故，也即所以，即，

所以，．综上，原不等式的解集.故选：D．

【题型五　看题干结构型】

1.（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，可得，令，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，即，

则，，所以最小，

又由，因为，所以，所以，

综上可得：.故选：D.

2.（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）设，，，则、、的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，其中，则，

当时，，所以，函数在上单调递增，

因为，则，即，即，

所以，，

因为，故，即，即，

因此，.

故选：D.

3. （2022·辽宁大连·二模）设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

又，，，

又，所以.故选：A.

4. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

对于A选项，，则，即，所以，，A错误；

对于B选项，，则，即，所以，B正确；

对于C选项，，则，即，

所以，，所以，，C错误；

对于D选项，，则，即，所以，，D错误.

故选：B.