2021-2022学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组函数是同一函数的是(    )
   与；    
   与；
   与；            
   与．

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数且，，若，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某市生产总值连续两年持续增长，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 某品牌电脑投放市场的第一个月销售台，第二个月销售台，第三个月销售台，第四个月销售台，则下列函数模型中能较好反映销售量与投放市场月数之间的关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 若定义运算为：，如，则函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数的定义域是，且，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，则在上是(    )

A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

11. 已知函数在上对任意的都有成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知，则实数 ______ ．
14. 函数的单调减区间是______．
15. 函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则______．
16. 有下列四个命题：
    函数为偶函数；
    函数的值域为；
    已知集合，，若，则实数的取值集合为；
    函数，且与函数，且的定义域相同．
    其中正确命题的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知集合，集合，集合．
    求、为全集；
    若，求的取值范围．
18. 本小题分
    已知函数
    求该函数的定义域；
    求该函数的单调区间及值域．
19. 本小题分
    已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点．
    求实数，的值．
    求函数在时的值域．
20. 本小题分
    提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米小时是车流密度单位：辆千米的函数，当桥上的车流密度达到辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速度为千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
    Ⅰ当时，求函数的表达式；
    Ⅱ当车流密度为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时可以达到最大，并求出最大值．精确到辆时．
21. 本小题分
    已知函数的定义域为，且对任意实数都有，，都有，且当时，恒成立．
    求；
    证明：函数是奇函数；
    证明：函数是上的减函数．
22. 本小题分
    已知，函数．
    求的值；
    求函数的零点．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，
因此，
故选B．
欲求两个集合的交集，先得求集合，再求它与的交集即可．
这是一个集合的常见题，属于基础题之列．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为集合，
，
而图中阴影部分表示集合，
故选：．
根据题意，图中阴影部分就表示集合，故求解集合即可．
本题考查集合的运算，属于基础图．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．
确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．

【解答】

解：与的定义域均为，而此时，则对应法则和值域不同，故不是同一函数．
与的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
与都可化为且定义域是，故是同一函数．
与的定义域都是，对应法则也相同，故是同一函数．
由上可知是同一函数的是．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：


故选A
根据解析式，先求，再求
本题考查分段函数求值和指数运算对数运算，分段函数求值要注意自变量的取值落在哪个范围内，要能熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题
 

5.【答案】 

【解析】解：，则函数有且只有一个零点
若存在，使，
则
即
即，
故选：．
根据零点存在定理，我们易得，代入可以得到一个关于的不等式，解不等式即可得到答案
本题考查的知识点是函数零点的判定定理，构造关于的不等式，是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为，
则，
解得，
故选：．
设该市这两年生产总值的年平均增长率为，可得，解出即可．
本题考查了年平均增长率问题的求解，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于中的函数，当或时，误差较大．对于中的函数，当或时误差也较大．
对于中的函数，当，，时，误差为，时，误差为，误差很小．
对于中的函数，当时，据函数式得到的结果为，与实际值相差很远．
综上，只有中的函数误差最小，
故选：．
当，时，基本上都没有误差，检验当或时，各个选项中的函数值与真实值的误差大小，应选误差小的．
本题考查指数函数、幂函数、对数函数的增长差异，比较各个选项中的函数值与真实值的误差大小，应选误差小的．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数的图象，是基础题．
根据题意将函数解析式写出即可得到答案．

【解答】

解：，
在区间上是增函数，在区间上是减函数，
．
故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据指数函数的单调性求出函数在上的值域，然后根据建立关于的不等式，解之即可．
本题主要考查了指数函数的单调性，以及指数函数的值域，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
【解答】
解：函数在单调递增， 
函数的值域为，
，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由偶函数的性质可以得出上的单调性，再由可得出函数的周期是，由此两个性质即可研究出函数在上的单调性．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，此类题是函数性质考查中的一个比较重要的类型，求解本题的关键是正确理解函数的性质并能熟练运用这些性质做出判断，本题根据恒等式得出函数的周期性是对函数周期性考查的一种比较新颖的方法．本题易因对恒等式理解不透未能得出周期而导致解题失败．
【解答】
解：由题意，故有所以函数的周期是
又函数是定义域为的偶函数且在上是减函数，故在上增，
由上性质知，在上的单调性与在上的单调性相同，
故在上是增函数．
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得在递增，
故，解得：，
故选：．
根据函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查指数函数以及一次函数的性质，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，存在，
使，
即在上有解，
令，
则在其定义域上是增函数，
且时，，
若时，时，，
故在上有解，
若时，
则在上有解可化为
，
即，
故．
综上所述，
故选：．
由题意可得，存在使，即在上有解，从而化为函数在上有零点，从而求解．
本题考查了函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，属于中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：，
分情况讨论可得：
此时集合为不合题意
此时集合为合题意
解得或
当时集合为合题意
故答案为或．
利用元素与集合的关系知是集合的一个元素，分类讨论列出方程求出代入集合检验集合的元素满足的三要素．
本题考查元素与集合的关系、在解集合中的参数问题时，一定要检验集合的元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，对于函数，有，解可得，
令，则，
当时，为减函数，为增函数，则函数为减函数，
则函数的单调减区间为
故答案为：
根据题意，先求出函数的定义域，再令，则，由复合函数的单调性可求．
本题考查复合函数的单调性，注意函数的定义域．
 

15.【答案】 

【解析】解析：令，即；
设，则，；
所以，
故答案为：．
欲求函数的图象恒过什么定点，只要考虑对数函数的图象恒过什么定点即可知，故只须令即得，再设，利用待定系数法求得即可得．
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及幂函数的性质，属于容易题．主要方法是待定系数法．
 

16.【答案】 

【解析】解：，因为的定义域为，即，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故错误；
，由，得，则函数定义域为，所以函数的值域为，故正确；
，因为集合，，且，即，
当时，，成立；
当时，，则或，即或，所以实数的取值集合为，故错误；
，函数，且的定义域为，
又函数，且的值域为，则函数，且的定义域为，故相同，故正确．
故答案为：．
由奇偶性的定义判断；由函数的值域求解判断；由，即求解判断；根据指数函数的定义域和值域判断．
本题主要考查了函数的奇偶性、定义域与值域的求解，属于基础题．
 

17.【答案】解：由中，，得到，
，
，
全集为，
，
则；
令，
，，且，
，
解得：． 

【解析】求出集合中的范围确定出，根据全集求出的补集，找出与的交集，求出与补集的并集即可；
根据与的交集为的子集，确定出的范围即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

18.【答案】解：由得，
，，
的定义域为．
令，则在上单调递增，在上单调递减．
又在上单调递减，
故在上单调递减，在上单调递增．
，，
的值域为． 

【解析】由，能求出的定义域．
令，则在上单调递增，在上单调递减．在上单调递减，由此能求出该函数的单调区间及值域．
本题考查函数的定义域的求法，考查函数的单调区间、值域的求法，考查对数函数的性质、值域等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
 

19.【答案】解：因为函数的图象经过点，
所以，即，
因为是奇函数，
所以，即，
由解得，，
所以实数，的值为、；
由得，，
又，则，，
所以，即，
故函数在时的值域为． 

【解析】根据题意和奇函数的性质可得：、，列出关于、的方程组，求出、的值；
由求出的解析式，由和指数函数的单调性得：，再求出函数的值域．
本题考查奇函数的性质，指数函数的性质的综合应用，考查待定系数法求函数的解析式．
 

20.【答案】解：Ⅰ 由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为．

Ⅱ依题并由Ⅰ可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为
当时，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值．
综上所述，当时，在区间上取得最大值为，
即当车流密度为辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为辆小时．
答：Ⅰ 函数的表达式
Ⅱ 当车流密度为辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为辆小时． 

【解析】Ⅰ根据题意，函数表达式为分段函数的形式，关键在于求函数在时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
Ⅱ先在区间上，函数为增函数，得最大值为，然后在区间上用基本不等式求出函数的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间上的最大值．
本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．
 

21.【答案】解：，则．
令，，
则，
，
函数是奇函数；
设，则，
当时，恒成立，则，
，
函数是上的减函数． 

【解析】令，即可求出．
令，，得到，即可得证；
设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证．
本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性，奇偶性，关键是赋值，属于基础题．
 

22.【答案】解：当时，，所以．
当时，令，即，解得所以是函数的一个零点．
(ⅱ)当时，令，即．
当时，得，
所以是函数的一个零点；
当时，方程无解；
当时，得不合题意，舍去．
综上所述，当时，函数的零点是和；当时，函数的零点是． 

【解析】利用分段函数定义可解．
本题考查分段函数的定义，属于基础题．