1.2逻辑用语与充分、必要条件（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

1.2  逻辑用语与充分、必要条件

【题型解读】

【知识储备】

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

2．集合判断法判断充分条件、必要条件

若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则

（1）若，则是的充分条件；

（2）若，则是的必要条件；

（3）若，则是的充分不必要条件；

（4）若，则是的必要不充分条件；

（5）若，则是的充要条件；

（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.

3.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

【题型精讲】

【题型一　充分、必要条件的判定】

必备技巧  充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．

例1　（2021·浙江）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B.

【解析】若但= 不一定成立, 故充分性不成立;若时,一定成立,故必要性成立, 故“ ”是“ ”的必要不充分条件故答案为：B.

例2　（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】解不等式可得，，

又，反之不成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

例3　（2022·全国·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】“直线与直线平行”

因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立；

当直线与直线平行时，，解得或，

当时，直线与直线重合，

当时，直线，直线平行，故充要条件成立．故选：A．

【题型精练】

1. （2022·天津河东·一模）“且”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当且时，不成立，因为时，无意义，所以充分性不成立.

当时，有可能得到且，所以不是必要条件.

因此“且”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2．（2022•福州模拟）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解答】解：，，，

①若“ “，则，即，所以具有充分性；

②若，则，不一定可以推到，如，，，但，所以不具有必要性；

故选：．

3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵公比，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴，

又∵，∴，∴，∴，

∴且，

∴且，

即“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

4. （2022·河北·模拟预测）“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】，则要满足，解得：，

因为，但

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

【题型二　根据充分、必要条件求参数范围】

必备技巧  根据充分、必要条件求参数范围

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

例4　（2022·江西新余·高三期末）已知”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（　　）

A．2 B．1 C．0 D．1

【答案】D

【解析】由，得或，

因为”的必要不充分条件是“或”，

所以，解得，

所以实数a的最大值为1，

故选：D

例5　（山西省吕梁市交城县2022届高三核心模拟（下）理科数学（一）试题）“，使得成立”的充要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，等价于，

又，当且仅当时等号成立，

即，故．

故选：A．

例6　（2022·全国·高三专题练习）已知集合，设.

(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(3)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【解析】(1)，

因为p是q的充要条件，所以，

∴；

(2)因为p是q的充分不必要条件，所以且，

∴，即；

(3)因为p是q的必要不充分条件，所以且，

∴.

【题型精练】

1．（2022·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得：；

由，则，可得；

∵成立的一个充分不必要条件是，

∴，可得.

故选：D.

2. （2022·重庆·一模）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】若函数为奇函数，由于函数的定义域为R，

∴，∴,即,∴∴；

当时，，

即为奇函数的充分必要条件是或，

是的非充分非必要条件；是的非充分非必要条件；是的充分不必要条件；

故选：C.

3. （2022·全国·高三专题练习）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.

【答案】

【解析】由题意得，，

由是成立的一个充分而不必要条件，得，

即解得，，

故答案为：.

【题型三　全称命题与特称命题的真假】

必备技巧  全称命题与特称命题的真假

判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立

例7　（2022·北京四中高三期中）下列命题中的假命题是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对A：取，则成立，故选项A正确；

对B：当时，没有意义，故选项B错误；

对C：取，则成了，故选项C正确；

对D：由指数函数的性质有成立，故选项D正确.

故选：B.

例8　【多选】（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题，其中假命题为（       ）

A．，；

B．，；

C．，；

D．是的充要条件.

【答案】ABC

【解析】.，所以该命题是假命题；

.当时，所以该命题是假命题；

.当时，左边，右边，所以该命题是假命题；

.时，时，所以是的充要条件，所以该命题是真命题.

故选：ABC

例9　（2022·江西·二模）已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.

故选：B

【题型精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）

（1），使，只需；

（2），恒成立，只需；

（3），，成立，只需；

（4），，，只需．

【答案】（2）（3）

【解析】对于（1），，使，只需，故（1）错误；

对于（2），，恒成立，即恒成立，

应需，故（2）正确；

对于（3），，，成立，

即需，故（3）正确；

对于（4），，，，，

应需，故（4）错误．

综上，正确的命题是（2）（3）．

故答案为：（2）（3）．

2. （2022·陕西模拟）下列命题中，真命题的是（       ）

A．函数的周期是 B．

C．函数是奇函数. D．的充要条件是

【答案】C

【解析】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；

当时，故选项B是假命题；

函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；

由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题

故选：C

3. （2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（       ）

A．

B．

C．

D．已知，则对于任意的，都有

【答案】B

【解析】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；

选项B，，，故该选项正确；

选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；

选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.

故选：B.

【题型四  含有量词的命题的否定】

必备技巧  对全称命题、特称命题进行否定的方法

(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

(2)对原命题的结论进行否定．

例10　（山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（       ）

A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解

B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

【答案】D

【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；故只有D满足题意；

故选：D

例11　（重庆市南开中学校2022届高三第九次质量检测数学试题）命题“，”的否定为（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【解析】由全称命题的否定为特称命题，故原命题否定为“，”.故选：A

例12  （2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】

由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，.

故选：C.

【题型精练】

1．【多选】（广东省佛山市顺德区2022届高三一模数学试题）下列说法正确的是（       ）

A．命题：，的否定是：，；

B．，是的充要条件；

C．是的充分非必要条件；

D．是命题：，恒成立的充分非必要条件

【答案】AC

【解析】对A，，的否定是，，A正确；

对B，或，

故，是的充分不必要条件，故B错；

对C，或，所以是的充分非必要条件，故C正确；

对D，，恒成立的条件为

所以是命题：，恒成立的必要不充分条件

故选：AC

2. （湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题）下列有关命题的说法正确的是(          )

A．若，则

B．“”的一个必要不充分条件是“”

C．若命题：，，则命题：，

D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么

【答案】C

【解析】A：若，则方向相反且，故A错误；

B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；

C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；

D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.

故选：C.

3. （2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（       ）

A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解

B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

【答案】D

【解析】命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；

故只有D满足题意；故选：D

【题型五  根据命题的真假求参】

必备技巧  根据命题的真假求参

(1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．

(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．

例13　（2022·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，命题“，”是真命题.

当时，则有，不合乎题意；

当时，由，可得，则有，

，当且仅当时，等号成立，

所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：C.

例14　（河南省信阳市罗山县2021-2022学年高三上学期第一次调研考试数学（文）试题）设命题p：，x若是真命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C．(- D．(-

【答案】B

【解析】命题p：，x所以：，，

由是真命题可得，，因为，当且仅当时，等号成立，

所以，故选：B

例15  （2021·山东临沂模拟）若，，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】，，则，由基本不等式可得，

当且仅当即时，等号成立，所以，

因此实数的取值范围是.故答案为：.

【题型精练】

1．（2022·湖北·江夏一中高三阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.

【答案】

【解析】当，有，

则，，使得成立，

等价于，，

即，在上恒成立，

参变分离可得：，

当，，当时取等，

所以，

故答案为：.

2. （2022·全国·高三专题练习）若命题p：“，”是真命题，则k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知恒成立，所以，解得，故选：D

3. （2022·广东·石门中学模拟预测）若“”为假命题，则实数a的取值范围为_____.

【答案】

【解析】因为“”为假命题，所以恒成立，

即在恒成立，所以且，

又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.